【大连交通大学】【试卷习题】【数列极限_高等数学第一章（2）】

第二讲数列极限 【目的与要求】 1、正确理解数列极限的概念，掌握“￡-N”的极限定义，会用极限定义验证简单极 限存在问题： 2、熟练运用极限的运算法则求函数的极限： 3、熟练运用重要极限及极限存在准则求某些极限. 【知识要点】 1、极限定义：limx=a台对任意给的s>0,存在N,当n>N时，xn-da,则当n充分大时，yn>xn,但反之不然. → 3、求极限的方法： (1)有理运算法则：对根式有理化. (2)两边夹法则：若三个数列xn,yn,二m,满足yn≤Xm≤2n,lim y=a,lm2n=a, →00 →00 则lim x=a. 月+00 (3)重要极限： lim =e,1型 (4)单调有界必有极限：单调增加有上界：单调减小有下界. (5)洛必达法则：先求lim f(x)再推出limf(n)(后续课学到). 7 【重点与难点】 重点：(1)对“￡-N”语言定义涵义的理解： (2)极限的运算法则： (3)利用重要极限计算极限

第二讲 数列极限 【目的与要求】 1、正确理解数列极限的概念，掌握“  − N ”的极限定义，会用极限定义验证简单极 限存在问题； 2、熟练运用极限的运算法则求函数的极限； 3、熟练运用重要极限及极限存在准则求某些极限. 【知识要点】 1、极限定义： =  → xn a n lim 对任意给的  >0，存在 N ，当 n > N 时， x − a   n . 其中 N 不唯一，但与  有关，且  越小， N 越大. 2、极限的性质： （1）若 xn a n = → lim ，则极限唯一，于是若 xn  有两个不同极限，则说明数列极限不存 在. （2）若 xn a n = → lim ，则 xn  有界，但有界数列未必有极限. （3）若 xn a n = → lim ， yn b n = → lim ，且 b  a ，则当 n 充分大时， n n y  x ，但反之不然. 3、 求极限的方法： （1）有理运算法则：对根式有理化. （2）两边夹法则：若三个数列 , , , n n n x y z 满足 n n n y  x  z ， yn a n = → lim ， zn a n = → lim ， 则 xn a n = → lim . （3）重要极限： e n n n  =      + → 1 lim 1 ，  1 型. （4）单调有界必有极限：单调增加有上界；单调减小有下界. （5）洛必达法则：先求 f (x) n→ lim 再推出 f (n) n→ lim （后续课学到）. 【重点与难点】 重点：（1）对“  − N ”语言定义涵义的理解； （2）极限的运算法则； （3）利用重要极限计算极限

难点：(1)利用极限定义验证简单问题极限存在： (2)利用极限存在准则求极限。 【典型例题】 1、用定义验证数列极限。 例1根据数列极限的定义证明lim 2n-12 o5n+2=5 分析：用极限定义证明imxn=a时，从“反推”过程（即“要使…，只要”）入手 来考虑，即给定￡>0，从不等式xn-@N时，能保证xn-d0， 2n-129 9 由于 5n+255(5n+2）25n 考察不等式9 9 5n 25e 取N= 9 于是有：对Vε>0，N 当n>N时，有 2n-12 258 5n+25 <e成立. 2n-12 故lim m→o5n+25 2、用初等变形法求极限. 解限武=典0-)6目》+2+】 =-2) 3计第1--引--动

难点：（1）利用极限定义验证简单问题极限存在； （2）利用极限存在准则求极限. 【典型例题】 1、用定义验证数列极限. 例 1 根据数列极限的定义证明 5 2 5 2 2 1 lim = + − → n n n . 分析：用极限定义证明 xn a n = → lim 时，从“反推”过程（即“要使…，只要…”）入手 来考虑，即给定   0 ，从不等式 x −a   n 入手，寻求使不等式成立之 n 与  的关系，由 此找出自然数 N ，当 n  N 时，能保证 x −a   n 得证. 证明：   0， 由于 n ( n ) n n 25 9 5 5 2 9 5 2 5 2 2 1  + − = + − ， 考察不等式   25n 9 ，解得 25 9 n  ， 取       = 25 9 N ， 于是有；对   0，        = 25 9 N ，当 n  N 时，有 −   + − 5 2 5 2 2 1 n n 成立. 故 5 2 5 2 2 1 lim = + − → n n n . 2、 用初等变形法求极限. 例 2 计算       − + + + → 4 1 1 15 1 3 1 lim 2 n n  . 解：原式             + − −  + +       + −       + −      = − → 2 1 1 2 1 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 lim n n n  2 1 2 1 1 lim 1 2 1  =      + = − n→ n . 例 3 计算        −       −      − n→ n 1 1 3 1 1 2 1 lim 1  解：原式 0 1 lim 1 4 4 1 3 3 1 2 2 1 lim = = −   −  −  − = → n → n n n n 

