清华大学：《信号与系统》课程教学资源（习题讲解）信号的频域分析

信号的频域分析 、周期信号的傅立叶级数(指数形式) f()=∑F n TUrf(tenol 周期信号频谱的特点: 离散性 谐波性 收敛性 、非周期信号的频域分析 傅立叶变换(傅立叶积分) F(jo)= f(t)e jat f(t)= F(o)ejo dd 傅立叶变换的性质 质f( Fo) 号|名称

信号的频域分析 1、周期信号的傅立叶级数（指数形式） jn t n n f t F e 1 ( )    =− = − = 2 2 1 ( ) 1 T T j n t n f t e dt T F  周期信号频谱的特点： ⚫ 离散性 ⚫ 谐波性 ⚫ 收敛性 2、 非周期信号的频域分析 ⚫ 傅立叶变换（傅立叶积分） F j f t e dt j t   − − =  ( ) ( )     f t F j e d j t   − = ( ) 2 1 ( ) ⚫ 傅立叶变换的性质 序 号 性 质 名称 f (t) F( j)

1线性 f(1=2a, f( F(jo)=2a, F(jo) 2|对称 性 F(j1)2(-m) F() 2mf() 3折叠 f(-1)F(-jo) 性奇虚性尺扩性时延性 偶|f()实、偶F(jo)实、偶 实 f()实、奇|F(O)实、奇 度f(an) 展 a>0实数 6时域|f(t-t) 迟 Foe f(at-to) 7频移f(lmr(o-a 性 f(tcos(@o)t FL(o+Oo]+FL(o-O f(tsin( Oo )t jFL(@+@o]-jAFL(@-o) 8时域 joFO 微分 dt

1 线性 ( ) ( ) 1 f t a f t i Ni i = = ( ) ( ) 1 F j  a Fi j  Ni i = = 2 对 称 性 F ( jt ) 2f ( −) F ( t ) 2 f (  ) 3 折 叠 性 f ( − t ) F ( − j ) 4 奇 偶 虚 实 性 f ( t ) 实、偶 F ( j  ) 实、偶 f ( t ) 实、奇 F ( j  ) 实、奇 5 尺 度 扩 展 性 f (at ) a  0 实数   a F j a1  6 时 域 延 迟 性 ( ) 0 f t − t 0 ( ) j t F j e   ( ) 0 f at − t 1 0 t a j e a F j a     7 频 移 性 j t f t e 0 ( )  [ ( )]  −0 F j f ( t ) cos( ) t 0    ( ) 21 ( ) 21  + 0 +  − 0 F j F j f ( t )sin( ) t 0    ( ) 21 ( ) 21  + 0 −  − 0 j F j j F j 8 时 域 微分 dt df ( t ) j F ( j  )

时域 f(r)dr 积分 丌O(O)+ Jo(o 10时域f1(1)*f2() 卷积 F(j0)F2(0) 频域 f1()f2(t) 卷积 F1(j0)*F2(0) 2丌 12时域 抽样 ∑/0n)∑F(0-1) 00 域 2丌 抽样 ∑ f(-n2)∑F(o(a-kO k==∞0 14信号 能量p If(o] dtw 1 F(jol da 2丌 帕塞瓦尔定理 15等效 脉宽|F(O)=f(t f(0x=F(0) 和等0)=1F(o F(O)B,=f(0) 效带 B f ●常用非周期信号的傅立叶变换 f 2丌()

9 时 域 积分 − t f ( )d ( ) 1 ( )      F j j       + 10 时 域 卷积 ( ) ( ) 1 2 f t  f t ( ) ( ) F1 j F2 j 11 频 域 卷积 ( ) ( ) 1 2 f t f t ( ) ( ) 2 1 1  2   F j  F j 12 时 域 抽样  ( ) ( )  =− − n nTs f t  t ( ) 1   =− − k s s F j jk T   13 频 域 抽样 ) 2 ( 1   =− − s n s f t n    ( ) ( ) s k F j   − k  =− 14 信 号 能量 W f t dt 2 [ ( )]   − =    W F j d 2 ( 2 1   − = 帕塞瓦尔定理 15 等 效 脉 宽 和 等 效 带 宽 F(0) f (t)dt   − = f (0) = F(0)    f F j d   − = ( ) 2 1 (0) F(0)B f (0) f =  1 Bf = ⚫ 常用非周期信号的傅立叶变换 1 f (t) F( j) 2  (t) 1 3 1 2()

4 J0+ E eT ●周期信号的傅立叶变换 序|f()(-∞<t<∞) F() Oot 2n(O-c0) coSO t 6(a+o)+6(a-o0) sin o t jz[6(a+a)-8(a-00) 4 ∑(t-n7) ∑6(-ko,) 般周期信号 f()=∑Fn ∑ 2丌o(O-k n=-00 F.rAf(tei'dt 2 Fo *FD(O)为周期信号取一个单周期信号的傅立叶变换

4 e u(t) −t j + 1 6 G (t) E       2  E Sa ⚫ 周期信号的傅立叶变换 序 号 f (t) (−  t  ) F( j) 1 j t e 0 2 ( )   −0 2 t 0 cos  ( ) ( )    +0 +  −0 3 t 0 sin   ( ) ( )    +0 −  −0 j 4   =− = − n T nTs  (t)  (t )   =− − k s s   ( k ) 5 一般周期信号 jn t n n f t F e 1 ( )    =− = − = 2 2 1 ( ) 1 T T jn t n f t e dt T F  ( ) 1 1 F j T Fn = o 2 ( )  1  =− − k    k * F ( j) o 为周期信号取一个单周期信号的傅立叶变换

