清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 离散傅立叶变换及其快速算法复习

第九章离散傅立叶变换及其快速 算法复习 傅立叶变换的离散性和周期性 从离散傅立叶级数(DFS)到离散傅立 叶变换OFT) 离散傅立叶变换(ODFT)的性质 离散傅立叶变换(DFT)与Z变换的关 系 快速傅立叶变换(FFT信号流图 离散傅立叶变换(DFT)的应用

• 傅立叶变换的离散性和周期性 • 从离散傅立叶级数(DFS)到离散傅立 叶变换(DFT) • 离散傅立叶变换(DFT)的性质 • 离散傅立叶变换(DFT)与 Z 变换的关 系 • 快速傅立叶变换(FFT信号流图) • 离散傅立叶变换(DFT)的应用 第九章 离散傅立叶变换及其快速 算法复习

傅立叶变换的离散性和周期性 对称关系 #时域周期性—频域离散性 (时域重复频域抽样) #时域离散性频域周期性 (时域抽样频域重复) #时域非周期频域连续性 (频域取包络F0(O)m=TF) #时域连续性—频域非周期 (傅立叶变换的对偶性)

对称关系 # 时域周期性——频域离散性 （时域重复——频域抽样） # 时域离散性——频域周期性 （时域抽样——频域重复） # 时域非周期——频域连续性 （频域取包络 ） # 时域连续性——频域非周期 （傅立叶变换的对偶性） F0 n 1 T1 Fn () =  = 傅立叶变换的离散性和周期性

四种物理存在信号的傅立叶变换 (1)连续周期信号的FT (2)连续非周期信号的FT (3)离散非周期序列的FT (4)离散周期序列的FT

四种物理存在信号的傅立叶变换 （1）连续周期信号的 （2）连续非周期信号的 （3）离散非周期序列的 （4）离散周期序列的 FTFTFT FT

xn()=∑F Jno,t xn(1)= P ake 1=-0 k=0 FS DFS x/f() Jno t X,(k) ∑ x(ne N FnO)=2nx∑FA(o=m0)m/(、2 ∑a6(0-ng) n=- 2丌1 所以知道DFT=X(k)就可以 求得离散周期信号的FT,也 下r,N ∑X(K)(O-no) 就可以找到其他三种的FT =o∑X(k)(o-kq-LN) 0

• FS • FT • DFS • FT [ ( )] 2 ( )  F   n1 FT f t n =  n −  =−  − = − = = 1 0 2 ( ) 1 ( ) 1 N n j kn k p p N x n e N X k N a  − − = 2 2 1 1 1 1 ( ). 1 T T j n t n f t e dt T F  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 [ ( )] 1 0              X k k LN X k n T N a n T FT f t N n n p s n k s = − − = − = −    − =  =−  =−   =− = n j n t p n x t F e 1 ( )  j kn N k p k N x n a e 2 1 0 ( )  − = = 所以知道DFT=X(k)就可以 求得离散周期信号的FT,也 就可以找到其他三种的FT

法一:从连续周期信号的抽样得到离散的周期信 号 f(t F() ETc NT EτOu 2丌 2丌 ETo ∑∑ nO, T 2丌 (O-nO1-o1) 2 NT

法一：从连续周期信号的抽样得到离散的周期信 号 −T1 T1 E f (t) t 1 E F()  FT Ts E1  2  2 − Ts 2 Ts 2 − s N n L s l NT n lN n Sa T E           2 ( ) 2 1 1 1 1 0 1 0 1  − − = =        − = =  T1 = NTs 抽样

法二:从连续非周期的抽样,再进行周期重复得 到离散周期矩形序列 抽样 0 后重复 D离散非周期信号的周期重复 0 T 先抽样F0(o) 2兀Ez eT TT 2丌 2x2丌 2丌

法二：从连续非周期的抽样，再进行周期重复得 到离散周期矩形序列 0 t 2  2 − T1 −T1 f (n) p E () Fp s Ts E TT E     1 1 2 =  2  2 − Ts 2 Ts 2 − 2  2 − 0 t 后重复 ( ) 1 f t 先抽样 0 2  2 − ( ) f 0 n 离散非周期信号的周期重复 T1 = NTs  抽样

离散周期序列的傅立叶级数DFS的正逆运算对 Xn(k)=∑ x(n)e n=0.1.2..N-1 xn(n)= ∑X,()k=02.N-1 N k=0 X(k)和x(m)取主值周期,得离散傅立叶变换 (DFT)的正逆运算对 X(k)=∑ JAn nk (ne ∑x(m x(n)=∑X(kk3n1X(kmW k=0 N k=0

( ) 0,1,2... 1 1 ( ) ( ) ( ) 0,1,2... 1 2 2 1 0 1 0 = = − = = −   − = − = − X k e k N N x n X k x n e n N j kn N k p p N n j kn p p N N   离散周期序列的傅立叶级数(DFS)的正逆运算对 和 取主值周期，得离散傅立叶变换 (DFT)的正逆运算对 X (k) x(n) n k N k j n k N k N n n k N n j kn X k W N X k e N x n X k x n e x n W N N − − = − − = − = − = −     = = = = 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2  

x 2N X,(k) 0 2 N k x(n X(k)t

x ( n ) p n −N 0 N 2N X (k) p 0 2N N 2N − k 0 N 0 N nk x(n) X (k) DFS DFT

X2N(k)=DFT[x2N(n)]=>x(n)w2) ∑x(m)2+∑x(n+N)2A+N) N x(m)W3+∑x(m)MW 2N 0 =[1+(-1)]XN()

( ) 2 2 1 0 1 0 2 1 ( ) 2 1 0 2 2 1 0 2 2 2 [1 ( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 2 k N k kN N N n n N N n n N N n N k n N N N n n k N N n n k N N N X x n W x n W W x n W x n N W X k DFT x n x n W k k = + − = + = + + = =      − = − = − = + − = − =

例#:已知N的x(n)序列的DFT如图所示,求下图x1,x2, 3,,x4的FT x(nt FT X(k) 0 XI=x(n 9+a.X(k) 0 x2 k . ft mm Y(k) NT=T 0 k

例#：已知N 的x(n)序列的 DFT如图所示，求下图x1，x2， x3, , x4的FT 0 N 0 N n k x(n) X (k) x1 x (n) = p n 0 N x2 x (t) = p NTs = T 0 2 N N 2 N − X (k) 0 2 N 2 N − ( ) 2 X k N  k k  1  N 2 DFT FT FT