例4计算im nvn2+1-n】 3 解：原式=lim F+i-小r+切-典in Vn2+1+n 1 1 lim n→ 3、用+ =e求极限， ,1 解题提示：将“1”型极限通过加“1”、减“1”化为推广形式lim1+二 =e来计 算 (3(-6) 解：原式= m =e-6 -% 例6设lim =e2, 求常数a. n-a =- 201 (-2 解：lim lim 1-. 2a =e-2a n+a n+a 故有e2a=e2,.a=-1. 4、用夹逼定理求极限. 1 2 例7计算lim n→o 、n2+n+1n2+n+2n2+n+n (n+1)n 2 (1+n)n 解： 2n2+n+n)n2+n+1n2+n+2 (n+1)n 1+ 又卿2+n+切血 ++ n

例 4 计算 n( n n) n + − → lim 1 2 . 解：原式 ( )( ) n n n n n n n n n n n n + + = + + + − + + = → → 1 lim 1 1 1 lim 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 lim 2 = + + = → n n . 3、 用 e n n n  =      + → 1 lim 1 求极限. 解题提示：将“  1 ”型极限通过加“1”、减“1”化为推广形式  = e       +  → 1 lim 1 来计 算. 例 5 计算 n n n 2 3 lim 1       − → . 解：原式 ( ) ( ) 6 6 3 3 1 lim 1 − −  − → =           − = + e n n n . 例 6 设 2 lim e n a n a n n  =      + − → ，求常数 a . 解： ( ) a a a a n a n n n n n e n a a n a a n a n a 2 2 2 2 lim 1 2 lim lim 1 −  − −      + − → → →  =      +  = −      +  = −      + −  ， 故有 2 2 e e a = − ，∴ a = −1. 4、用夹逼定理求极限. 例 7 计算       + + + + + + + → + + n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 1 1 lim  . 解： ( ) ( ) ( ) 2( 1) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 + + +  + + + + + + + + +  + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n   ， 又 ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 lim 2 1 lim 2 =       + + + = + + + → → n n n n n n n n n n 

1+ (n+1n n 1 lim im- 2(n2+n+1) 1】 21+-+ n'n2 ∴.lim n n→n2+n+1n2+n+2 n2+ntn 5、利用单调有界性求极限， 例8设a>0>0一+号}=以小运期曰之存在，并快回 亚期：+品小6，则有下职 乱+}是-要0.取提 的： 综上，数列{xn}是单调减少且有下界的. .mxn存在. 又设lim x=A,则有A +别 解出A=Va, 开00 所以lim x=√a. 【课后训练与提高】 (A) 一、 选择题 1、下列数列{x,n}中收敛的是( ). A、x。=(n- Bx= n n+1 nπ C、xm=Sn 2 D、xn=n-(1)” 2、下列数列{xn}中发散的是( ). 1 A、Xm= 2 B、,=5+少 n

( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 lim 2 1 1 lim 2 2 =       + + + = + + + → → n n n n n n n n n ， ∴ 2 1 2 2 1 1 lim 2 2 2  =      + + + + + + + → + + n n n n n n n n n  . 5、利用单调有界性求极限. 例 8 设 ( 1,2,) 2 1 0, 0, 1 1 =           + = + n x a a x x x n n n ，证明 n n x → lim 存在，并求 n n x → lim . 证明：  a x a x x n n n         + = + 2 1 1 ，则 xn  有下界； 又  0 2 2 1 2 1 2 1  − =         − = −         + − = + n n n n n n n n n x a x x x a x x a x x x ，即 xn  是单调减少 的； 综上，数列 xn  是单调减少且有下界的. ∴ n n x → lim 存在. 又设 xn A n = → lim ，则有       = + A a A A 2 1 ，解出 A = a ， 所以 xn a n = → lim . 【课后训练与提高】 （A） 一、 选择题 1、下列数列 xn  中收敛的是（ ）. A、 ( ) n n x n n 1 1 − = − B、 +1 = n n xn C、 2 sin n xn = D、 ( ) n xn = n − −1 2、下列数列 xn  中发散的是（ ）. A、 n n x 2 1 = B、 ( ) 2 1 5 n x n n − = +

2n-1 3n+2 D、x,=1+少 3、数列{xn}有界是数列xn}收敛的( ). A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 计算极限 1、lmVn2-n-vn2+n 2-) 品 (B) 1、设数列x1=V2,x2=V2+x,…,xn=V2+xn,证明当n→0时，{化n}的极 限存在，并求出此极限。 2、im/1+ 2+3 十…十 n-→ n 3n+13 3、利用"g-W"语言证明：lim 42n-12 (C)

C、 3 2 2 1 + − = n n xn D、 ( ) 2 1 1 n n x + − = 3、数列 xn  有界是数列 xn  收敛的（ ）. A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 二、 计算极限 1、 ( n n n n) n − − + → 2 2 lim 2、        −       −       −      − → 2 2 2 2 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 lim 1 n n  3、         − + − → 1 1 1 lim n n n n 4、 n n n 3 2 lim 1       − → 5、 n n n n       + − → 1 2 lim （B） 1、设数列 1 2 1 2 1 2, 2 , , = = + n = + n− x x x  x x ，证明当 n → 时， xn  的极 限存在，并求出此极限. 2、 n n n 1 3 1 2 1 lim 1+ + + + →  . 3、利用 " "  − N 语言证明: 3 1 3 lim n 2 1 2 n → n + = − . （C） 求 n n n n       + + → 2 2 2 lim 1