福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十二章 柱函数

第十二章柱函数 12.1柱坐标下拉氏方程的解 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为： 18 ou,1 o'n ou pop Pop)png =0 令： u(p,z)=R(p)()Z(z) ΦZa,那\+R2Φ+RΦZ=0 p ap ap) +0 ROp ap Φ OR ROp ap

1 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为： 第十二章 柱函数 §12.1 柱坐标下拉氏方程的解 2 2 2 2 2 1 1 0 u u u z             + + =         令：u z R Z z (    , , ) =  ( ) ( ) ( ) " " 2 0 Z R RZ  R Z          +  +  =       " " 2 0 R Z R Z           + + =        " " R Z2 R Z           + = −        = 

ap =0, Φ”+Φ=0， Φ”+2Φ=0， 自然周期条件 Φ(p+2π)=Φ(p) 本征值：2=m (m=0,1,2,.: 本征函数：Φ=C1 cos mp+c,sinmo. 1∂ OR Z” m2 =0 pROp ap 1 a OR pRop ∂ OR 0 ap 2

2 " 2 0, R Z R Z           + − =       "  +  =  0, ( ) ( ) " 0, 2      +  =   + =  自然周期条件 本征值： ( ) 2  = = m m 0,1,2, . 本征函数： 1 2  = + c m c m cos sin .   " 2 2 1 0, R Z m R Z          + − =       = − 2 " 2 1 R m Z R Z          − = −       2 2 1 0, R m R               + − =        

a OR 0 ap ap) +(2-m）R=0 Z”-uZ=0. 讨论： ①4=0 Z”=0, Z=C33+C4 当m=0时， a(,R=0, R=csInp+c6- 当m≠0时，pR+p那 -m2R=0, 一欧勒齐次方程 8p" R=Cpm+Csp ②4>0z-(Nmz=0, 2R+p+(p2-m)R=0, op+pap 3

3 ( ) 2 2 0; R    m R       + − =       " Z Z − =  0. 讨论： ①  = 0 " Z = 0, Z c z c = + 3 4 当m = 0时， 0, R        =       5 6 R c c = + ln .  当m  0时， 2 2 2 2 0, R R   m R     + − =   —— 欧勒齐次方程 7 8 . m m R c c   − = + ②   0 ( ) 2 " Z Z − =  0, 9 10 . z z Z c e c e   − = + ( ) 2 2 2 2 2 0, R R    m R     + + − =  

令：x=√p →x202R OR +x +(x2-m）R=0, Ox .(p) m阶贝塞耳方程 m阶诺尔曼函数 N.(Vp R-J(VEip) 柱内 ③u<0令：4=-R,Z”+Z=0,Z=Cu coshz+c2sinz. p8盼*r6ep+m)-心 m阶虚贝塞耳方程 令：x=p一r+x那-(K+mR=0, Qr2+x m阶虚贝塞耳函数 R K(hp) m阶虚诺尔曼函数 4

4 令：x =   ( ) 2 2 2 2 2 0, R R x x x m R x x   + + − =   ( ) m阶贝塞耳方程 ( ) ~ m m J R N               m阶诺尔曼函数 R J ~ m (   ) 柱内 ③   0 2 令： = −h , 11 12 Z c hz c hz = + cos sin . " 2 Z h Z + = 0, ( ) 2 2 2 2 2 2 0, R R    h m R     + − + =   令：x h =  ( ) 2 2 2 2 2 0, R R x x x m R x x   + − + =   m阶虚贝塞耳方程 ( ) ( ) ~ m m I h R K h             m阶虚诺尔曼函数 m阶虚贝塞耳函数

R~Im(hp) 柱内 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件，则取μ>0，若柱侧 是第二类边条件，还需要讨论4=0情况；若所给的边界条件 中上下底均是齐次边条件，则取μ0),有一解： x 5

5 R I h ~ m (  ) 柱内 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件，则取 > 0，若柱侧 是第二类边条件，还需要讨论 = 0情况；若所给的边界条件 中上下底均是齐次边条件，则取 < 0，若上下底均为第二类 齐次边条件，还需要讨论= 0情况. §12.2 贝塞耳函数 ( ) 2 " ' 2 2 x R xR x R + + − =  0 ——  阶贝塞耳方程 ( ) 1 s =    0 , 有一解: ( ) ( ) ( ) 2 0 ~ ! 1 2 k k k x R J x k k    +  = −   =    + +    若为非整数， ( ) ( ) ~ , J x R J x  −           ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k k x J x k k    −  − = −   =    − +   

若v为整数，V=m=0,1,2,. Jn(x)l IN() Jn(x)与)n（x)线性相关 -宫m广-玄4 2k+ m=0时，显然满足 讨论m=1,2,3,.情况，当k=0,1,2,.,(m-1)时， k-(m-1)s0,r(-nm）=o(n=0,12,) -2mn-2周

