宁德师专《常微分方程》期末考试卷(1) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子u=u(y)的充要条件为. 2、∫，(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的条件. 3、方程业=Snx·c0Sy满足解的存在唯一性定理条件的区域是. dx 4、若y=,(x),y=2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点. 5、设(x)=Cy(x)+Cy2(x)+y,(x)是方程y"+y+y=1的通解，则limy(x)=. 【→+0 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 2 1、方程业=3y过点0,0)有0. dx (A)只有一个解(B)无数个解(C)只有两个解(D)只有三个解 2、设p(x),q(x)连续，，(x),y2(x)是y”+p(x)y+q(x)y=0在(-0，+o)上的两个线性无 关解，且y"(0)=0,y2"(0)=0,则(). (A)p(0)=0,q(0)=0(B)p(0)=1,q(0)=0 (C)p(0)=0,q(0)=1(D)p(0)=1,q(0)=1 3、二阶线性非齐次微分方程的所有解(). (A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 4、如果fx,),任》都在xoy平面上连续，而且x)有界，则方程业-K,)的 oy dx 任一解的存在区间(). (A)必为(-0，+o)(B)必为(0，+o) (C)必为(-o,0)(D)将因解而定
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(1) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有积分因子 u u y = ( ) 的充要条件为. 2、 f (x, y) y 连续是保证 f (x, y) 对 y 满足李普希兹条件的条件． 3、方程 x y x y sin cos d d = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 4、若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点． 5、设 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p y x c y x cy x y x = + + 是方程 y y y + + =1 的通解，则 lim ( ) x y x →+ = . 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有（）． (A)只有一个解(B)无数个解(C)只有两个解(D)只有三个解 2、设 p x q x ( ), ( ) 连续， ( ), ( ) 1 2 y x y x 是 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 在 ( , ) − + 上的两个线性无 关解，且 1 2 y y (0) 0, (0) 0 = = ，则（）. （A） p q (0) 0, (0) 0 = = （B） p q (0) 1, (0) 0 = = （C） p q (0) 0, (0) 1 = = （D） p q (0) 1, (0) 1 = = 3、二阶线性非齐次微分方程的所有解（）． （A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间 4、如果 f (x, y)， y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续，而且 f (x, y) 有界，则方程 ( , ) d d f x y x y = 的 任一解的存在区间（）． （A）必为 (−, + ) （B）必为 (0, + ) （C）必为 (−, 0) （D）将因解而定
5、若)是线性齐次方程组业=Axy的一个基解矩阵，T为非奇异×n常数矩阵，那么 dx D(x)T是否还是此方程组的基解矩阵.() (A)不是(B)是(C)也许是(D)也许不是 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×2=16分） y少+xy2=x2、(x+2y)ir-xdy=0 1、 dx 四、设有连接点O(0,0)和A(1,1)的一端向上凸的曲线弧OA,对OA上任一点P(x,y),曲线 OP与直线段OP所围图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程.(8分) 五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8×3=24分） l、x"+x=sint 2、y"+(y')2=0 3、已知方程y"+y'-3y=4e有一个解y,(x)=xe,试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 [k=3x+y+1 dt 满足初始条件(O) 的解。(10分) dy =3y d 七、证明题：（每小题6分，6×2=14分) 1、假设方程业=∫x,)在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且y(x),,()是定义 dx 在区间I上的两个解.求证：若y(x)0,q>0时，方程y”+py+9少=0的一切解当x→+0时，都趋于零
