第五为 第十二章 全微公方程 全微分方程 二、积分因子法 HIGH EDUCATION PRESS O-e0C8 机动目录上页下页返回结束
全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 一、全微分方程 二、积分因子法 第十二章
一、全微分方程 若存在u(x,y)使d(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 则称 P(x,y)dx+e(x,y)dy=0 ① 为全微分方程（又叫做恰当方程） 判别：P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数，则 OP ①为全微分方程 0 Ox (x,y)∈D Ov 求解步骤： 1.求原函数u(x,y) 方法1凑微分法 方法2利用积分与路径无关的条件 2.由du=0知通解为u(x,y)=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 一、全微分方程 若存在 u(x, y) 使 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 则称 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 Op 解：因为 故这是全微分方程 取x=0,%=0,则有 u(x,)=o5x4dx+o (3x2y-3xy2+x2)dy =x+3xy2-xy2+ (x,) 因此方程的通解为 x5+3 (x,0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(x, y) y o x 例1. 求解 (5 3 )d (3 3 )d 0 4 2 3 2 2 2 x + xy − y x + x y − xy + y y = 解: 因为 = y P 2 6xy − 3y , x Q = 故这是全微分方程. 0, 0, 取 x0 = y0 = 则有 u x y x x x ( , ) 5 d 0 4 = x y xy y y y (3 3 ) d 0 2 2 2 + − + 5 = x 2 2 2 3 + x y 3 − xy 3 3 1 + y 因此方程的通解为 x + x y − x y + y = C 5 2 2 3 3 3 1 2 3 (x,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求解 +当dwd=0 1 ,∴.这是一个全微分方程 x- 用凑微分法求通解.将方程改写为 xdx-xdy-rdx=0 x2 即 d)-d()=0,或d(-)=0 故原方程的通解为 2x-x=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求解 解: 2 1 y x P = ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 0 d d d 2 = − − x x y y x x x 即 ( ) d( ) 0, 2 1 d 2 − = x y x 故原方程的通解为 ( ) 0 2 1 d 2 − = x y 或 x C x y x − = 2 2 1 , x Q = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考：如何解方程 (x3+y)dx-xdy=0? 这不是一个全微分方程，但若在方程两边同乘 就化成例2的方程 二、积分因子法 P(x,y)dx+O(x,y)dy =0 若存在连续可微函数4=u(x,y)≠0，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)O(x,y)dy=0 为全微分方程，则称(x,y)为原方程的积分因子 在简单情况下，可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子 HIGH EDUCATION PRESS 例2目录上页下页返回结束
二、积分因子法 思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , , 1 2 x 就化成例2 的方程 . = (x, y) 0, 使 为全微分方程, 则称 (x, y) 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子. 例2 目录 上页 下页 返回 结束
常用微分倒推公式： 1)dx±dy=d(x±y) 2)xdy+dx=d(xy） 3)d+dy=d(2(x2+y2) -a-a于) ydx-xdy=d(In 积分因子不一定唯一 例如，对dx-xdy=0 ydx-xdy =d(arctan X x2+y 可取μ=，= d+业=d(x+y) =y,=2+y2 vx2+y2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常用微分倒推公式: 1) dx dy = d( x y ) 2) xdy + ydx = d( xy ) 3) xdx + ydy = d( ( )) 2 2 2 1 x +y d ( ) d d 4) 2 = − y y x x y y x d ( ) d d 5) 2 = − x y x x y x − y d ( ) d d 6) = − xy y x x y y x ln d ( ) d d 7) 2 2 = + − x y y x x y y x arctan d ( ) d d 8) 2 2 = + + x y x x y y 2 2 x + y 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 ydx − xdy = 0 可取 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解1+y)ydx+L-y)xdy=0 解：分项组合得(ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0 即 d(xy)+x2x2(dx-d)=0 选择积盼因子(，)=之同乘方程两边，得 d(xy) dx c dy=0 (xy)1 X 即 d()+d(Inx)-d(Iny)=0 因此通解为 n=nlc.即yce xV 1 因x=0也是方程的解，故C为任意常数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求解 解: 分项组合得 ( y dx + xdy ) 即 ) 0 d d d ( ) ( 2 2 + − = y y x x xy x y 选择积分因子 ( , ) , 2 2 1 x y x y = 同乘方程两边 , 得 0 d d ( ) d( ) 2 + − = y y x x xy xy 即 ( ) d(ln ) d(ln ) 0 1 d + − = − x y xy 因此通解为 ln ln , 1 C y x xy + = − 即 xy C e y x 1 = 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . + xy ( y dx − xdy ) = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业 P2851(2),(4),(7); 2(2),(5) 4 HIGH EDUCATION PRESS ©-4QC①8 习题课1目录上页下页返回结束
作业 P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 解方程ydx+(y-x)dy=0 解法1积分因子法.原方程变形为 (ydx-xdy)+ydy=0 取积分因子“=是 ydx-xdy:dy=0 2 V 故通解为 +Iny=C 此外，y=0也是方程的解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
备用题 解方程 解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 2 1 y = 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法2 化为齐次方程.原方程变形为 dy=y= dx y-x 1-% 令y=x,则y'=u+xl, (1-u)d u dx u+xu'= 1-2l 22 X 积分得 --ul=inx|-C 将u=之代入，得通解+lnly=C X y 此外，y=0也是方程的解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为 积分得 将 x y u = 代入 , 得通解 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束