试卷206 三 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1,由面：=（名，川上对应于点伍，火，》处与：轴正向成线角的法向量示可取为一 .（1)o (B).(x)f(.)1) C.,))- o1.x)-x) 2.设有两空间区线，且：x+广+：2≤R,:20, 0:x2+y2+z2≤R2x20.y20.:20 则以下结论正确的是 川d=4∬dr 矿=4∬ (A) ∬动-4川 ∬a4∬a (D).a P=_ y-上+) 3.己知血x是微分方程术y的解。则y的表达式为 (A).(B).(C). (D). xydxdy 4,二重积分 (其中么0≤≤，0≤≤1)的值为 5.下列微分方程中，通解为y=e产(C©0sx+Csx的方程是 (4.-4y-5y=0 (B.广-4y+5y=0
试卷 206 题 号 一 二 三 总 分 得 分 一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分） 1．曲面 z = f (x, y) 上对应于点 ( , , ) 0 0 0 x y z 处与 z 轴正向成锐角的法向量 n 可取为 . （A）. (1 ( , ) ( , )) 0 0 0 0 f x y f x y x y （B）． ( ( , ) ( , ) 1) 0 0 0 0 f x y f x y x y （C）． ( ( , ) ( , ) 1) f x x0 y0 f y x0 y0 − （D）． ( ( , ) ( , ) 1) 0 0 0 0 f x y f x y x y − − 2．设有两空间区域， 1： , 0 2 2 2 2 x + y + z R z ； 2： , 0, 0, 0 2 2 2 2 x + y + z R x y z . 则以下结论正确的是 . （A）． = 1 2 xdv 4 xdv ； （B）． = 1 2 ydv 4 ydv ； （C）． = 1 2 zdv 4 zdv ； （D）． = 1 2 xyzdv 4 xyzdv . 3．已知 x x y ln = 是微分方程 ( ) y x x y y = + 的解，则 ( ) y x 的表达式为 . （A）． 2 2 x y − （B）． 2 2 x y （C）． 2 2 y x − （D）． 2 2 y x 4、二重积分 (其中 D：0≤y≤x 2 ,0≤x≤1)的值为 . 5．下列微分方程中，通解为 ( cos sin ) 1 2 2 y e C x C x x = + 的方程是 . （A）． y − 4y − 5y = 0 （B）． y − 4y + 5y = 0
(c.y-2y+5y-0 (D).y-4y+5y=e 二、填空题（每小题4分，共计20分） 1.微分方程广+2y+y=e“的特解形式可设为广 2曲面x之+2y2+32-12上点0，-2,1》处的切平面方程为】 法线方程 为一 积分-可心时的值为 4.设#=2y-:,则u在点(2，-1，)处的方向导数的最大值为 若可级数之 在点x=-2处条件收敛，则该级数的收敛半径为 三，求解下列各题（每小题6分，8分） N+ydd 1,计算二重积分 D是r+y≤2y在第一象限的部分 2.求由+V云+少+=2所确定的隐函数=化川在点1,0，-》处的全 微分 证正 =e”习.了是可微函数，求五与可 3.己知 四、计算（每题8分，共0分） 1.(8分)求抛物线y=不和直线x一y一2=0之间的最短距离。 1-∬fx 2、〔8分)设日 0是由曲面F+了与2-r-了所 围成的闲区域。（工，火，）在Q上连续，试分别将此三重积分1表示成直角坐标、柱面坐标 和球面坐标下的三次积分， 3、(8分)计算 -4)t+8dbt+2-)d -y 其中工是由曲线x=0(0≤y≤)绕：轴旋转一周面成 下侧鱼面 了 分1 4、(8分)求台”的收敛区间与和函数)，并求台n3护
（C）． y − 2y + 5y = 0 （D）． x y y y e 2 − 4 + 5 = 二、填空题（每小题 4 分，共计 20 分） 1．微分方程 x y y y e − + 2 + = 的特解形式可设为 = y . 2．曲面 2 3 12 2 2 2 x + y + z = 上点 (1, − 2 ,1) 处的切平面方程为 ，法线方程 为 . 3．积分 − = 2 0 2 d d 2 x y I x e y 的值为 . 4．设 2 u = 2xy− z ，则 u 在点 (2 , −1,1) 处的方向导数的最大值为 . 5．若幂级数 n=0 n n a x 在点 x = −2 处条件收敛，则该级数的收敛半径为 . 三、求解下列各题（每小题 6 分， 18 分） 1．计算二重积分 + D x y dxdy 2 2 ， D 是 x y 2y 2 2 + 在第一象限的部分. 2．求由 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 所确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0 , −1) 处的全 微分. 3．已知 ( , ) y x z f e −xy = ， f 是可微函数，求 x z 与 y z . 四、计算（每题 8 分，共 40 分） 1．（8 分）求抛物线 2 y = x 和直线 x − y − 2 = 0 之间的最短距离. 2、（8 分）设 I = f (x, y,z) dv ， 是由曲面 2 2 z = x + y 与 2 2 z = 2 − x − y 所 围成的闭区域， f (x, y,z) 在 上连续.试分别将此三重积分 I 表示成直角坐标、柱面坐标 和球面坐标下的三次积分. 3、（8 分） 计算 I = (−4x z) dydz +8yz dzdx + 2(1− z ) dxdy 2 ， 其中 是由曲线 = = x 0 z y (0 y 1) 绕 z 轴旋转一周而成 下侧曲面. 4、（8 分）求 n=1 n n x 的收敛区间与和函数 s(x) ，并求 =1 3 1 n n n
。8分)段连楼时号，0=-，求，使得分 ∫e+f代d本-f)与路径无关，并求当4=0,0)，B=,)时的积分恤 五、1分)E明：【P列+0，川5山，其中=P+C,为 光滑由线L的长度
5 、（ 8 分 ） 设 f (x) 连 续 可 导 ， 且 2 1 f (0) = − . 求 f (x) ， 使 得 积 分 e f x y x f x y B A x [ + ( )] d − ( ) d − 与路径无关，并求当 A = (0 , 0) ， B = (1,1) 时的积分值. 五、（7 分）证明： P x y x Q x y y sM L + ( , ) d ( , ) d ，其中 2 2 ( , ) M max P Q x y L = + ，s 为 光滑曲线 L 的长度