
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(⑧) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题:(每小题3分,5×3=15分) 1、方程M(x,y)d+N(x,y)=0为恰当方程的充要条件是. 2、若y=0()在(~0,+)上连续,则方程少=p(xy的任一非零解(会或不会) dx 与x轴相交. 3、方程y=√少满足解的存在唯一性定理条件的区域是一 4、n阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 5、函数组p,(x),p2(x),,pn(x)在区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间I上恒等于零. 二、选择题:(每小题3分,5×3=15分) 1、在方程y”"+p(x)y+q(x)y=0中,若p(x),q(x)在(-o,+∞)上连续,则它的非零 解在xOy平面上()与轴相切. (A)可以 (B)也许可以(C)不可以 (D)也许不可以 2、设p(x),q(x)连续,1(x),y2(x)是y"+p(x)y+q(x)y=0在(-o,+o)上的两个 线性无关解,且y"(0)=0,y2"(0)=0,则(). (A)p0)=0,q(0)=0(B)p(0)=1,q(0)=0 (C)p0)=0,g(0)=1(D)p(0)=1,q0)=1 3、二阶齐次线性微分方程的所有解(). (A)构成一个3维线性空间(B)构成一个2维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 4、如果∫x,),C任,卫都在xOy平面上连续,则方程少=fx,)的年一解的存 Cy dx 在区间 (A)必为(-0,+∞)(B)必为(0,+o)
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(8) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题:(每小题 3 分,5×3=15 分) 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 为恰当方程的充要条件是. 2、若 y = (x) 在 (−, + ) 上连续,则方程 x y x y ( ) d d = 的任一非零解(会或不会) 与 x 轴相交. 3、方程 y y = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 4、 n 阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 5、函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间 I 上恒等于零. 二、选择题:(每小题 3 分,5×3=15 分) 1、在方程 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 中,若 p x q x ( ), ( ) 在 ( , ) − + 上连续,则它的非零 解在 xoy 平面上()与轴相切. (A)可以 (B)也许可以 (C)不可以 (D)也许不可以 2、设 p x q x ( ), ( ) 连续, ( ), ( ) 1 2 y x y x 是 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 在 ( , ) − + 上的两个 线性无关解,且 1 2 y y (0) 0, (0) 0 = = ,则(). (A) p q (0) 0, (0) 0 = = (B) p q (0) 1, (0) 0 = = (C) p q (0) 0, (0) 1 = = (D) p q (0) 1, (0) 1 = = 3、二阶齐次线性微分方程的所有解(). (A)构成一个 3 维线性空间(B)构成一个 2 维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 4、如果 f (x, y), y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续,则方程 ( , ) d d f x y x y = 的任一解的存 在区间 (A)必为 (−, + ) (B)必为 (0, + )

(C)必为(-0,0)(D)将因解而定 5、两个不同的齐次线性微分方程组是否可以有相同的基解矩阵?() (A)不可以 (B)可以(C)也许不可以(D)也许可以 三、求下列一阶微分方程的通解:(每小题8分,8×2=16分) 1、gvd-ctgxdy=0 2、(x3+xy2+x+y)d-(x-y)y=0 四、一质点沿x轴运动,在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用,设它 从原点出发时,初速度为10m/s,而当它达到坐标为2.5m的点时,其速度为5m/s,求质点 到达坐标为4m的点的速度.(8分) 五、求下列高阶方程的通解:(每小题8分,8×3=24分) 1、x"-x=cost 2、xx”-(x)2+(x)3=0 3、设a(t),a2(t),f(t)在[a,b]上连续,且4(t),2(t),4(t)是微分方程 x"+a,(t)x'+a,(t)x=f(t)在[a,b]上的三个线性无关解,试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 dx =x+4y d 满足初始条件(0 的解 (10分) dy =2x+3y dt 七、证明题:(每小题6分,6×2=12分) 1、设y=p,(x)和y=p(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解,求证它们的伏朗 斯基行列式w(x)三c,其中c为常数, -1 2、设x(t)是常系数线性方程组x'= g+2p2-2p x的解,其中p,g为常数,证明: 当p>0,q>0时,limx)=0
