宁德师专《常微分方程》期末考试卷(3) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、当 时，方程M(x,y)d+N(x,y)少=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、若y=(x),y(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为. 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的」 条件 4、求少=（化，）满足(x,)=%的解等价求积分方程 的连续解。 dx 5、若x(),x2(),x()为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 6、阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间. 7、齐线性微分方程组Y'(x)=A(x)Y的解组Y(x),Y(x),…,Y,(x)为基本解组的条件是 它们的朗斯基行列式W(x)≠0. 8、若①(t)是常系数线性方程组x'=Ax的基解矩阵，则expAt=- 9、方程y”+4y=0的基本解组是. 10、方程少+ysmx=e产的任一解的最大存在区间必定是 dx 二、求下列方程（组）的通解（每小题8分，8×5=40分） 1、 +3y=e2 dx 2、(x3+xy2)dr+(x2y+y3)dy=0 3、e'+y'-x=0 4、y"-5y'=sin5x dx =x+y dt 5、 dy dt .=4x+y 三、(10分)求微分方程初植向题少 =x+y2,(0)=0的第三次近似解
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(3) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、当_______________时，方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 称为恰当方程，或称全微分方程。 2、若 y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为． 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的 条件 4、求 ( , ) dy f x y dx = 满足 0 0 (x ) = y 的解等价求积分方程____________________的连续解。 5、若 1 2 ( ), ( ),... ( ) n x t x t x t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是 ___________。 6、 n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 7、齐线性微分方程组 Y x A x Y ( ) ( ) = 的解组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 为基本解组的 条件是 它们的朗斯基行列式 W (x) 0 ． 8、若 ( )t 是常系数线性方程组 x = Ax / 的基解矩阵，则 expAt=____________。 9、方程 y + 4y = 0 的基本解组是． 10、方程 x y x x y sin e d d + = 的任一解的最大存在区间必定是 ． 二、求下列方程（组）的通解（每小题 8 分，8×5＝40 分） 1、 x y x y 2 3 e d d + = 2、 ( )d ( )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 3、 e + − = 0 y x y 4、 y − 5y = sin 5x 5、 = + = + x y t y x y t x 4 d d d d 三、（10 分）求微分方程初植问题 2 x y dx dy = + ， y(0) 0 = 的第三次近似解
四、证明题（每小题10分，10×2=20分） 1、设y=9(x)和y=p2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式W(x)=C,其中C为常数. 2.设f)在0，+0)上连续，且mf)=0,求证：方程业+y=)的任意解y=) dx 均有limy(x)=0. 1K￥+0
四、证明题（每小题 10 分，10×2＝20 分） 1、设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式 W (x) C ，其中 C 为常数． 2．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(3) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、 aMs》_-Nx,卫2、C()-y,(x+y()3、充分， d Ox 4、y=o+广fx,y5、wk),x,,,x()]≠0,6、n 7、充分必要，8、Φ(t)Φ-l(0)9、sin2x,cos2x,10、(-o,+o) 二、求下列方程（组）的通解（每小题8分，8×5=40分） 1、解齐次方程的通解为 y=Ce-3x(3分) 令非齐次方程的特解为y=C(x)e3x(5分) 代入原方程，确定出 C(x)=e+C 5 原方程的通解为 =号”8分 2、解由于M=2y= ON ,所以原方程是全微分方程.(3分) ay Ox 取(x0,yo)=(0,0),(5分) 原方程的通积分为 f(x'+xy)dx+Py'dy=C 即x4+2x2y2+y4=C(8分) 3、解令y'=1,则原方程的参数形式为 x=1+e (y=t (3分)由基本关系式 dy=y'dx =t(1+e')dt