二、功率信号与能量信号 功率信号:在某时间区间(∞,∞)内能量无穷 大 在一个周期(-22)的时间区间内的功率为有 限值,周期信号为功率信号。 ●时域平均功率 [() 频域平均功率 P=[F2+∑|F n=-00 功率谱:将各次谐波的平均功率随O=n01的分布关系 画成图形,称为功率谱(双边)。 2.能量信号:在时间区间(一∞2∞)内能量有限值, 在此时间区间(-∞,∞)内的平均功率为0,非周期信 号即能量信号 ●时域总能量 W=」/(O)2t 频域总能量: LIEC Jo ao 2丌 能量谱:将单位频带内的能两随O=nO1分布的关 系G(jω)画成图形,称为能量谱(双边)

二、功率信号与能量信号 1．功率信号：在某时间区间 (−,) 内能量无穷 大； 在一个周期       − 2 , 2 T T 的时间区间内的功率为有 限值，周期信号为功率信号。 ⚫ 时域平均功率： f t dt T P T  T − = 2 2 2 [ ( )] 1 ⚫ 频域平均功率：   =− = + n P F Fn 2 2 0 [ ] ⚫ 功率谱: 将各次谐波的平均功率随  = n1 的分布关系 画成图形，称为功率谱（双边）。 2．能量信号：在时间区间 (−,) 内能量有限值， 在此时间区间 (−,) 内的平均功率为 0，非周期信 号即能量信号。 ⚫ 时域总能量： W f t dt 2 [ ( )]   − = ⚫ 频域总能量：    W F j d 2 ( 2 1   − = ⚫ 能量谱：将单位频带内的能两随  = n1 分布的关 系 G( j) 画成图形，称为能量谱（双边）

令G(10)=F( 总能量.∥ 2丌 ∫G(oko 三、抽样信号与抽样定理 1.抽样信号 抽样序列: 理想抽样序列 =∑o(-n7) ●非理想抽样序列 1)=∑G(t-mT,) =-0 被抽样信号的表达式:f()=()∑6(t-n7 f,(1)=f()∑G(-mT) 2.抽样信号的傅立叶变换: 被理想抽样信号的傅立叶变换: (jo)=∑ F(a-J ●被非理想抽样信号傅立叶变换: 0)=∑PF(0-/ko,) k 3.时域抽样定理(奈奎斯特定理)

令 2 G( j) = F( j) 总能量：    W G j d   − = ( ) 2 1 三、 抽样信号与抽样定理 1．抽样信号 抽样序列： ⚫ 理想抽样序列：   =− = − n T nTs  (t)  (t ) ⚫ 非理想抽样序列：   =− = − n nTs P(t) G (t )  被抽样信号的表达式：   =− = − n s nTs f (t) f (t)  (t )   =− = − n s nTs f (t) f (t) G (t )  2．抽样信号的傅立叶变换： ⚫ 被理想抽样信号的傅立叶变换：   =− = − k s s s F j jk T F j ( ) 1 ( )   ⚫ 被非理想抽样信号傅立叶变换：   =− = − k n s s s P F j jk T F j ( ) 1 ( )   3．时域抽样定理（奈奎斯特定理）

≥20 附:课程要求 周期信号的频谱分析 求周期信号的频谱的数学表达式 般公式 2、典型信号 (1)周期矩形信号 (2)对称周期方波信号 3、代表性习题:3-1,3-2,3-4,3-5,3-9* 、理解周期信号频谱表达式中的基本参数 1、基波频率、谐波频率。代表性习题:3-3 2、幅度谱 3、相位谱 注:参考p139图3-1 不同波形的对称特征,判断周期信号所含谐波分量 代表性习题:3-7,3-14 例如:周期三角波是否含有偶次谐波分量?周期矩形呢? 四、已知信号,求它的各次谐波分量(F0,F1,F2,F3) 代表性习题:3-2,3-8 b tgo

 s  2 m 附：课程要求 ⚫ 周期信号的频谱分析 一、 求周期信号的频谱的数学表达式 1、一般公式 2、典型信号 （1）周期矩形信号 （2）对称周期方波信号 3、代表性习题：3-1，3-2，3-4，3-5，3-9* 二、 理解周期信号频谱表达式中的基本参数 1、基波频率、谐波频率。代表性习题：3-3 2、幅度谱 3、相位谱 注：参考 p139 图 3-1 三、 不同波形的对称特征，判断周期信号所含谐波分量 代表性习题：3-7，3-14 例如：周期三角波是否含有偶次谐波分量？周期矩形呢？ 四、 已知信号，求它的各次谐波分量（F0，F1，F2，F3） 代表性习题：3-2，3-8 n n n a b tg = −

●非周期信号的频谱分析 傅立叶(积分)变换 1、一般公式 2、利用从周期信号取单周期 3、利用周期信号加数据窗,再用卷积定理 代表性习题:3-21,3-22 4、利用傅立叶变换的性质 代表性习题:3-26(线性),3-27(对称性),3-28(时移性), 3-29(频移性)卷积定理,3-30(微分定理),3-31(微分定理), 3-32(频域微分),3-33(尺度,折叠,微分,时移)

⚫ 非周期信号的频谱分析 一、傅立叶（积分）变换 1、一般公式 2、利用从周期信号取单周期 3、利用周期信号加数据窗，再用卷积定理 代表性习题：3-21，3-22 4、利用傅立叶变换的性质 代表性习题：3-26（线性），3-27（对称性），3-28（时移性）， 3-29（频移性）卷积定理，3-30（微分定理），3-31（微分定理）， 3-32（频域微分），3-33（尺度，折叠，微分，时移）