U K 第九章】 压杆稳定 本章内容： 1 压杆稳定的概念 2两端铰支细长压杆的临界压力 3其他支座条件下细长压杆的临界压力 46 欧拉公式的适用范围经验公式 5压杆的稳定校核 6提高压杆稳定性的措施 7纵横弯曲的概念
2 第九章 压杆稳定 本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5 压杆的稳定校核 6 提高压杆稳定性的措施 7 纵横弯曲的概念
§9.1压杆稳定的概念 前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。 稳定性问题的例子 平衡形式突然改变→ 丧失稳定性→失稳
3 §9. 1 压杆稳定的概念 前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。 稳定性问题的例子 平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳
U K 平衡形式突然改变→丧失稳定性→失稳 构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。 脚手架倒塌 平衡的稳 定性
4 平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳 构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。 脚手架倒塌 平衡的稳 定性
平衡的稳定性 77777777777 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 压杆的平衡 P<Per P≥Per 稳定性 当P<P 干扰力 当P2Pe 77777 77
5 平衡的稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 压杆的平衡 稳定性 当 P Pcr 当 P Pcr
U K 压杆的平衡 P<Pcr P≥Per 稳定性 当P<P 干扰力 当P≥Pr 当P<P时，压杆的直线平衡状态是稳定的。 当P≥P时，直线平衡状态转变为不稳定的， 受干扰后成为微弯平衡状态。 临界压力P 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力
6 压杆的平衡 稳定性 临界压力 Pcr 当 P Pcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。 当 P Pcr时，直线平衡状态转变为不稳定的， 受干扰后成为微弯平衡状态。 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。 当 P Pcr 当 P Pcr
U K 59.2两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 力P作用 考察微弯平衡状态 x处截面的弯矩 (x) M=-Pv 挠曲线近似微分 方程 M dx2 EI 7一为截面最小的惯性矩 d2v Pv dx2 EI
7 §9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 力P作用 考察微弯平衡状态 x处截面的弯矩 M = −Pv 挠曲线近似微分 EI M x v = 2 2 d d I ⎯ 为截面最小的惯性矩 EI Pv x v = − 2 2 d d 方程 + v = 0 EI P v
D1) dx EI EI 引入记号 k2 EI v"+k2v=0 通解为 v=Asin kx+Bcoskx 其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。 边界条件为：x=0时，v=0: x=1时，y=0 将x=0,y=0代入通解 B=0 将x=L,v=0代入通解 Asin kl=0
8 EI Pv x v = − 2 2 d d + v = 0 EI P v EI P k = 引入记号 2 0 2 v + k v = 通解为 v = Asin kx+ Bcoskx 其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0代入通解 Asin kl = 0
UD 边界条件为：x=0时，v=0; x=1时，v=0 将x=0,v=0代入通解 B=0 将x=,v=0代入通解 Asin kl=0 因A≠0， 所以应有 sin kl=0 kl=nπ，(n=0,1,2, 代入2= n2元2El 12 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取n=1。 9
9 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0 代入通解 Asin kl = 0 因 A 0, 所以应有 sin kl = 0 k l = n, (n = 0,1, 2, ) 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1
U K 代入k2= n2π2E1 12 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取n=1。 元2E1 欧拉公式 12 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 当取n=1时，由kl=n元，→k= 则，挠曲线方程为v=Asim 元X 1 10
10 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1 。 2 2 l EI Pcr = 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 ⎯ 欧拉公式 当取 n = 1 时，由 kl = n, l k = 则，挠曲线方程为 l x v A = sin
当取n=1时，由kl=n元，→k= π 则，挠曲线方程为v=Asin 元X 其中，A为杆中点的挠度。 A的数值不确定。 欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线 P=1.152P时， δ≈0.31 理想受压直杆 非理想受压直杆
11 当 取 n = 1 时，由 kl = n , l k = 则，挠曲线方程为 lx v A = sin 其中， A为杆中点的挠度。 A的数值不确定。 欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线 理想受压直杆 非理想受压直杆 P 152 Pcr = 1 . 0 . 3 l 时