第二节 第九章 二重积分的汁算法 一、 利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章
一、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知，当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时，若D为X-型区域 yy=02(x) a≤x≤b 则 ddy oay=(x)b x f(x,y)dy x=v2(y) 若D为Y型区域D: 0)sx0) yd c≤y≤d x=(y) 则nad=dg f(x,y)dx oo HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o b x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d o c y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数f(x,y)在D上变号时，由于 f(x,)= f(x,y)+f(x,y)f(x,y)-f(x,y) 2 2 (x,) 2(x,y)均非负 f()dxdy=)dxdy J∬n(x,)dxdy 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域 则有 ∬nfx,)drdy 522(x) dy x=2(y） -d b x 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X型域或Y型域，则 U=j+,+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算1=Dxdo,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域！ 艇法1格石作型区域07 1=ddy=【w2]dx 2 =2x3-x]x= y≤x≤20 1 x2x 解法2，将D看作Y-型区域则D1S)2 1=d3x=t4-2v-= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.计算 丁Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域 解：为计算简便，先对x后对y积分 N 2 则 4 x -1≤y≤2 y=X-2 y+2 fG-ofdx =L4]a=20+2y2-1a *22-1-因 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算 sinx xdy,其中D是直线y=x,y=0, X x=π所围成的闭区域， 解：由被积函数可知，先对x积分不行 因此取D为X-型域： X三π πx D: 0≤y≤x 0≤x≤π =0 sin=【cosx]=2 说明：有些二次积分为了积分方便，还需交换积分顺序 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 计算 d d , sin D x y x x 其中D 是直线 所围成的闭区域. o x y D x = y = x 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : x y x D 0 0 : D x y x x d d sin x y 0 d = 0 sin xdx = 2 = 0 d sin x x x 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.交换下列积分顺序 1=dx妙+22a f(x,y)dy 解：积分域由两部分组成： +y2=8 2≤x≤22 将D=D1+D2视为Y-型区域，则 22W2x , xd f(x,y)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 交换下列积分顺序 − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1 x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 y o 2 x D1 2 2 1 y = x 2 − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D = D1 + D2 D : 视为Y–型区域 , 则 2 2y x 8 − y 0 y 2 = D I f (x, y)d xd y − 2 8 2 ( , )d y y f x y x = 2 0 dy 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.计算1=∬Dxn0+1+y2ady,其中D由 y=4-x2,y=-3x,x=1所围成 解：令f(x,y)=xlny+V1+y2) =4-X D=D,+D2(如图所示) 显然，在D上，f(-x,y)=-f(x,y) 在D2上，f(x,-y)=-f(xy) X三 x++2dxdy +∬，xln心+y1+y2dy=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 计算 其中D 由 4 , 2 y = − x y = −3x, x =1 所围成. o y 1 x 2 y = 4 − x y = −3x D2 D1 x =1 解: 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y = x y + + y D = D1 + D2 (如图所示) 显然, , 在D1上 f (−x, y) = − f (x, y) , 在D2上 f (x,−y) = − f (x, y) I x y y x y D ln( 1 )d d 1 2 = + + x y y x y = 0 D ln( 1 )d d 2 2 + + + 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、利用极坐标计算二重积分 Q=0+△0 在极坐标系下，用同心圆”=常数 0=0x 及射线0=常数，分划区域D为 △Ok △ok(k=1,2,…,n) 则除包含边界点的小区域外，小区域的面积 △o=(+).△0-5n2.△8 =[k+(k+△x)]Ak·△8k =nk△0k 在△ok内取点(，O,),对应有 k=rk cos Ok>nk =rk sinek HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y o k k k = r r k k k k k k = r cos , = r sin 对应有 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 k (k 1,2, ,n) k = 在 k ( , ), k k r = k = k + k k r = r k k k − r 2 2 1 内取点 k k k = r + r 2 2 1 ( ) 及射线 =常数, 分划区域D 为 k r k r k k k r 机动 目录 上页 下页 返回 结束