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(3) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、 x N x y y M x y = ( , ) ( , ) 2、 [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x 3、充分， 4、y= 0 y + f x y dx x x0 ( , ) 5、w x1 (t), x2 (t,),..., xn (t) 0 ，6、n 7、充分必要，8、 ( ) (0) −1 t 9、sin 2x, cos 2x ，10、(−, + ) 二、求下列方程（组）的通解（每小题 8 分，8×5＝40 分） 1、解齐次方程的通解为 x y C 3 e − = （3 分） 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = （5 分） 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2 x e 5 1 （8 分） 2、解由于 x N xy y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程．（3 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，（5 分） 原方程的通积分为 1 0 3 0 3 2 (x xy )dx y dy C x y + + = 即 x + x y + y = C 4 2 2 4 2 （8 分） 3、解令 y = t ，则原方程的参数形式为 = = + y t x t t e （3 分）由基本关系式 y y x t t t d = d = (1+ e )d
积分有y=)2+e-)+C(5分) 2 得原方程参数形式通解 x=t+e (8分) y-z2+e(-D+C 4、解方程的特征根为2=0，入，=5 齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x(4分) 因为α±B=±5i不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y(x)=Asin 5x+Bcos5x (6) 代入原方程，比较系数得 「-25A+25B=1 -25A-25B=0 确定出A= 1 0B=50 原方程的通解为y=C,+C2e5x+ 5 (cos5x-sin5x)。(8分) 5、解特征方程为 1-元1 A-=41- =0即2-21-3=0(2分) 特征根为2=3，元2=-1(4分) 入=3对应特征向量应满足 「1-3 41-3bJ 可确定出 0 9 F2 (5分) 同样可算出入，=-1对应的特征向量为 (6分)
积分有 y t t C t = + e ( −1) + 2 1 2 （5 分） 得原方程参数形式通解 = + − + = + y t t C x t t t e ( 1) 2 1 e 2 （8 分） 4、解方程的特征根为 1 = 0，2 = 5 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e （4 分） 因为 i = 5i 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y (x) Asin 5x Bcos5x 1 = + （6 分） 代入原方程，比较系数得 − − = − + = 25 25 0 25 25 1 A B A B 确定出 50 1 A = − ， 50 1 B = 。 原方程的通解为 (cos5 sin 5 ) 50 1 e 5 1 2 y C C x x x = + + − 。（8 分） 5、解特征方程为 0 4 1 1 1 = − − − = A E 即 2 3 0 2 − − = （2 分） 特征根为 1 = 3，2 = −1 （4 分） 1 = 3 对应特征向量应满足 = − − 0 0 4 1 3 1 3 1 1 1 b a 可确定出 = 2 1 1 1 b a （5 分） 同样可算出 2 = −1 对应的特征向量为 − = 2 1 2 2 b a （6 分）
所以，原方程组的通解为 [-c[e] (8分) 三、(10分) 解：p(x)=0(2分) 9,(x)=+2(k=,x2(4分) p,)=l+m'ak=)r2+ 1 0 x5(7分) a-+-+r+o"+分》 20 160 四、证明题（每小题10分，10×2=20分》 1、证明如果y=p,(x)和y=p2(x)是二阶线性齐次方程 y"+p(x)y'+g(x)y=0 的解，那么由刘维尔公式有 P)=形K,e式ou (5分) 现在，p(x)=0故有 W()=e=W)=C10分) 2.证明设y=y(x)为方程任一解满足y(x)=y。,由常数变易法有 )=%e)+ef(s)eds(6分) 于是 只中÷+职 eds eto 0 ，若f)eds收敛 =0(10分) mfe=0,若∫f()eds发散 e-
所以，原方程组的通解为 − + = − − t t t t C C y x 2e e 2e e 3 2 3 1 （8 分） 三、（10 分） 解： 0 (x) = 0 （2 分） 2 0 2 1 0 2 1 (x) x (x) dx x x = + = （4 分） 2 5 0 2 2 1 20 1 2 1 (x) x (x) dx x x x = + = + （7 分） 2 5 1 1 8 0 2 3 2 160 1 4400 1 20 1 2 1 (x) x (x) dx x x x x x = + = + + + （10 分） 四、证明题（每小题 10 分，10×2＝20 分） 1、证明如果 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，那么由刘维尔公式有 = − x 0 ( )d 0 ( ) ( )e x p t t W x W x （5 分） 现在， p(x) 0 故有 W x W x W x C x t = = = − ( ) ( )e ( ) 0 0d 0 x 0 （10 分） 2．证明设 y = y(x) 为方程任一解满足 0 0 y(x ) = y ，由常数变易法有 − − − − − = + x x x x x x s x y x y f s 0 0 0 ( ) e e (s)e d ( ) ( ) 0 （5 分） 于是 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − → − → → = + 0 0 0 0 0 0 0 ( )e d ( )e lim 0, ( )e d e s x x x x s x x x x x f s s f x f s s − − − → − = = ， 若 收敛 若 发散 =0（10 分）