6 若为整数， = m = 0, 1, 2, . ( ) ( ) ~ , m m J x R N x           J x J x m m ( ) ( ) 与 − 线性相关 ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k m m k x J x k k m +  = −   =    + +    ( ) ( ) 2 0 ! ! 2 k k m k x k k m +  = −   =   +    ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k m m k x J x k k m −  − = −   =    − +    m = 0 时，显然满足. 讨论m = 1, 2, 3, .情况，当k = 0, 1, 2, . , (m -1 )时， k m n n − −   − =  = ( 1 0, 0,1,2, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k m m k x J x k k m −  − = −   =    − +    ( ) ( ) 2 ! 1 2 k k m k m x k k m −  = −   =    − +   

2k +m -含e周6rw 2k +m 因此，m阶贝塞耳方程的解为： 若R=有界，→R~Jm(x) N()=.()osr-’,因) v阶诺尔曼函数 sin va N (x)=lim J(x)cosvz-Jv(x) nm阶诺尔曼函数 sin Va 当x→0时，Nm(c)→o.若要求x=0有界，则应排除Nm(x)

7 ' 令k m k − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 ' ' 0 ! 1 2 k m k m m k x J x k m k + +  − = −   =   +  +    ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 ' ' 0 ! ! 2 k k m m k x k m k +  = −   = −   +    ( ) ( ) m m = − J x 因此，m 阶贝塞耳方程的解为： ( ) ( ) ~ , m m J x R N x           ( ) 0 ~ . 若R R J x x= =  有界， m ( ) ( ) cos ( ) sin J x J x N x      − − = —— 阶诺尔曼函数 ( ) ( ) cos ( ) lim sin m m J x J x N x      − → − = —— m阶诺尔曼函数 当x → 0时，Nm (x) → . 若要求x = 0有界，则应排除Nm (x)

H()=J()+iN () 第一种汉克函数 H2)()-iN (x). 一第二种汉克函数 第一类柱函数一 贝塞耳函数（包括虚贝塞耳函数） 第二类柱函数 诺尔曼函数（包括虚诺尔曼函数） 第三类柱函数一第一种和第二种汉克函数. 讨论： ① 柱内问题(0≤p≤P) 由于imNm(x)=o,此时应排除m阶诺尔曼函数 x-→0 R-J(Vp) ②柱外或空心圆柱问题 （p2P或P1≤p≤P） 8

8 ( ) ( ) ( ) 1 . H J x iN x m m m = + —— 第一种汉克函数 ( ) ( ) ( ) 2 . H J x iN x m m m = − —— 第二种汉克函数 第一类柱函数——贝塞耳函数（包括虚贝塞耳函数）， 第二类柱函数——诺尔曼函数（包括虚诺尔曼函数）， 第三类柱函数——第一种和第二种汉克函数. 讨论： ① 柱内问题（0    0） ( ) 0 lim , m x N x → 由于 =  此时应排除m阶诺尔曼函数. R J ~ m (   ) ② 柱外或空心圆柱问题 （   0 或 1    2 ） ( ) ( ) ~ , m m J R N              

③解在x=0点正常 由于imJ,(x)=oo,J 此时应排除-ν阶诺尔曼函数 x→0 S12.3贝塞耳函数的递推公式、母函数、积分表达式 (一)递推公式 (x)+( 2=-Ji(x月 或 .(]=x() J(x)+ 明：内-名rv周 x

9 ③ 解在x = 0点正常 ( ) 0 lim , x J x − → 由于 =  此时应排除-  阶诺尔曼函数. §12.3 贝塞耳函数的递推公式、母函数、积分表达式 （一）递推公式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , . d J x J x dx x x d x J x x J x dx         + −       = −        =     证明： ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k k x J x k k    +  = −   =    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 ! 1 2 k k k k J x x x k k     +  = −   =    + +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 ' 1 ; . J x J x J x x J x J x J x x         + −   + = −    + =  或

斗-8 k +y+] K +V+ ()- 2=-Ji(x)

10 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 ! 1 2 k k k k d J x k x dx k k x     +  − =   −     =    + +      ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 ! 1 2 k k k k x k k   + −  − = −   =   −  + +    ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 ! 1 2 k k k x x k k    + −  = −   =   −  + +    ( ) ( ) ' ' ' ' 1 2 1 1 ' 0 1 ! 2 2 k k k k k x x k k    + + + − =  = −   =    + +    令 ( ) ( ) ' ' ' 2 1 ' 0 1 ! 2 2 k k k x x k k    + +  = −   = −    + +    1 J x   + = − ' 1 1 1 1 J J J x x x       + + +  + − = − ( ) ( ) ( ) ' 1 J x J x J x x     − = − +