(C)必为 (−, 0) (D)将因解而定 5、两个不同的齐次线性微分方程组是否可以有相同的基解矩阵?() (A)不可以 (B)可以 (C)也许不可以 (D)也许可以 三、求下列一阶微分方程的通解:(每小题 8 分,8×2=16 分) 1、tgydx ctgxdy − = 0 2、 3 2 ( ) ( ) 0 x xy x y dx x y dy + + + − − = 四、一质点沿 x 轴运动,在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用,设它 从原点出发时,初速度为 10m/s,而当它达到坐标为 2.5m 的点时,其速度为 5m/s,求质点 到达坐标为 4m 的点的速度.(8 分) 五、求下列高阶方程的通解:(每小题 8 分,8×3=24 分) 1、 x x t − = cos 2、 2 3 xx x x − + = ( ) ( ) 0 3 、 设 ( ), ( ), ( ) 1 2 a t a t f t 在 [a,b] 上 连 续 , 且 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 是 微 分 方 程 ( ) ( ) ( ) 1 2 x + a t x + a t x = f t 在 [a,b] 上的三个线性无关解,试求该方程的通解. 六、求解下列微分方程组 4 2 3 dx x y dt dy x y dt = + = + 满足初始条件 − = 1 1 (0) 的解.(10 分) 七、证明题:(每小题 6 分,6×2=12 分) 1、设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解,求证它们的伏朗 斯基行列式 w(x) c ,其中 c 为常数. 2、设 x(t) 是常系数线性方程组 x q p p p x + − − = 2 2 1 2 的解,其中 p, q 为常数,证明: 当 p 0, q 0 时, ( ) 0 lim t x t →+ =

宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(⑧) 评分标准既参考答案 一、填空题:(每小题3分,5×3=15分) 1、Ma ay Ox ,2、不会,3、除去x轴的整个xoy平面(即y≠0的区域),4、n+1, 5、必要条件 二、选择题:(每小题3分,5×3=15分) 1、C2、A3、B4、D5、A 三、求下列一阶微分方程的通解:(每小题8分,8×2=16分) 1、解当y≠kπ时, 变= ….(3分) tgy cigx 从而得sin ycosx=c(c为非零的常数)…(3分) 另外y=kπ(k=0,±1,.)是方程的常值解.…(2分) 2、解方程变为x(x2+y2)dr+xd+ydx-xdy+y=0 两边乘以积分因子,】 有…(3分) x2+y2 xdx+ 1dx2+y)+k-x=0…(2分). 2x2+y2x2+y2 得x2+ln(x2+y2)+2arcg=c(c为任意的常数).…(3分) 四、解由牛顿第二定律有m-(k>0是比例系数)…(2分) 解得v=e出,由0)=10,可知G=10,从而v=10e…(2分) 又少=,即=10e,可得3=-10me中+G, dt k 由s(0)=0,得c2 10m,于是s=10m(1-e)-…(2分) k k 当5=2.5时,v=5,故当S=4时,v=2…(2分) 五、求下列高阶方程的通解:(每小题8分,8×3=24分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(8) 评分标准既参考答案 一、填空题:(每小题 3 分,5×3=15 分) 1、 M N y x = ,2、不会,3、除去 x 轴的整个 xoy 平面(即 y 0 的区域),4、n+1, 5、必要条件 二、选择题:(每小题 3 分,5×3=15 分) 1、C2、A3、B4、D5、A 三、求下列一阶微分方程的通解:(每小题 8 分,8×2=16 分) 1、解当 y k 时, dy dx tgy ctgx = ……….........(3 分) 从而得 sin cos y x c = ( c 为非零的常数)…………(3 分) 另外 y k k = = ( 0, 1,...) 是方程的常值解.…………(2 分) 2、解方程变为 2 2 x x y x xdx y x x y ydy ( )d d d 0 + + + − + = 两边乘以积分因子 2 2 1 x y + 有……………(3 分) 2 2 2 2 2 2 1 ( ) d 0 2 d x y ydx xdy x x x y x y + − + + = + + …………(2 分). 得 2 2 2 ln( ) 2 x x x y arctg c y + + + = ( c 为任意的常数)..…………(3 分) 四、解由牛顿第二定律有 dv m kv dt = − ( k 0 是比例系数)…………(2 分) 解得 1 k m t v c e − = ,由 v(0) 10 = ,可知 1 c =10 ,从而 10 k m t v e − = …(2 分) 又 ds v dt = ,即 10 k m ds t e dt − = ,可得 2 10 k m m t s e c k − = − + , 由 s(0) 0 = ,得 2 10m c k = ,于是 10 (1 ) k m m t s e k − = − ……………(2 分) 当 s = 2.5 时, v = 5 ,故当 s = 4 时, v = 2…………(2 分) 五、求下列高阶方程的通解:(每小题 8 分,8×3=24 分)

1、解特征方程为P-1=0,得久=13=-1±5 …(3分) 由于入=士i不是特征根,因此设非齐次方程的特解文=(Acost+Bsint), 代入原方程得A=B=了所以特解为= 2(cos1+sin0)…(3分) 故原方程的通解为 x=e(ccos91+c,sin90+c,e-(cos1+sin)…(2分) 2、解两边乘以1 -=0…(3分) (r2 方程化为x-x)- (x3 X 于是有x-文=G,G为任意的常数…(3分) 即X-C9k=d山,有x-clnx上1+C2,G,C,为任意的常数(2分) 另外当x'=0时,x=c也是解 3、解由定理可知(t)-4(1),4(t)-4(t)是对应齐次方程的两个解,…(3分) 令C(4(t)-4(t)+c2(4(t)-4(t)=0 即(C+c2)4(t)-c4,(t)-c24(t)=0, 由中(t),中2(t),中(t)线性无关,所以必有C=C2=0, 因此()-4(),()-4()是齐次方程的两个线性无关解…(3分) 所以原方程的通解是x=c((t)-4(t)+c,((t)-4(t)+4(t)(2分) 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 -1 -4 =(22-4元-5)=0,所以特征根为2=-1,入2=5…(2分)=-1时 -2 -3引 对应的特征向量为u三 (a≠0),=5时对应的特征向量为v 0 对应齐次方程组的基解矩阵Φ(t) (3分) 满足初始条件的特解
