第五节曲面及其方程 一、柱面与旋转曲面 二、二次曲面 三、小结思考题 经济数学 微积分
一、柱面与旋转曲面 二、二次曲面 三、小结 思考题 第五节 曲面及其方程
本节只对一些常见的曲面，围绕下面两个基 本问题进行讨论： (丨)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. (讨论柱面(cylinder)、旋转曲面(rotating surface)) (川)已知坐标间的关系式，研究曲面形状. (讨论二次曲面(twice surface)) 经济数学 微积分
本节只对一些常见的曲面，围绕下面两个基 本问题进行讨论： （Ⅱ）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面(cylinder)、旋转曲面(rotating surface)） （讨论二次曲面(twice surface)） (Ⅰ)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
一、柱面与旋转曲面 l.柱面(cylinder) 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix),动直 线L叫柱面的母 线(generatrix). 观察柱面的形 成过程： 放 经济数学 微积分
一、柱面与旋转曲面 播 放 定义 1. 柱面( cylinder ) 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面。 C L 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix)
柱面举例 2x 平面 y y X 比 y=x 抛物柱面 Cylinder of the second order parabolic 经济数学 微积分
柱面举例 x o z y x o z y y 2x 2 = 抛物柱面 y = x 平面 ( Cylinder of the second order parabolic )
从柱面方程看柱面的特征： 只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0,在 空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱 面，其准线为x0y面上曲线C.(其他类推) 2 实例 2 =1 椭圆柱面母线∥轴 2 62 =1双曲柱面母线∥z轴 1 x2 2pz 抛物柱面母线∥J轴 经济数学 微积分
从柱面方程看柱面的特征： 只 含 x, y而 缺z 的方程F(x, y) = 0， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C. （其他类推） 实 例 1 2 2 2 2 + = c z b y 椭圆柱面 母线// x 轴 1 2 2 2 2 − = b y a x 双曲柱面 母线// z 轴 x 2 pz 2 = 抛物柱面 母线// y 轴
2.旋转曲面(surfaces of revolution) 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 播版 曲面的轴(axis). 经济数学 微积分
2.旋转曲面(surfaces of revolution ) 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴(axis)． 播放
旋转过程中的特征： 如图 设M(x,y,z), M1(0,y1,z1) M \f(y,z)=0 (1)Z=1 (2)点M到业轴的距离 d=vx2+y2=yl 将z=z1,乃1=±Vx2+y2代入 f(1,z1)=0 经济数学 微积分
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=z1,y1=±Vx2+y2代入f(y1,1)=0 得方程 壮Vx2+y,z=0, y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程。 同理：Jy0z坐标面上的己知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 f,±x2+z2)=0. 经济数学 微积分
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z =
例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顺点，两直线的夹角a(0<a<》 叫圆锥面的半顶 角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为？轴，半顶 角为α的圆锥面方程. 解 y0z面上直线方程为 M1(0,y1,z1) 7=ycota 圆锥面方程 z=±x2+y2c0ta M(x,v,) 经济数学 微积分
例 1 直 线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶 点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，半顶 角 为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y o x z y
例2将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程. 北2 (1)双曲线 2 c2=1分别绮轴和轴， 绕x轴旋转 y2+z2 =1 d 绕z轴旋转 x2+y2 =1 旋转双曲面 a hyperboloid 经济数学 微积分
例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． （1）双曲线 1 2 2 2 2 − = c z a x 分别绕x 轴和z 轴； 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面 ( hyperboloid )