宁德师专《常微分方程》期末考试卷（⑧） 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1、方程M(x,y)d+N(x,y)=0为恰当方程的充要条件是. 2、若y=0()在(~0，+)上连续，则方程少=p(xy的任一非零解（会或不会） dx 与x轴相交. 3、方程y=√少满足解的存在唯一性定理条件的区域是一 4、n阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 5、函数组p,(x),p2(x),,pn(x)在区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间I上恒等于零. 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1、在方程y”"+p(x)y+q(x)y=0中，若p(x),q(x)在(-o,+∞)上连续，则它的非零 解在xOy平面上()与轴相切. (A)可以 (B)也许可以(C)不可以 (D)也许不可以 2、设p(x),q(x)连续，1(x),y2(x)是y"+p(x)y+q(x)y=0在(-o,+o)上的两个 线性无关解，且y"(0)=0,y2"(0)=0,则(). (A)p0)=0,q(0)=0(B)p(0)=1,q(0)=0 (C)p0)=0,g(0)=1(D)p(0)=1,q0)=1 3、二阶齐次线性微分方程的所有解(). (A)构成一个3维线性空间(B)构成一个2维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 4、如果∫x,),C任，卫都在xOy平面上连续，则方程少=fx,)的年一解的存 Cy dx 在区间 (A)必为(-0，+∞)(B)必为(0，+o)
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(8) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 为恰当方程的充要条件是. 2、若 y = (x) 在 (−, + ) 上连续，则方程 x y x y ( ) d d = 的任一非零解（会或不会） 与 x 轴相交． 3、方程 y y = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4、 n 阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 5、函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间 I 上恒等于零． 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、在方程 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 中，若 p x q x ( ), ( ) 在 ( , ) − + 上连续，则它的非零 解在 xoy 平面上（）与轴相切. (A)可以 (B)也许可以 (C)不可以 (D)也许不可以 2、设 p x q x ( ), ( ) 连续， ( ), ( ) 1 2 y x y x 是 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 在 ( , ) − + 上的两个 线性无关解，且 1 2 y y (0) 0, (0) 0 = = ，则（）. （A） p q (0) 0, (0) 0 = = （B） p q (0) 1, (0) 0 = = （C） p q (0) 0, (0) 1 = = （D） p q (0) 1, (0) 1 = = 3、二阶齐次线性微分方程的所有解（）． （A）构成一个 3 维线性空间（B）构成一个 2 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间 4、如果 f (x, y)， y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续，则方程 ( , ) d d f x y x y = 的任一解的存 在区间 （A）必为 (−, + ) （B）必为 (0, + )
(C)必为(-0,0)(D)将因解而定 5、两个不同的齐次线性微分方程组是否可以有相同的基解矩阵？（) (A)不可以 (B)可以(C)也许不可以(D)也许可以 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×2=16分） 1、gvd-ctgxdy=0 2、(x3+xy2+x+y)d-(x-y)y=0 四、一质点沿x轴运动，在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用，设它 从原点出发时，初速度为10m/s,而当它达到坐标为2.5m的点时，其速度为5m/s,求质点 到达坐标为4m的点的速度.(8分) 五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8×3=24分） 1、x"-x=cost 2、xx”-(x)2+(x)3=0 3、设a(t),a2(t),f(t)在[a,b]上连续，且4(t),2(t),4(t)是微分方程 x"+a,(t)x'+a,(t)x=f(t)在[a,b]上的三个线性无关解，试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 dx =x+4y d 满足初始条件(0 的解 (10分) dy =2x+3y dt 七、证明题：（每小题6分，6×2=12分） 1、设y=p,(x)和y=p(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证它们的伏朗 斯基行列式w(x)三c,其中c为常数， -1 2、设x(t)是常系数线性方程组x'= g+2p2-2p x的解，其中p,g为常数，证明： 当p>0,q>0时，limx)=0