1、解特征方程为 3 − =1 0 ,得 1 2,3 1 3 1, 2 i − = = ………(3 分) 由于 =i 不是特征根,因此设非齐次方程的特解 x A t B t = + ( cos sin ) , 代入原方程得 1 2 A B = = − ,所以特解为 1 (cos sin ) 2 x t t = − + …(3 分) 故原方程的通解为 1 2 3 3 1 2 3 2 2 1 ( cos sin ) (cos sin ) 2 t t x e c t c t c e t t − = + + − + …(2 分) 2、解两边乘以 2 1 ( ) x ,方程化为 2 2 ( ) 0 ( ) x xx x x − − = ……(3 分) 于是有 1 x x c x − = , 1 c 为任意的常数…(3 分) 即 1 x c dx dt x − = ,有 1 2 x c x t c − = + ln | | , 1 2 c c, 为任意的常数(2 分) 另外当 x = 0 时, x c = 也是解 3、解由定理可知 1 2 1 3 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是对应齐次方程的两个解,……(3 分) 令 1 1 2 2 1 3 c t t c t t ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0 − + − = 即 1 2 1 1 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c c t c t c t + − − = , 由 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 线性无关,所以必有 1 2 c c = = 0 , 因此 1 2 1 3 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是齐次方程的两个线性无关解…(3 分) 所以原方程的通解是 1 1 2 2 1 3 1 x c t t c t t t = − + − + ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (2 分) 六、求解下列微分方程组 解特征方程为 2 1 4 ( 4 5) 0 2 3 − − = − − = − − ,所以特征根为 1 2 = − = 1, 5…(2 分) 1 =−1 时 对应的特征向量为 2 ( 0) 1 u = − , 1 = 5 时对应的特征向量为 1 ( 0) 1 v = 对应齐次方程组的基解矩阵 5 5 2 ( ) t t t t e e t e e − − = − (3 分) 满足初始条件的特解

t)=(t)Φ(0)川…(2分) (3分) =4e+e 32e'+e 七、证明题:(每小题6分,6×2=12分) 1、证明:y=p,(x)和y=p,(x)它们构成的伏朗斯基行列式 (x) 4(x) w(x)= …(2分) 4(x) 4'(x 4(x) 4(x) w'(x)= …(2分) 4"(x)4"(x) 由于y=g,(x)和y=p2(x)是方程y”+q(x)y=0的解,因此 4(x)+qx)4(x)=0,42(x)+q(x)4(x)=0 所以w'(x)=0,故w(x)=c…(2分) 2、证明:特征方程为21-A= 元-p 1=+p+q=0 -q-2p21+2p 1=p±D-4g (2分) 2 当p>0,q>0,而且p2-4q≥0时,此时方程的特征值均为负实数, 当p>0,q>0,而且p2-4g0,9>0,方程组 x=p -1 x的一切解当x一→+o0时,都趋于零.…(2分) (q+2p2-2p
1 ( ) ( ) (0) t t − = …………………(2 分) 5 5 5 5 1 2 1 -1 1 = 3 1 2 1 1 4 = 3 2 t t t t t t t t e e e e e e e e − − − − − − − + + ……(3 分) 七、证明题:(每小题 6 分,6×2=12 分) 1、证明: ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 它们构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = ……(2 分) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = ……(2 分) 由于 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的解,因此 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 x q x x x q x x + = + = 所以 w x ( ) 0 = ,故 w x c ( ) = ……(2 分) 2、证明:特征方程为 2 2 1 0 2 2 p I A p q q p p − − = = + + = − − + 2 1,2 4 2 p p q − − = (2 分) 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时,此时方程的特征值均为负实数, 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时,此时方程的特征值均具有负实部,…(2 分) 故当 p q 0, 0, 方程组 x q p p p x + − − = 2 2 1 2 的一切解当 x → + 时,都趋于零.…………(2 分)