第二节 正项级数及其审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、小结思考题 经济数学 微积分
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题 第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 1.正项级数 级数∑un(4n≥0) n=1 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数∑wn收敛台部分和数列sn}有界 n=1 经济数学 微积分
一、正项级数及其审敛法 1.正项级数 ( 0) 1 = n n 级 数 un u 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数 收 敛 部分和数列{ }有 界 1 n n n u s =
定理1（比较审敛法) 00 设∑un和∑yn均为正项级数， n=1 n=1 且4n≤vn(n=1,2,),则 00 00 若∑yn收敛，则∑Wn收敛； n=1 n=1 00 00 反之，若∑4n发散，则∑yn发散 n=1 =1 经济数学 微积分
定理1（比较审敛法） 若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛； 反之，若 n=1 un 发散，则 n=1 n v 发散. 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n u v 且 un vn (n = 1,2, ) ,则
证明 00 (①设o=∑yn n≤yn =1 且Sn=山1+W2+…+Wn≤y1+y2+…+yn≤o, 00 即部分和数列有界 .∑wn收敛。 n=1 (2) 设sn→o(n→o)且4n≤yn, 则0n之Sm→0 00 不是有界数列 ∑发散. n=l 经济数学 微积分
证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++ = = 1 (1) n n 设 v , n n u v , 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un n v + v ++ v 1 2 n n 则 s (2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v
推论 设∑wn和∑yn为正项级数. n=1 n=1 00 (1)若级数∑yn收敛，且存在自然数v,使当n≥N n=1 00 时，有un≤kyn(k>0)成立，则级数∑4n收敛； n=1 (2)若级数∑yn发散，且当n≥N时，有 n=1 4n≥kyn(k>0)成立，则级数∑wn发散. n=1 经济数学 微积分
设 n=1 un和 n=1 n v 为正项级数. (1)若级数 n=1 n v 收 敛,且存在自然数N ,使当n N 时,有u kv (k 0) n n 成立,则级数 n=1 un 收敛； 推论 (2) 若 级 数 n=1 n v 发 散 , 且 当 n N 时 , 有 u kv (k 0) n n 成立,则级数 n=1 un 发散
例1.判别级数的敛散性 ●●●●●● 1 解 1 n 而2 n 发散 n=1 :立后发散。 经济数学 微积分
例1.判别级数的敛散性 ...... 3 1 2 1 1 + + + n n 1 1 而 发散 =1 1 n n 发散. =1 1 n n 解
例2证明级空 00 1 是发散的. 证明 1 > n(n+1)n+1' 而级数云发改。 00 “级数乃 1一发散. 名i√nn+) 经济数学 微积分
例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
例3讨论P-级数 1+ +…的收敛性.(p>0) 2p 解 设p≤1， 则P-级数发散 n 1 设p>1,由图可知 n n-1 1 y=p>) ≤1+恋++g 01234 经济数学 微积分
例 3 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1
on dx p-1 即sn有界， 则P-级数收敛 综上讨论： P-级数{ 当p>1时，收敛 当p≤1时，发散 经济数学 微积分
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 综上讨论：
p>1又解1+ 1 1 火…十n (1) 1+ + ++ +.2) 1+ 2 2 =1 2 +22+2可+2+… (3)为等比级数收敛=(2)收敛→()收敛 经济数学 微积分
= + −1 + 2( −1) + 3( −1) + 2 2 2 2 2 2 1 p p p + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 （1） + + + + + + + + + p p p p p p 16 1 8 1 7 1 4 1 3 1 2 1 1 （2） + + + + + + + + + p p p p p p 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 （3） （3）为等比级数收敛(2)收敛(1)收敛. p 1又解