第五章 不定积分 习题课 主要内容 典型例题 经济数学 微积分
主要内容 典型例题 第五章 不定积分 习 题 课
一、主要内容 原函数 不定积分 选择山有效方法 分部 直接 积分法 积分法 积分法 第一换元法 几种特殊类型 基本积分表 第二换元法 拯数的积分 经济数学 微积分
积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容
1.原函数 定义如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数 为f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)k,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)k在区间I内原函数. 原函数存在定理如果函数f(x)在区间I内连 续，那么在区间I内存在可导函数F(x),使 x∈I,都有F'(x)=f(x): 即：连续函数一定有原函数. 经济数学 微积分
1.原函数 如果在区间I 内，可导函数F( x)的导函数 为 f (x) ， 即 x I ，都有 F(x) = f (x) 或 dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x)就称为f (x) 或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数 f ( x)在区间I 内 连 续，那么在区间I 内存在可导函数F(x) ，使 x I ，都有F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函数．
2.不定积分 (1)定义 在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分，记 为f(x)dk. ∫f(x)d=F(x)+C 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线： 经济数学 微积分
2.不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx． f (x)dx = F(x) + C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 x]=f)fx=fx ∫F'(x)=F(x)+C dF(x)=F(x)+C 3)不定积分的性质 1 ∫fx)±g(x)kc=∫f(x)d±∫g(x)d 2”∫f(x)=k丁f(x)(k是常数，k≠0) 经济数学 微积分
1 [ f (x) g(x)]dx = 0 f (x)dx g(x)dx (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 2 kf (x)dx = 0 k f (x)dx（k是常数，k 0) (3) 不定积分的性质 f (x)dx f (x) dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx F(x)dx = F(x) + C dF(x) = F(x) + C
3.基本积分表 ()∫kd=c+C(k是常数) (7)∫sinxdx=-cosx+C 因小sic=侧产-j-uG )座=nx+C o女=小ce2wh=-ix+c 个js=aamx+C (10)[secxtanxdx=secx+C (11)[esc.xcotxd=-cscx+C (6)「cosxdx=sinx+C (12)∫e*dc=e*+C 经济数学 微积分
3.基本积分表 (1) kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 + − + = + C x x dx = x + C x dx (3) ln = + dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = − dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C (6) cos xdx = sin x +C (7) sin xdx = − cos x +C (10) sec x tan xdx = sec x +C (11) csc x cot xdx = − csc x +C = e dx x (12) e C x + = x dx 2 cos (8) xdx = 2 sec tan x +C = x dx 2 sin (9) xdx = 2 csc − cot x +C
(13)fadsc ∫ae-2an+8+c (14)[tanxdx=-In cosx+C a+ -+C (15)∫cot.xdx=Insinx+C a-x jewk=herx+m对+C2)∫a字杰=ai加音+C (16) mj小ocak=mcx-aa4四jt女 w)jn-女aran合+c =ln(x+Vx2±m2)+C 经济数学 微积分
= a dx x (13) C a a x + ln (14) tan xdx = −lncos x + C (15) cot xdx = lnsin x +C (16) secxdx = ln(sec x + tan x) + C (17) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + + arctan 1 1 (18) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = − ln 2 1 1 (20) 2 2 C a x dx a x = + − arcsin 1 (21) 2 2 x x a C dx x a = + + ln( ) 1 (22) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = − ln 2 1 1 (19) 2 2
4.直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 5.第一类换元法 定理1设f(W)具有原函数，u=p(x)可导， 则有换元公式 ∫f孔p(x)lo'(x)=f(ω）duw=pw 第一类换元公式（凑微分法） 经济数学 微积分
5.第一类换元法 4.直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式 f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法
常见类型： (1)f(x")x"dx; ( 0 (3)(nx)d; f凸 ④ dx; 火 ⑤f(sinx)cosxdx; (6)f(a)a"dx; (7)f(tanx)sec xdx; (⑧)f(arctan四； 1+x2 经济数学 微积分
(1). ( ) ; 1 f x x dx n+ n ( ) ; ( ) 2 . dx x f x ( ) ; (ln ) 3 . dx x f x ( ) ; ) 1 ( 4 . 2 dx x x f (5). f (sin x)cos xdx; (6). f (a )a dx; x x 常见类型: (7). (tan )sec ; 2 f x xdx ( ) ; 1 (arctan ) 8 . 2 dx x f x +
6.第二类换元法 定理2设x=W(t)是单调的、可导的函数，并 且w'(t)≠0，又设f[w(t)小w'(t)具有原函数，则 有换元公式 jfxwkyowu4n 第二类换元公式 其中w(x)是x=W(t)的反函数. 经济数学 微积分
6.第二类换元法 定理 2 设x = (t)是单调的、可导的函数，并 且(t) 0，又设 f [ (t)](t)具有原函数，则 有换元公式 ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式