(A)不是(B)是(C)也许是(D)也许不是 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×2=16 分） 1、 dy 2 y xy x dx + = 2、 (x + 2y)dx − xdy = 0 四、设有连接点 O(0,0) 和 A(1,1) 的一端向上凸的曲线弧 OA,对 OA 上任一点 P x y ( , ) ,曲线 OP 与直线段 OP 所围图形的面积为 2 x ,求曲线弧 OA 的方程.（8 分） 五、求下列高阶方程的通解：（每小题 8 分，8×3=24 分） 1、 x x t + = sin 2、 ( ) 0 2 yy + y = 3、已知方程 x y + ay − 3y = 4e 有一个解 x y (x) = xe 1 ，试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 3 1 3 dx x y dt dy y dt = + + = 满足初始条件 − = 1 1 (0) 的解。（10 分） 七、证明题：（每小题 6 分，6×2=14 分） 1、假设方程 ( , ) d d f x y x y = 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是定义 在区间 I 上的两个解．求证：若 ( ) 1 0 y x < ( ) 2 0 y x ， x I 0 ，则在区间 I 上必有 ( ) 1 y x < ( ) 2 y x 成立． 2、证明当 p q 0, 0 时，方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零. 5、若 ( ) x 是线性齐次方程组 ( ) dY A x Y dx = 的一个基解矩阵， T 为非奇异 n n 常数矩阵，那么 ( ) x T 是否还是此方程组的基解矩阵.（）
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(1) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1aN aM (y),2、充分条件，3、整个xoy平面，4、无，5、1 Max y 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1、B2、A3、C4、A5、B 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×2=16分） 1、解y少=x-y)…·3分） y≠打时，1=x…(3分】 从而得y2=1-cer(c为非零的常数) 另外y=±1是方程的解，所以通解为y2=1-ce(c为任意的常数)…(2分) 2、解xdr+2ydr-xdy=0 两边乘以积分因子有…(3分 dx-d少y-2dr=0…(3分)y x 得上+兰=c(c为任意的常数)…(2分) 四、解设曲线弧OA的方程为y=f(x) 由题盒可知，eh-方)=…（3分 两边对x求导，有∫)=国-4，…（3分) 得f(x)=cx-4xlnx,由f(I)=1,可知c=1 所以曲线弧OA的方程为f(x)=x-4xnx…(2分) 五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8×3=24分） 1、解特征方程为12+1=0，得入=i…(3分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(1) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、 1 ( ) N M y M x y − = ，2、充分条件，3、整个 xoy 平面，4、无，5、1 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、B2、A3、C4、A5、B 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×2=16 分） 1、解 2 (1 ) dy y x y dx = − ……….........（3 分） 当 y 1 时， 2 1 y dy xdx y = − …………（3 分） 从而得 2 2 1 x y ce − = − （ c 为非零的常数） 另外 y =1 是方程的解，所以通解为 2 2 1 x y ce − = − （ c 为任意的常数）……（2 分） 2、解 x x y x x y d 2 d d 0 + − = 两边乘以积分因子 3 1 x 有………（3 分） 2 2 4 1 d 2 d d 0 x y xy x x x x − − = ……（3 分）. 得 2 1 y c x x + = （ c 为任意的常数）...…（2 分） 四、解设曲线弧 OA 的方程为 y f x = ( ) 由题意可知， 2 0 1 ( ) ( ) 2 x f x dx xf x x − = ……（3 分） 两边对 x 求导，有 ( ) ( ) 4 f x f x x = − ，……（3 分） 得 f x cx x x ( ) 4 ln = − ，由 f (1) 1 = ，可知 c =1 所以曲线弧 OA 的方程为 f x x x x ( ) 4 ln = − ………（2 分） 五、求下列高阶方程的通解：（每小题 8 分，8×3=24 分） 1、解特征方程为 2 + =1 0 ，得 =i …（3 分）
