§8.7用单边Z变换解差分方程 解差分方程的方法: (1)时域经典法 (2)卷积和解法 (3)Z变换解法
1 §8.7 用单边Z变换解差分方程 解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
(一)复习Z变换的位移特性 若x(m)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时,它们的双边和单边Z变 换是不同的: (1)双边序列的双边Z变换(p79p83) ● Z[x(m)=X(2)=∑x(m)zn ZTL(n-m]=z X(z) ZTLx(n+m]=z X(z) 2
2 （一）复习Z变换的位移特性 若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的： （1）双边序列的双边Z变换(p79-p83) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ZT x n m z X z ZT x n m z X z ZT x n X z x n z m m n n + = − = = = − =− −
(2)双边左移序列的单边Z变换 X(2)=2x(nu(n)z 0 ZT[x(n+mu(n)]=2x(n+m)z n=0 ∑ x(n+m) m=∑x(k)=k n k ∑x(k)=4-∑x(k) k=0 k=0 |X()-∑x) k=0
3 （2）双边左移序列的单边Z变换 n n X z x n u n z − = = 0 ( ) ( ) ( ) = − = − = + = + = + − = − = − = − − = − = − + = − 1 0 0 1 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) m k m k k m k m k k k m m k n m n m n n z X z x k z z x k z x k z z x n m z z x k z ZT x n m u n x n m z
(3)双边右移序列的单边Z变换 X()=∑ 因果序列 x(n)(n)2 是右移序列 ZTLx(n-m)u(n)=>x(n-m)z ==∑x(n-m)2m==m∑x(k)=k n=0 k ∑x(k)+∑x(k)=k k=0 k |X(=)+∑x(k)= k=-m 4
4 （3）双边右移序列的单边Z变换 n n X z x n u n z − = = 0 ( ) ( ) ( ) = + = + = − = − = − − =− − − = − =− − − − =− − − = − − − = − 1 0 1 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) k m m k k k m m k k k m m k n m n m n n z X z x k z z x k z x k z z x n m z z x k z ZT x n m u n x n m z 因果序列 是右移序列
(4)对于因果序列x(n) k x()2 0 k=-m ZTLx(n-m)u(n=zX(z) ZTLx(n+m)u(n)== x(2)-2x(k)2 k=0
5 （4）对于因果序列x(n) ZT[x(n m)u(n)] z X(z) −m − = ( ) 0 1 = − =− − k m k x k z + == − − = − 1 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) m k m k ZT x n m u n z X z x k z
(二)用单边Z变换解差分方程的 步骤和思路 ∑ kv(n-k) ∑bx(n-r) k=0 r=0 x(r)2y(n-k)均为右移序列 两边取单边Z变换 M ∑a-21()+∑0)=∑b[X()+2xXm-n] k=0 =-k r=0 m=-/ 若因果信号 初始状态 此项为零 6
6 （二）用单边Z变换解差分方程的 步骤和思路 • x(n-r),y(n-k)均为右移序列 • 两边取单边Z变换 ( ) ( ) 0 0 a y n k b x n r M r r N k k − = − = = = − =− − − = − =− − − + = + M r m r r m r N k l k k l k a z Y z y l z b z X z x m z 0 1 0 1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] 初始状态 若因果信号 此项为零
例: (n)-by(n-1)=x(n) x(n)=a"l(n)y(-1)=2y(n)=? 里面已含有 初始条件 Y(z)-b[Y(z)+zy(-1)=X(二) [-bz-]Y(z)=X(z)+by(-1) Y(二) X(z)+by(-1) 1-bz-1 az bz 2bz 完全解 b b b y(n)=Z71[Y(2=-,(a+-b)+2b+1( a-b
7 例： ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) ? ( ) ( 1 ) ( ) = − = = − − = x n a u n y y n y n by n x n n z b bz z b bz z a az a b bz X z by Y z bz Y z X z by Y z bz Y z zy X z − + − − − − = −+ − = − = + − − + − = − − − 1 2 1 ( ) ( 1 ) ( ) [1 ] ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) 1 1 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 1 1 1 a b b u n a b y n ZT Y z n n n − + − = = − + + + 完全解 里面已含有 初始条件
例:]y(m)+0.1y(n-1)-0.02y(n-2)=101(n) y(-1)=4y(-2)=6y(n)=? (2)+0.1[Y(z)+y(-1)-0.022X(2)+2y(-2)+2(-1) 102z 10z (1+0.1z--0.022)X(=)==1+0.082-0.28 9.26 0.66 0.2 Y(=) 1+0.02z-11-0.1z 完全解 y(n)=[9.26+0.66(0.2)-0.2(0.1)p(n)
8 例： ( 1) 4 ( 2) 6 ( ) ? ( ) 0.1 ( 1) 0.02 ( 2) 10 ( ) − = − = = + − − − = y y y n y n y n y n u n 1 10 ( ) 0.1 [ ( ) ( 1)] 0.02 [ ( ) ( 2) ( 1)] 1 2 2 − + + − − + − + − = − − z z Y z z Y z zy z Y z z y zy 0.08 0.28 1 10 (1 0.1 0.02 ) ( ) 1 2 1 + − − + − = − − − z z z z z Y z 1 1 1 1 0.1 0.2 1 0.02 0.66 1 9.26 ( ) − − − − − + + − = z z z Y z y(n) [9.26 0.66( 0.2) 0.2(0.1) ]u(n) n n = + − − 完全解
§8.8离散系统的系统函数 、定义: (1)系统零状态响应的Z变换与输入的Z 变换之比 Y(z) ∏(-= H(2)=x() G「 ∏I(1-p (2)系统单位样值响应h(n)的Z变换 H(z)=∑h(n)z n=0
9 §8.8 离散系统的系统函数 一、定义： （1）系统零状态响应的Z变换与输入的Z 变换之比 （2）系统单位样值响应h(n)的Z变换 = − = − − − = = N k k M r r p z z z G X z Y z H z 1 1 1 1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) = − = 0 ( ) ( ) n n H z h n z
(1)定义一:系统零状态响应的 Z变换与输入的Z变换之比 若x(m)是因果序列,则在系统零状态下: ∥之bx(n-r)请注意这里 M ∑ k=0 与解差分有 何不同? Y()∑ak=k=X(=)∑bz 零状态 k=0 ∑ 因果 H(=) Y(=) X(=)
10 （1）定义一：系统零状态响应的 Z变换与输入的Z变换之比 • 若x(n)是因果序列, 则在系统零状态下： ( ) ( ) 0 0 a y n k b x n r M r r N k k − = − = = = − = − = − = − = = = N k k k M r r r M r r r N k k k a z b z X z Y z H z Y z a z X z b z 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 请注意这里 与解差分有 何不同？ 因果！ 零状态