福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十一章 球函数

第十一章球函数 511.1球坐标系下的拉氏方程的解 1 3 1 Ou =0 r2sine00 r2sin2 0 002 令：u(r,0,p)=R(r)⑧(0)Φ(p） 其中0<p≤2π，0<0≤π. rΦd d R8dPΦ 2 rsin20 d0 sin de r2sin20 d'p 0 同乘以 [2 dr d 1 Φ” R⊙Φ =0 R dr dr) ⊙sinθde sin20Φ 1 d 2 dR R dr dr ⊙sin d0 de sin20Φ 元R=0:

1 第十一章 球函数 §11.1 球坐标系下的拉氏方程的解 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin u u u r r r r r r                    + + =          其中 0 2 , 0 .         令：u r R r ( , ,    ) =   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 0, sin sin d dR R d d R d r r r r d dr dr d d                    + + =     2 : r R 同乘以 " 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin d dR d d r R dr dr d d                + + =       " 2 2 1 1 1 sin sin sin d dR d d r R dr dr d d                = − −       =  2 0; d dR r R dr dr      − =  

1 d do 1 sin0 +九=0. ⊙sin0 do de sin20Φ sine d do Asin20=- Φ1 sinθ Φ =, ⑧ de de sino d( de ined +(asn8-9=0, Φ+Φ=0. u(r,8,p+2r)=(r,0,p),→p(p+2x)=Φ(p) Φ"+Φ=0 该本征值问题在圆形区域 Φ(p+2x)=Φ(p） 中的拉氏方程中见过 =m,u=m2 (m=0,1,2,.)9 Φ=C1c0smp+c2 sinmp, 或重~eimp m=0,±1，±2，.） 2

2 " 2 1 1 sin 0. sin sin d d d d             + + =     " 2 sin sin sin d d d d             + = −     = , ( ) 2 sin sin sin 0, d d d d             + −  =   "  +  =  0. u r u r ( , , 2 , , ,      + =) ( )  + =  (   2 ) ( ) ( ) ( ) " 0 2      +  =   + =  该本征值问题在圆形区域 中的拉氏方程中见过. ( ) 2   = = =    m m m , 0,1,2, , 1 2  = + c m c m cos sin ,   ~ 0, 1, 2, ( ) im e m  或  =   

do sin sin de de +(2sim20-m2)o=0, 1 d =0, sine de 令：x=cs0,⊙(0)→y(x) dd dxddcos0 de dx de dx do -=-sino d =0 y=0, -a-m y=0 3

3 ( ) 2 2 sin sin sin 0, d d m d d            + −  =   2 2 1 sin 0, sin sin d d m d d              + −  =       令：x y x =  → cos ,  ( ) ( ) cos sin d d dx d d d d dx d dx d dx      =  = = − ( ) ( ) 2 2 1 sin sin sin 0, sin sin d dy m y dx dx           − − + − =         2 2 2 sin 0, sin d dy m y dx dx          + − =       ( ) 2 2 2 1 0, 1 d dy m x y dx dx x        − + − =       −

在x=±1（日=0，）处存在自然型边条件y以=±1=有界， ylt=有界 可以证明只有在入=1(1+1) (1=0,1,2,)时，缔合勒让德 方程在x=±1处才有有限解. -a][+]= 1阶缔合勒让德方程 该本征值问题的本征函数是！阶缔合勒让德函数 y(x)~P"(x),即⑧()~P"(cs) 径向方程为： -1(1+)R=0, RdR+2r dR dr2 -1(1+1)R=0.人 欧勒齐次型方程

4 在x = 1 ( = 0, )处存在自然型边条件y|x = 1 =有界， ( ) 2 2 2 1 0, 1 | x d dy m x y dx dx x y  =          − + − =        −  =  有界 可以证明只有在 时，缔合勒让德 方程在x = 1 处才有有限解.  = + =  l l l ( 1 0,1,2, ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 1 d dy m x l l y dx dx x       − + + − =       − l 阶缔合勒让德方程 该本征值问题的本征函数是l 阶缔合勒让德函数 ( ) ~ , ~ cos ( ) ( ) ( ) m m l l y x P x P 即   径向方程为： ( ) 2 1 0, d dR r l l R dr dr     − + =   ( ) 2 2 2 2 1 0. d R dR r r l l R dr dr + − + = 欧勒齐次型方程

设R()~r”,代入方程此较项的系数： n(n-1)+2n-l(l+1)=0 →(n-0(n+l+1)=0 =1,%,=-(1+), R(r)=c →u(r,0,p)=R(r)o(0)Φ(p) oip)(cos)CD =0m= 当m>l时，P"(cos)≡0， u(r.0)sinmp (cos0)CD 若问题为轴对称（与φ无关）则m=0, ko-含+BR(m-2+8,)P(w) 对球内对称问题，排除：(，)=∑4rP(cos)

5 ( ) ~ n 设 R r r ，代入方程比较r n项的系数： n n n l l ( − + − + = 1 2 1 0 ) ( ) (n l n l − + + = )( 1 0 ) ( ) 1 2 n l n l = = − + , 1 , ( ) 3 4 1 1 . l R r c r c l r + = + u r R r ( , ,     ) =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 1 0 0 1 cos sin cos m l l m l m l l m l m l l m A m B m P C r D r      + = =   = + +       m l  (cos 0, ) m 当 时， Pl   ( ) ( ) ( ) , , , , 1 0 0 1 , , cos sin cos l m l l m l m l l m l m l l m u r A m B m P C r D r       + = =   = + +       若问题为轴对称（与无关）则m = 0, ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 1 1 , cos cos l l l l l l l l l l l l u r A r B P A r B P r r      + + = =     = + = +           对球内对称问题，排除 1 1 : l r + ( ) ( ) 0 , cos l l l l u r A r P    = = 

