第一节微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题一求方程的解 四、小结思考题 经济数学 微积分
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题—求方程的解 四、小结 思考题 第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为y=y(x),由题有 dy =2x d 且满足：当x=1时，y=2 积分，得y=∫2x即y=x2+C, 求得C=1, 所以，所求曲线方程为=x2+1. 经济数学 微积分
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x), x dx dy = 2 积分，得 y = 2xdx 当 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所以，所求曲线方程为y = x + 一、问题的提出 由题有 且满足：
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶， 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解设制动后t秒钟行驶s米，=s(t) d's ds =-0.4 t=0时，=0,y= 20, ds v= dt =-0.4t+C1s=-0.2t2+C1t+C2 经济数学 微积分
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C
代入条件后知 C1=20,C2=0 ds V= =-0.4t+20, dt 故s=-0.2t2+20t, 开始制动到列车完全停住共需t= =50(秒)， 列车在这段时间内行了 5=-0.2×502+20×50=500(米). 经济数学 微积分
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需
二、微分方程的定义 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程. y=y,y"+2y'-3y=e, 例 (t+x)t+x=0, Ox =x+y, Ox 实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的 某些导数（或微分）之间的关系式. 经济数学 微积分
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义
分类1：常微分方程，偏微分方程. 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类2： 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y'=f(x,y) 高阶微分方程F(x,y,Jy,…,y四)=0， ym=f(K,y,y',…,ym-) 经济数学 微积分
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3： 线性微分方程. y'+P(x)y=2(x), 非线性微分方程.x(y)2-2y'+x=0; 分类4：单个微分方程与微分方程组. =3y-2z, dx dz =2y-7, 经济数学 微积分
分类3: y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy 非线性微分方程. 线性微分方程
三、主要问题---求方程的解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数 设y=p(x)在区间I上有n阶导数，满足 F(x,p(x),p'(x)2…,p0(x)≡0. 则称y=P(x)为微分方程在区间亚上的解。 微分方程的解的分类： ()通解：微分方程的解中含有任意常数，且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同 经济数学 微积分
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数. ( , ( ), ( ), , ( )) . ( ) F x x x x 0 n 微分方程的解的分类： 三、主要问题---求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, 满足 则 称 y = (x)为微分方程在区间I 上的解
例如y'=y,通解y=Ce*; Jy"+y=0,通解y=C1sinx+C2cosx; (2)特解：确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象：微分方程的积分曲线 通解的图象：积分曲线族 初始条件：用来确定任意常数的条件. 经济数学 微积分
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例如 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题：求微分方程满足初始条件的特解的问题 Vix-%o Yo 过定点的积分曲线； 二阶：= y=o,yx=以 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线： 经济数学 微积分
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题