第二节换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 经济数学 微积分
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法
一、第一类换元法 问题∫cos2xdc=(?)sin2x+C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令t=2x→dk=二dt, 2 cossin2C 2 经济数学 微积分
问题 cos 2xdx = ( )sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下： 设F'(w)=f(w,则f(u)d=F(w+C. 如果u=p(x)（可微) dFlo(x)1=flo(x)lo'(x)dx ∴.∫fIp(x)p'(x)c=F[p(x)+C =f(u）d0a-p 由此可得换元法定理 经济数学 微积分
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
定理 定理1 设f(W)具有原函数，u=p(x)可导， 则有换元公式 ∫fIp(x)lo'(x)=f(u）dla=ex 第一类换元公式（凑微分法) 说明 使用此公式的关键在于将 ∫g(x)化为∫fIp(xp'(x)d. 注意：观察点不同，所得结论不同， 考虑sin2x如何求解？ 经济数学 微积分
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 注意：观察点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理 定理1 考虑 sin2xdx如何求解？
解法1 [sin2xdx t=2x,dx= dt 2 1 sintdt=--cost+c 1 =-c0s2x+C; 2 2 2 解法2 sin 2xdx =2 sinxcosxdx t=sin七，dt=cos xdx =2Jtat=t+c =(sinx)+C; 解法3 sin2xdx =2sinxcosxdx t=cosx,dt =-sinxdx =-2Jtdt=-t2+c=-(cosx)'+C. 经济数学 微积分
解法1 sin2xdx = tdt = − cost + c 2 1 sin 2 1 cos2 ; 2 1 = − x +C 解法2 sin2xdx = 2 sin xcos xdx = tdt = t + c 2 2 (sin ) ; 2 = x + C t x dx dt 2 1 = 2 , = t = sin x,dt = cos xdx 解法3 sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − tdt = −t + c 2 2 (cos ) . 2 = − x + C t = cos x,dt = −sin xdx
+2 ∫}=l+c 1 1 1 解 3+2x23+2x (3+2x), J3+2=3+2x3+2yu=3*2x ==nu+c-3+2)+c 2 2 注：第一类换元法的涧变量可以不设出来，即直接令 ∫f((x)p'(x)=∫f((x)(x)b体现凑微分的思想 经济数学 微积分
例1 求 . 3 2 1 dx x + 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = du u = 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C u = 3+ 2x dx x c x = ln + 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( )，体现凑微分的思想. 注：第一类换元法的中间变量可以不设出来，即直接令 f x x dx = f x d x
例13+2 ∫k=lnlx+c 又解3+2=3+2《 3+2x)d -32®+2 凑微分 n(3+2x)+C. 2 一般地 Sf(ax+b)dx=IJf(ax+b)d(ax+b) 经济数学 微积分
dx x 3 + 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C f (ax + b)dx = f ax + b d(ax + b) a ( ) 1 一般地 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = ( x) dx 3 + 2 d( x) x 3 2 3 2 1 2 1 + + = d(3+ 2x) 例1 求 . 3 2 1 dx x + 又解 dx x c x = ln + 1 凑 微 分
2划u 解a-可 =jla+0++w 1 1 1+x 21+.2+C 1 1 1+x 21++C. 经济数学 微积分
例2 求 . (1 ) 3 dx x x + 解 dx x x + 3 (1 ) dx x x + + − = 3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = C x x + + + + = − 2 2(1 ) 1 1 1 . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −
9g对u,2inn盒. j1+2n心c=+2n20my 解 -g1+3n1+2ny n(1+2Inx)+C. 2 经济数学 微积分
例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x + 解 dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = ln(1 2ln ) . 2 1 = + x + C
例4求 ∫xcosx2de; ∫+l. x ∫fIp(xp'(x)tc=∫fLp(xdp(x)凑微分 经济数学 微积分
例4 求 . 1 ln ; 1 ; 1 1 ; 1 ; cos ; 1 2 2 dx x x dx e e dx e dx e e e dx x x dx x x x x x x x + + + + − f[(x)](x)dx = f[(x)]d(x) 凑微分