米 第十二节 第十一章 常系数我性微分方程组 解法苯例 解方程组 代入法 算子法 高阶方程求解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *第十二节 解法举例 解方程组 高阶方程求解 消元 代入法 算子法 第十一章
常系数线性微分方程组解法步骤： 第一步用消元法消去其他未知函数，得到只含一个 函数的高阶方程 第二步 求出此高阶方程的末知函数 第三步 把求出的函数代入原方程组，一般通过求导 得其它未知函数 注意：一阶线性方程组的通解中， 任意常数的个数=未知函数个数 如果通过积分求其它未知函数，则需要讨论任意常数 的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数线性微分方程组解法步骤: 第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ; 第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 , 注意: 一阶线性方程组的通解中, 任意常数的个数 = 未知函数个数 一般通过求导 得其它未知函数 . 如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy=3y-2z ① 例1.解微分方程组 dx dx =2y-2 ② 解：由②得 y +z] 3 z 代入①，化简得 d2g-2 +z=0 dx2 d x 特征方程： r2-2r+1=0 通解： =(C]+C2x)e* 4 将④代入③，得 =(2Cj+C2+2C2x)e* 5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解微分方程组 y z x y 3 2 d d = − y z x z = 2 − d d ① ② 解: 由②得 z x z y = + d d 2 1 ③ 代入①, 化简得 0 d d 2 d d 2 2 − + z = x z x z 特征方程: 2 1 0 2 r − r + = 通解: x z (C C x)e = 1 + 2 ④ 将④代入③, 得 x y (2C C 2C x)e 2 1 = 1 + 2 + 2 ⑤ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2=(C1+C2x)e 原方程通解 ly=1(2C)+C2+2C2x)e* 注意 1)不能由①式求y,因为那将引入新的任意常数 而它们与C,C,是不独立的（它们受②式制约） 2)由通解表达式可见，其中任意常数间有确定的关系， 因此y的表达式中，2C,+C2不能用另一任意常数 C3代替，系数)也不能去掉 3)若求方程组满足初始条件yx=0=y0,2x=0=0 的特解，只需代入通解确定C1,C2即可 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
原方程通解: x z (C C x)e = 1 + 2 x y (2C C 2C x)e 2 1 = 1 + 2 + 2 注意: 而它们与C1 ,C2是不独立的 1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受②式制约). 因此 y的表达式中, 2C1 +C2不能用另一任意常数 , . 2 1 C3代替 系数 也不能去掉 3) 若求方程组满足初始条件 0 0 0 0 y y , z z x x = = = = 的特解, 只需代入通解确定 1 2 C ,C 即可. 2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy_ =e 例2.解微分方程组 dt- dt d2y dx +y=0 dt 解：记D= 则方程组可表为 dt [(D--1)x+Dy=e' 6 用代数方法 LDx+(D2+1)y=0 消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则，有 D- e D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解微分方程组 t x e t y t x + − = d d d d 2 2 0 d d d d 2 2 + + y = t x t y 解: , d d t 记 D = 则方程组可表为 t (D −1)x + D y = e 2 ( 1) 0 2 D x + D + y = ⑥ ⑦ 用代数方法 消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有 1 1 2 2 + − D D D D y = 0 1 2 D D e t − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
即 (D4-D2-1)y=-e1 8 其特征方程：r4-r2-1=0 特征根12=± 1+√5 5-1 乃3,4=±i 2 2 ±C 退±ip 令y=Ae,代入⑧可得A=1,故得⑧的通解 y=Cle a!+C2e+C3 cos Bt Ca sin Bt+e' ⑨ 求x:⑦×D-⑥得 x+D'y=-e' .x=-D3y-e2=a3(C1ea1-C2e1） -B(C3 sin Bt-Ca cos Bt)-2e ⑩ ⑨，⑩联立即为原方程的通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
即 t (D − D −1)y = −e 4 2 其特征方程: 1 0 4 2 r − r − = 特征根: 2 1 5 1,2 + r = 2 5 1 3,4 − r = i 记 记 i ⑧ , t y = Ae 令 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解: ⑨ 求 x : ⑦×D－⑥得 t x + D y = −e 3 t x = −D y − e 3 ⑩ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业 P226 (*习题12-12) 1(3),(6): 2(2),(4) HIGH EDUCATION PRESS O-e0C0⑧ 机动目录上页下页返回结束
作业 P226 (*习题 12-12) 1 (3),(6); 2 (2), (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束