清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 拉普拉斯变换

第四章拉普拉斯变换 本章要点 拉氏变换的定义—从傅立叶变换到拉氏 变换 拉氏变换的性质,收敛域 卷积定理(S域) 周期和抽样信号的拉氏变换 系统函数和单位冲激响应 拉氏变换与傅氏变换的关系

1 第四章 拉普拉斯变换 本章要点 •拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换 •拉氏变换的性质，收敛域 •卷积定理(S域) •周期和抽样信号的拉氏变换 •系统函数和单位冲激响应 •拉氏变换与傅氏变换的关系

拉氏变换的定义—从傅氏变换到拉 氏变换 有几种情况不满足狄里·若乘一衰减因子e 赫利条件 σ为任意实数,则 σ收敛 子满足荻里赫利条件 u(t u(t)e °增长信号e“(a>0) at 周期信号coso,t e(o>a) e cos o, t

2 拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉 氏变换 有几种情况不满足狄里 赫利条件： • u(t) • 增长信号 • 周期信号 e (a  0) at • 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛， 于满足狄里赫利条件 t e   t f t e   ( ). t u t e  ( ) e .e ( a) at t     e t t 1 cos   t1 cos 

因果 f(t)=f(t)e-a S=0+10 f(@ f(e loto dt 象函数 0 正LT F)=,0h 原函数 逆LT O+10 f(t)= F(se ds engi FT.实频率是振荡频率 IT:复频率Sω是振荡频率,σ控制衰减速度

3 t f t f t e  ( )  ( ) 1 F f t e dt j t     0 ( ) 1( ) ( )    因果    0 F(s) f (t)e dt st sj 象函数 正LT F s e ds j f t j j st          ( ) 2 1 ( ) 原函数 逆LT FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度   

拉氏变换已考虑了初始条件 L7[()=F(s) df(t) SF(s-f(o f(te sdt=f(e s o+ f(test),dt f(∞)ey-f(0)+SF(s) 终值 初值,若有跳变则(o

4 拉氏变换已考虑了初始条件   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           SF s f o dt df t LT LT f t F s ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ' 0 0 0 ' f e f SF s f t e dt f t e f t e dt s st st st                 终值 初值，若有跳变则为( )  f o

收敛域jm/(O=0(σ>a) 有始有终信号和能量整个平面 有限信号 O 以O0为界 =0或an=a 等幅振荡信号和增长信 号 C 不收敛信号e,te′(0≤t≤∞) 除非 (0≤t≤T)

5 lim ( ) 0 ( )  0      t t 收敛域 f t e • 有始有终信号和能量 有限信号 • 或 等幅振荡信号和增长信 号 • 不收敛信号 除非  0  0  0  a  a  0 , (0 ) 2 2 e te  t   t t   j j 整个平面 以 0 为界 (0  t  T )

常用信号的拉氏变换 r() u(ta s + a n+1 δ(t) 6(t-6)

6 常用信号的拉氏变换 u(t) S 1 t u t a  ( ) s  a 1 n t 1 ! n s n  (t) 1 ( )0  t t 0 st e 

拉氏变换的基本性质 线性 k f() ∑k,LT[f() 微分 df(t dt SF(s)-f(0) 积分 f(x)dτ F(s),f(0) 时移f(t-b0)(t-10)e“F(s) 频移 f(te F(S+a)

7 拉氏变换的基本性质（1） 线性 ( ) 1 k f t i n i  i  . [ ( )] 1 k LT f t n i  i  dt df (t) 微分 ( ) (0 )  SF s  f 积分   t f ( ) d  s f s F(s) (0 ) '   时移 ( ) ( ) 0 0 f t  t u t  t ( ) 0 e F s  st 频移 at f t e  ( ) F(s  a)

拉氏变换的基本性质(2) 尺度变换/(a) F 初值定理 limf(t=f(o)=lim SF(s) t->0+ S→> 终值1imf()=f(∞)= lim se(s) 定理 t→)∞ S→>0 f1(1)*2(1)F1(s).F2(S) 卷积 定理f()/2( F1(S)*F2(S)

8 拉氏变换的基本性质（2） 尺度变换 f (at)       a s F a 1 lim ( ) (0 ) lim ( ) 0 f t f SF s t s      终值 定理 lim ( ) ( ) lim ( ) 0 f t f SF s t s    卷积 定理 ( )* ( ) 1 2 f t f t ( ). ( ) 1 2 F s F s 初值定理 ( ). ( ) 1 2 f t f t ( ) * ( ) 2 1 1 2 F s F s j

例:周期信号的拉氏变换 f()<F(s) 第一周期的拉氏变换 LT 利用时移特性 f(t-ntee sf(s) LT ∑(-meF∑e 利用无穷级数求和 F(s 1-e

9 例：周期信号的拉氏变换 ( ) ( ) 1 1 f t F s LT  ( ) ( ) 1 1 f t nT e F s snT LT    ST n SnT LT n e F s f t nT F s e             1 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和

例:单边正弦、余弦信号的拉氏变换 u(t) cos at u(t)sin at eute e f(0)=0) f()=l(2) F(S)=( F(S)=( S+j@ s-j@ 2 S+jo S-jo 2j S2+ S2+

10 例： 单边正弦、余弦信号的拉氏变换 2 ( ) ( ) j t j t e e f t u t      2 2 2 1 ) 1 1 ( ) (          S S S j S j F S j e e f t u t j t j t 2 ( ) ( )      2 2 2 1 ) 1 1 ( ) (            S S j S j j F S u(t) cost u(t)sint