由于入=山i是单根，因此设非齐次方程的特解x=t(Acost+Bsint) 方程得A三-，B=0,所以特解为元=-。Cos1… 故原方程的通解为x=Gcos1+c,sin1-/cos1(2分) 2、解方程化为(y)'=0 于是有y'=C,C,为任意的常数(4分) =G,即=c(2分） y x 所以通解为5y2=Cx+C2C,C2为任意的常数…(2分) 2 3、解将y,(x)=xe代入原方程得a=2·(3分) 于是齐次方程为y”+2y-3y=0 相应的特征方程为12+21-3=0，得入=-3，入2=1…(3分) 所以原方程的通解是y=ce3x+c,e+xe(2分) 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 2-3-1 =(几-3)2=0，所以特征根为入=3（二重）…(2分) 0 λ-3 对应齐次方程组的基解矩阵 expAt=e3(I+(A-3E)t)=e3 1 (3分》 01 满足初始条件的特解 (t)=exp Ain+exp Atexp(-As)f(s)ds …(2分) 6b6 6] …(3分)》
由于 =i 是单根，因此设非齐次方程的特解 x t A t B t = + ( cos sin ) 代入原方程得 1 , 0 2 A B = − = ，所以特解为 cos 2 t x t = − …（3 分） 故原方程的通解为 1 2 1 cos sin cos 2 x c t c t t t = + − （2 分） 2、解方程化为 ( ) 0 yy = 于是有 1 yy c = ， 1 c 为任意的常数（4 分） 1 dy y c dx = ，即 1 ydy c dx = （2 分） 所以通解为 2 1 2 1 2 y c x c = + 1 2 c c, 为任意的常数…（2 分） 3、解将 x y (x) = xe 1 代入原方程得 a = 2…（3 分） 于是齐次方程为 y y y + − = 2 3 0 相应的特征方程为 2 + − = 2 3 0 ，得 1 2 = − = 3, 1…（3 分） 所以原方程的通解是 3 1 2 x x x y c e c e xe − = + + （2 分） 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 2 3 1 ( 3) 0 0 3 − − = − = − ，所以特征根为 = 3 （二重）…（2 分） 对应齐次方程组的基解矩阵 ( ) 3 3 1 exp ( 3 ) 0 1 t t t At e I A E t e = + − = （3 分） 满足初始条件的特解 0 ( ) exp exp exp( ) ( ) t t At At As f s ds = + − ……………………（2 分） 3 3 3 0 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 3 3 1 1 1 1 1 = 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 = 1 0 1 0 = t t t s t t t t t t t t s e e e ds t t e e e te e e − − − − + − − + − − ……（3 分）
七、证明题：（每小题6分，6×2=12分） 1、证明：设存在x∈1，使y(x)>,(x)…(2分) 令s(x)=(x)-2(x)于是有s(x)0…(2分) 又知s(x)在I上连续，由连续函数的性质必存在5∈I（5介于x,与x,之间) 使得s()=0,即y(5)=y,(5),从而破坏了解的存在唯一性 所以假设不成立，在区间I上必有y(x)0,9>0,而且p2-4g≥0时，此时方程的特征值均为负实数， 当p>0,9>0,而且p2-4g0,g>0, 方程y”+y+少=0的一切解当x→十∞时，都趋于零.…(2分)
七、证明题：（每小题 6 分，6×2=12 分） 1、证明：设存在 1 x I , 使 1 1 2 1 y x y x ( ) ( ) ……（2 分） 令 1 2 s x y x y x ( ) ( ) ( ) = − 于是有 0 1 s x s x ( ) 0, ( ) 0 ……（2 分） 又知 s x( ) 在 I 上连续，由连续函数的性质必存在 I （ 介于 0 x 与 1 x 之间） 使得 s( ) 0 = ，即 1 2 y y ( ) ( ) = ，从而破坏了解的存在唯一性 所以假设不成立，在区间 I 上必有 ( ) 1 y x < ( ) 2 y x 成立（2 分） 2、证明：特征方程为 2 + + = p q 0 2 1,2 4 2 p p q − − = ……………（2 分） 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均为负实数， 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均具有负实部，………（2 分） 而方程的通解表示为 1 2 1 2 x x y c e c e = + （或 1 2 ( ) x y c c x e = + ） 故当 p q 0, 0, 方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零.……………（2 分）