11.2勒让德多项式德基本知识 Pd-2-fz42 (2I-2k): 1-2k,N= 2 (1=偶) ,(0=奇) 1=0,k=0:(x)=1, P(cos0)=1; 1=1,k=0:P(x)=x, P(cos0)=cos0; 1=2,k=0,1:P(x)=,(3x2-1),B(cos0)=（30s29+1)月 1=3.k=0,1:B()=2(5x3-3xyB(eos9)=（5cos30+3cos0)月 1=4,k=01,2:P(x)=s（35x-30x2+3, P(c0s8)=64(35cos49+20cs29+9月 . 可以发现： ()=1,()=1,B()=1,R(1)=1,P(=1,→P()=1 6

6 §11.2 勒让德多项式德基本知识 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 ! 2 , 2 ! ! 2 ! 1 , 2 N k l k l l k l l l k P x x N k l k l k l l − =  = −  == − =  − − −  =   ， 偶 奇 ( ) ( ) 0 0 l k P x P = = = = 0, 0: 1, cos 1;  ( ) ( ) 1 0 l k P x x P = = = = 1, 0: , cos cos ;   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2, 0,1: 3 1 , cos 3cos2 1 ; 2 4 l k P x x P = = = − = +   ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 3, 0,1: 5 3 , cos 5cos3 3cos ; 2 8 l k P x x x P = = = − = +    ( ) ( ) 4 2 4 1 4, 0,1,2 : 35 30 3 , 8 l k P x x x = = = − + ( ) ( ) 4 1 cos 35cos4 20cos2 9 ; 64 P    = + +  可以发现： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 P P P P P 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, , = = = = =  (1 1 ) Pl =

P(-1)=1,P(-1)=-1,P(-1)=1,(-1)=-1,P(-1)=1,., →(-1)=(-1) P(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.00.1 0.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0"x(cos0)

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 P P P P P − = − = − − = − = − − =  1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, , ( 1 1 ) ( ) l Pl − = − 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P6 P6 P5 P5 P4 P4 P3 P3 P3 P2 P1 P2 P x l ( ) x(cos )

一、母函数（生成函数） 母函数w(x,）=-2r+7 从物理上看，单位球的北极放置 一电量为46。的点电荷，球内的 电势为：w(x,r)= 0 √1-2x+r2 4πe。 U= 4π6。d 4π6。V1-2rc0s0+r2 √1-2x+r2 球内电势满足拉氏方程：△u=0. -玄4ro-宫r因→n -2(四 8

8 x y z   d M o 4 o r 1 一、母函数（生成函数） 母函数 ( ) 2 1 , 1 2 w x r rx r = − + 从物理上看，单位球的北极放置 一电量为 的点电荷，球内的 ( ) 2 1 , 1 2 w x r rx r = − + 电势为： 4 o 2 4 4 4 1 2 cos o o o q u d r r     = = − + 2 1 . 1 2rx r = − + 球内电势u满足拉氏方程：u = 0. ( ) ( ) 0 0 cos l l l l l l l l u A r P A r P x    = = = =   ( ) 2 0 1 1 2 l l l l A r P x rx r  = = − + 

x=1,→ ),24r (r<) 2-24w 1-r (r<1), A=1. V1-2x+r2 2 (r<1) 上式表明w(x,)=h-2+r 在r=0邻域作泰勒展开时，其展开 系数即为阶勒让德函数，故称之为勒让德的母函数。 (2)1 我们曾取c,= 2'(1g2 ,把Px)写成 (2I-2k)I 2'k:(I-k)(1-2k)月 的原因也是在此 9

9 x = 1， ( ) 2 0 1 1 1 2 l l l l A r P r r  = = − +  ( ) 0 1 1 , 1 l l l A r r r  = =  −  ( ) 0 0 1 1 , 1 l l l l l r A r r r   = = = =  −   1. Al = ( ) ( ) 2 0 1 1 . 1 2 l l l P x r r rx r  = =  − +  上式表明 ( ) 2 在r = 0邻域作泰勒展开时，其展开 1 , 1 2 w x r rx r = − + 系数即为l 阶勒让德函数，故称之为勒让德的母函数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 ! 2 ! ! 2 ! l k l k l l k l k P x x k l k l k       − = − == − − −  ( ) ( ) 2 2 ! 2 ! l l l c l 我们曾取 = ，把Pl (x)写成 的原因也是在此

利用泰勒限开的系数计算公式。(，小：-心a() 10' →4= 1!or1-2rx+r0 a()-2+7 =1=P(x) 1∂ 1 1-2x+2r a(-2m+7.2(-2m+r月 =x=P(x) 可以得到：a(x)=P(x): 可以运用：r (>) r>1, V1-2x+r2 10

10 利用泰勒展开的系数计算公式： ( ) ( ) 2 0 1 , . 1 2 l l l w x r a x r rx r  = = = − +  2 0 1 1 . ! 1 2 l l l r a l r rx r =  =  − + ( ) ( ) 0 0 2 0 1 1 1 2 r a x P x rx r = = = = − + ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 2 0 2 0 1 1 1 2 2 1! 2 1 2 r 1 2 r x r a x x P x r rx r rx r = =  − + = = − = =  − + − + . 可以得到： ( ) ( ). l l a x P x = 可以证明： ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 . 1 2 l l l P x r r rx r  + = =  − +  r  1, ( ) ( ) 1 1 1 2 0 0 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 r r l l l l l P x P x r r r rx r r x r r    + = =   = = =   − +   − +  