（C）必为 (−, 0) （D）将因解而定 5、两个不同的齐次线性微分方程组是否可以有相同的基解矩阵？（） (A)不可以 (B)可以 (C)也许不可以 (D)也许可以 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×2=16 分） 1、tgydx ctgxdy − = 0 2、 3 2 ( ) ( ) 0 x xy x y dx x y dy + + + − − = 四、一质点沿 x 轴运动，在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用，设它 从原点出发时，初速度为 10m/s，而当它达到坐标为 2.5m 的点时，其速度为 5m/s，求质点 到达坐标为 4m 的点的速度.（8 分） 五、求下列高阶方程的通解：（每小题 8 分，8×3=24 分） 1、 x x t − = cos 2、 2 3 xx x x − + = ( ) ( ) 0 3 、 设 ( ), ( ), ( ) 1 2 a t a t f t 在 [a,b] 上 连 续 ， 且 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 是 微 分 方 程 ( ) ( ) ( ) 1 2 x + a t x + a t x = f t 在 [a,b] 上的三个线性无关解，试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 4 2 3 dx x y dt dy x y dt = + = + 满足初始条件 − = 1 1 (0) 的解.（10 分） 七、证明题：（每小题 6 分，6×2=12 分） 1、设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证它们的伏朗 斯基行列式 w(x) c ，其中 c 为常数. 2、设 x(t) 是常系数线性方程组 x q p p p x + − − = 2 2 1 2 的解，其中 p, q 为常数，证明： 当 p 0, q 0 时， ( ) 0 lim t x t →+ =
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷（⑧） 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1、Ma ay Ox ,2、不会，3、除去x轴的整个xoy平面（即y≠0的区域），4、n+1, 5、必要条件 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1、C2、A3、B4、D5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×2=16分） 1、解当y≠kπ时， 变= ….(3分) tgy cigx 从而得sin ycosx=c(c为非零的常数)…(3分) 另外y=kπ(k=0,±1，.)是方程的常值解.…(2分) 2、解方程变为x(x2+y2)dr+xd+ydx-xdy+y=0 两边乘以积分因子，】 有…(3分) x2+y2 xdx+ 1dx2+y)+k-x=0…(2分）. 2x2+y2x2+y2 得x2+ln(x2+y2)+2arcg=c(c为任意的常数).…(3分) 四、解由牛顿第二定律有m-(k>0是比例系数)…(2分) 解得v=e出，由0)=10，可知G=10,从而v=10e…(2分) 又少=，即=10e,可得3=-10me中+G, dt k 由s(0)=0,得c2 10m,于是s=10m(1-e)-…（2分) k k 当5=2.5时，v=5,故当S=4时，v=2…(2分) 五、求下列高阶方程的通解：（每小题8分，8×3=24分）
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(8) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、 M N y x = ，2、不会，3、除去 x 轴的整个 xoy 平面（即 y 0 的区域），4、n+1， 5、必要条件 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、C2、A3、B4、D5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×2=16 分） 1、解当 y k 时， dy dx tgy ctgx = ……….........（3 分） 从而得 sin cos y x c = （ c 为非零的常数）…………（3 分） 另外 y k k = = ( 0, 1,...) 是方程的常值解.…………（2 分） 2、解方程变为 2 2 x x y x xdx y x x y ydy ( )d d d 0 + + + − + = 两边乘以积分因子 2 2 1 x y + 有……………（3 分） 2 2 2 2 2 2 1 ( ) d 0 2 d x y ydx xdy x x x y x y + − + + = + + …………（2 分）. 得 2 2 2 ln( ) 2 x x x y arctg c y + + + = （ c 为任意的常数）..…………（3 分） 四、解由牛顿第二定律有 dv m kv dt = − （ k 0 是比例系数）…………（2 分） 解得 1 k m t v c e − = ，由 v(0) 10 = ，可知 1 c =10 ，从而 10 k m t v e − = …（2 分） 又 ds v dt = ，即 10 k m ds t e dt − = ，可得 2 10 k m m t s e c k − = − + ， 由 s(0) 0 = ，得 2 10m c k = ，于是 10 (1 ) k m m t s e k − = − ……………（2 分） 当 s = 2.5 时， v = 5 ，故当 s = 4 时， v = 2…………（2 分） 五、求下列高阶方程的通解：（每小题 8 分，8×3=24 分）
