第四章 曲线和曲面 第一节曲线和曲面表示的基础知识 第二节Hermite多项式 第三节Coons曲面 第四节Bezier曲线和曲面 第五节B样条曲线和曲面
第四章 曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面
第一节曲线和曲面表示的基础 知识 ·曲线和曲面参数表示 y=(x)f(x,y)=0 (1)与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换； (2)会出现斜率为无穷大的情况； (3)难以灵活地构造复杂的曲线、曲面 (4)非参数的显示方程只能描述平面曲线， 空间曲线必须定义为两张柱面与的交线。 (5)假如我们使用非参数化函数，在某个xoy 坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值， 而一些y值对应多个x值
第一节 曲线和曲面表示的基础 知识 • 曲线和曲面参数表示 （1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换； （2）会出现斜率为无穷大的情况； （3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面 （4）非参数的显示方程只能描述平面曲线， 空间曲线必须定义为两张柱面与的交线。 （5）假如我们使用非参数化函数，在某个xoy 坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值， 而一些y值对应多个x值。 y= f (x) f (x,y)=0
在空间曲线的参数表示中，曲线 上每一点的坐标均要表示成某个参 数的一个函数式，则曲线上每一 点笛卡尔坐标参数式是： x=x(t)y=y(t)z=z(t) 把三个方程合写到一起，曲线上 一点坐标的矢量表示是： P(t)=[x(t)y(t)z(t]
在空间曲线的参数表示中，曲线 上每一点的坐标均要表示成某个参 数t的一个函数式，则曲线上每一 点笛卡尔坐标参数式是： x = x(t) y = y(t) z = z(t) 把三个方程合写到一起，曲线上 一点坐标的矢量表示是： P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
关于参数的切矢量或导函数是： P'(t)=[x'(t)y'(t)z'(t] 曲面写为参数方程形式为： x=x(u,w),y=y(u,w),z=z(u,w) P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w) 曲线或曲面的某一部分，可以 简单地用a≤t≤b界定它的范围
关于参数t的切矢量或导函数是： P'(t) = [x'(t) y'(t) z'(t)] 曲面写为参数方程形式为: x = x(u,w), y = y(u,w),z = z(u,w) P(u,w) = [x(u,w), y(u,w),z(u,w)] 曲线或曲面的某一部分，可以 简单地用a≤t≤b界定它的范围
直线段 端点坐标分别是P1[x,y],P2[x,y2], 直线段的参数表达式是： P(t)=P+(P2P1)t=(1-t)P+tP2 0≤t≤1； 参数表示相应的x,y坐标分量是： x(t)=x+(x2-x)t y(t)=y+(v2-v) t 0≤t≤1 P'(t)=[x'(t)y'(t]=[x2-x1y2-y1
直线段 端点坐标分别是 P1 [x1 ,y1 ],P2 [x2 ,y2 ]， 直线段的参数表达式是： P(t)= P1 +( P2 - P1 ) t = (1-t)P1 + tP2 0≤t≤1； 参数表示相应的x,y坐标分量是： x(t)= x1 +(x2 -x1 ) t y(t)= y1 +(y2 -y1 ) t 0≤t≤1 '( ) [ '( ) '( )] [ ] 2 1 2 1 P t = x t y t = x − x y − y
P'(t)=(x2-x1)i+（y2-1)j 参数方程具有如下优点。 ()对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直 接进行几何变换（如平移、比例、旋转) (2)便于处理斜率为无限大的问题。 (3)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 具有很强的描述能力和丰富的表达能力。 (4④)参数方程中，代数、几何相关和无关的变量 是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于 用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间 去
P'( ) ( )i ( )j 2 1 2 1 t = x − x + y − y 参数方程具有如下优点。 (1) 对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直 接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。 (2) 便于处理斜率为无限大的问题。 (3) 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 具有很强的描述能力和丰富的表达能力。 (4) 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量 是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于 用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间 去
(5)规格化的参数变量t∈[0,1们，使其相应的 几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定 义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述 易于实现光顺连接。 (6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处 理简便易行。 基本概念 曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事 先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。 另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只 是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形 状，称为是逼近的曲线或曲面
(5) 规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的 几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定 义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述 。易于实现光顺连接。 (6) 易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处 理简便易行。 曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事 先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。 另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只 是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形 状，称为是逼近的曲线或曲面。 • 基本概念
插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点， 称为对这些型值点进行插（interpolation). 逼近构造一条曲线，使它在某种意义上最 佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行 逼近（approximation.)s
• 插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点， 称为对这些型值点进行插（interpolation）。 • 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最 佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行 逼近（approximation）
。 参数连续性 一函数在某一点处具有相等的直到阶的左 右导数，称它在x处是k次连续可微的，或称 它在x处是阶连续的，记作C。几何上C、C1、 C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是 连续的。 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处 具有C连续性，则称它们在该点处具有阶几 何连续性，记作Gk。零阶几何连续G与零阶参 数连续C是一致的。一阶几何连续G1指一阶导 数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向 相同，大小不同。二阶几何连续G指两个曲线 段在交点处其一阶和二阶导数均成比例
• 参数连续性 一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左 右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称 它在x0处是k阶连续的，记作C k。几何上C 0 、C 1 、 C 2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是 连续的。 • 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处 具有C k连续性，则称它们在该点处具有k阶几 何连续性，记作G k 。零阶几何连续G 0与零阶参 数连续C 0是一致的。一阶几何连续G 1指一阶导 数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向 相同，大小不同。二阶几何连续G 2指两个曲线 段在交点处其一阶和二阶导数均成比例
光顺 光顺 （smoothness)是指曲线的拐点不能太多， 要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应 该是：（1)具有二阶几何连续（)；（2) 不存在多余拐点和奇异点；(3)曲率变化较小
• 光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多， 要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应 该是：（1）具有二阶几何连续（G 2）；（2） 不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小