1、解特征方程为P-1=0,得久=13=-1±5 …(3分) 由于入=士i不是特征根，因此设非齐次方程的特解文=(Acost+Bsint), 代入原方程得A=B=了所以特解为= 2(cos1+sin0)…(3分) 故原方程的通解为 x=e(ccos91+c,sin90+c,e-(cos1+sin）…(2分) 2、解两边乘以1 -=0…(3分) (r2 方程化为x-x)- (x3 X 于是有x-文=G,G为任意的常数…(3分) 即X-C9k=d山，有x-clnx上1+C2,G,C,为任意的常数(2分) 另外当x'=0时，x=c也是解 3、解由定理可知(t)-4(1),4(t)-4(t)是对应齐次方程的两个解，…(3分) 令C(4(t)-4(t)+c2(4(t)-4(t)=0 即(C+c2)4(t)-c4,(t)-c24(t)=0, 由中(t),中2(t),中(t)线性无关，所以必有C=C2=0, 因此()-4()，()-4()是齐次方程的两个线性无关解…(3分) 所以原方程的通解是x=c((t)-4(t)+c,((t)-4(t)+4(t)(2分) 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 -1 -4 =(22-4元-5)=0，所以特征根为2=-1，入2=5…(2分)=-1时 -2 -3引 对应的特征向量为u三 (a≠0)，=5时对应的特征向量为v 0 对应齐次方程组的基解矩阵Φ(t) (3分) 满足初始条件的特解
1、解特征方程为 3 − =1 0 ，得 1 2,3 1 3 1, 2 i − = = ………（3 分） 由于 =i 不是特征根，因此设非齐次方程的特解 x A t B t = + ( cos sin ) ， 代入原方程得 1 2 A B = = − ，所以特解为 1 (cos sin ) 2 x t t = − + …（3 分） 故原方程的通解为 1 2 3 3 1 2 3 2 2 1 ( cos sin ) (cos sin ) 2 t t x e c t c t c e t t − = + + − + …（2 分） 2、解两边乘以 2 1 ( ) x ，方程化为 2 2 ( ) 0 ( ) x xx x x − − = ……（3 分） 于是有 1 x x c x − = ， 1 c 为任意的常数…（3 分） 即 1 x c dx dt x − = ，有 1 2 x c x t c − = + ln | | ， 1 2 c c, 为任意的常数（2 分） 另外当 x = 0 时， x c = 也是解 3、解由定理可知 1 2 1 3 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是对应齐次方程的两个解，……（3 分） 令 1 1 2 2 1 3 c t t c t t ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0 − + − = 即 1 2 1 1 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c c t c t c t + − − = ， 由 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 线性无关，所以必有 1 2 c c = = 0 ， 因此 1 2 1 3 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是齐次方程的两个线性无关解…（3 分） 所以原方程的通解是 1 1 2 2 1 3 1 x c t t c t t t = − + − + ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) （2 分） 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 2 1 4 ( 4 5) 0 2 3 − − = − − = − − ，所以特征根为 1 2 = − = 1, 5…（2 分） 1 =−1 时 对应的特征向量为 2 ( 0) 1 u = − ， 1 = 5 时对应的特征向量为 1 ( 0) 1 v = 对应齐次方程组的基解矩阵 5 5 2 ( ) t t t t e e t e e − − = − （3 分） 满足初始条件的特解
t)=(t)Φ(0)川…(2分) (3分) =4e+e 32e'+e 七、证明题：（每小题6分，6×2=12分） 1、证明：y=p,(x)和y=p,(x)它们构成的伏朗斯基行列式 (x) 4(x) w(x)= …(2分) 4(x) 4'(x 4(x) 4(x) w'(x)= …(2分) 4"(x)4"(x) 由于y=g,(x)和y=p2(x)是方程y”+q(x)y=0的解，因此 4(x)+qx)4(x)=0,42(x)+q(x)4(x)=0 所以w'(x)=0,故w(x)=c…(2分) 2、证明：特征方程为21-A= 元-p 1=+p+q=0 -q-2p21+2p 1=p±D-4g (2分) 2 当p>0,q>0,而且p2-4q≥0时，此时方程的特征值均为负实数， 当p>0,q>0,而且p2-4g0,9>0,方程组 x=p -1 x的一切解当x一→+o0时，都趋于零.…(2分) (q+2p2-2p
1 ( ) ( ) (0) t t − = …………………（2 分） 5 5 5 5 1 2 1 -1 1 = 3 1 2 1 1 4 = 3 2 t t t t t t t t e e e e e e e e − − − − − − − + + ……（3 分） 七、证明题：（每小题 6 分，6×2=12 分） 1、证明： ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 它们构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = ……（2 分） 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = ……（2 分） 由于 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的解，因此 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 x q x x x q x x + = + = 所以 w x ( ) 0 = ，故 w x c ( ) = ……（2 分） 2、证明：特征方程为 2 2 1 0 2 2 p I A p q q p p − − = = + + = − − + 2 1,2 4 2 p p q − − = （2 分） 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均为负实数， 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均具有负实部，…（2 分） 故当 p q 0, 0, 方程组 x q p p p x + − − = 2 2 1 2 的一切解当 x → + 时，都趋于零.…………（2 分）