福州大学：《固体物理学》课程教学资源（课件讲稿）第六章自由电子费米气体.pdf_大学文库

1 1 第六章自由电子费米气体晶体是金属, 绝缘体, 或半导体是由什么决定的? 固体的能带结构满态空态导电带部分占满满态空态 Eg 价带满 / Eg>kBT 空态满态 Eg 金属半导体绝缘体传导电子是有效的在高温或掺杂下,传导电子是有效的没有传导电子 E 2 基本观点 : 推动原子聚集形成晶体自由原子分子晶体分立的能级分裂的能级能带的态低能级保持分立并局域在原子周围. 芯态高能级分裂密集的能级构成能带,可以扩展到整个晶体,根据电子填充的情况,分为价带和导带 3 自由电子模型 – 处理传导电子作为自由粒子 9 连续态 – 态密度 9 费米统计 – 占据态 9 热学性质 – 热能, 热容量, . 9 电与热传输 –传导电子的散射 9 磁场效应 4 理想的电子相互作用 : 离子 – 稳定的库仑相互作用 (电子结合),但 z 受到芯电子的屏蔽大距离的吸引减弱 z 泡利不相容原理要求传导电子处在远离局域在原子周围的芯电子. 电子 – 强的库仑排斥而且 • 库仑排斥 • 泡利不相容原理电子倾向于分离电子没有相互作用 (箱壁除外) ( ) 2m k 2m P ε K.E. 2 2 h = = = 在箱体内的自由传导电子 5 0 L x U→ ∞ U(x)= 0 0 ≤ x ≤ L ∞ 其它情况 − Ψ + U(x)Ψ = εΨ dx d 2m 2 2 2 h SchrÖdinger 方程 0 对于一维情况 ( ) ( ) 2 2 2 2 n n n n n 2mL ( nπ ) 2m k ε L nπ Asin k x : k h h ϕ = 即 = 和 = = 边界条件 (0) (L) 0 ϕn =ϕn = 因此, 在一条线里,如何容纳N 电子 ? 泡利不相容原理 + 自旋简并 (每个能级两个自旋↑↓) 电子开始从底部能级(n=1)填充并且继续填充更高的能级,直到全部 N 电子都容纳. 1,., nF, 这里 nF 表示被填充的能级的最高 n值. 6 通常情况下, 这样的周期链态密度每个 k态的间隔 ∆k=2π/L 边界条件 (x) (x L) ϕn =ϕn + L n2π kn = ± 2π L (2π /L) 1 ∆k 1 D(k) n = = = 均匀 dε / dk 2(L/2π ) dε 2D(k)dk D( ε ) 2D(k)dk D(ε )dε = = = 和 ε=h2k2/2m ( ) ε 1 2π mL k 2m 2π mL k/m 2(L/2π ) D( ε ) 2 2 h h h h = = = 一维的单粒子自旋态密度 k ε ε D(ε) ∝ ε -1/2

2 7 在三维情况下, 边界条件 : Ψ是x, y, 和 z 方向的周期函数, 其周期为 L  Ψ + Ψ = Ψ       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − U(x, y,z) ε 2m x y z2 2 2 2 2 2 2 h 薛定谔方程 0 ,. L 4π , L 2π ,. ;k 0, L 4π , L 2π ,. ;k 0, L 4π , L 2π k 0, x = ± ± y = ± ± z = ± ± 每个k态的体积元 ∆kx ∆ky ∆kz=(2π/L)3 ( )3 3 3 x y z 2π V 2π L (2π /L) 1 ∆k ∆k ∆k 1 D(k)  =      = = = ( ) ( ) ( ) dε 2m ε 4π V dε k m 2π 4π k V dε dε / dk 1 4π k 2π V D( ε )dε D(k)4π k dk 3 3 3 2 2 2 2 3 2 h h = = = = 8 ε 2m 4π V D( ε ) 3/ 2 2 2       = h 三维情况单粒子自旋态密度 x 2 自旋容纳传导电子 : 自由运动跑遍整个晶体传导电子密度n = N/V (Table 1) 典型地 n ~ 1022 ~ 1023 cm-3 大多数是 “s” 轨道电子也有 “p” 和 “d” ε 2m 2π V D( ε ) 3/ 2 2 2       = h 三维态密度 ∝ ε 1/2 D(ε) ε 9 电子和声子间的区别电子声子数目 N=nV 固定 N ~ kBT 变化 w/. T 容纳费米子玻色子 (费米-狄拉克统计力学) (Planck 分布) 每个轨道态两个 ↑↓ 每个被激发模n 个色散 ε ∝ k2 ω ∝ k 态密度 D(ε) ∝ ε 1/2 D(ω) ∝ ω2 达到 ωD 德拜基态 T=0,底能级填充 : 2个 /每个能级 ↑↓ εn ε3 ε4 ε1 ε2 εF 最高占据能级 ε F 费米能量最大能量 : ε F = h2kF 2/2m 10 kx ky kz kF 态 k ≤ kF 被占据费米球 –基态电子在k-空间占据体积费米面 – kF 态 w/. ε = εF #电子数 (2π ) V πk 3 4 N 2 3 3 = F = 自旋费米球的体积 D(k) V 3π N 2m ε V 3π N k 2/3 2 2 F 1/3 2 F         =         = h 和典型地, ~ 10-8 cm-1 ~ 1 – 10 eV 11 n εF TF 12 f(ε) ε 0 1 εF εF f(ε) 是能量 ε态被占据的几率 f(ε)= 1 , ε ≤ εF 0 , ε > εF ∫ ∫ = = ∞ F ε 0 0 D( ε )dε N D( ε )f( ε )dε 费米能量很重要因为电子的性质是只由εF 附近的电子态所决定. kBT << εF { T=0 D(ε) ε

4 19 U(T) dε D( ε ) f( ε , T) ε U(0K) U(T) 0 = = + ∆ ∫ ∞ U dε (ε - ε ) D( ε ) f( ε ) dε (ε - ε) D( ε )( ) 1-f( ε ) F F ε 0 F ε ∫ F ∫ ∆ = + ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + = = = ∞ ∞ F F F F ε 0 F ε 0 F ε ε 0 0 dε ε D(ε )f(ε ) dε ε D(ε ) N dε D(ε )f(ε ) dε D(ε ) ( ) ∫ ∞ ∂ ∂ = = 0 e F T f( ε , T) dε ε - ε D( ε ) dT dU C 通常, T/TF<0.01, df/dT 在kBT的藕合区有非零值在能量区域 εF± kBT ,D(ε)近似为D(εF) ( ) ∫ ∞ ∂ ∂ = 0 e F F T f( ε , T) C D( ε ) dε ε - ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T ε ε where x e 1 e T x exp (ε ε )/(k T) 1 exp (ε ε )/(k T) k T ε ε exp (ε ε )/(k T) 1 1 dT d T f(ε ,T) B F 2 x x 2 F B F B 2 B F ε F B − = + =       − + − − =       − + = ∂ ∂ ( ) ∫ ∞ + = -ε /k T 2 x x 2 2 e F B F B e 1 e C D( ε )k T dx x ( ) ∫ ∞ ∞ + = - 2 x x 2 2 e F B e 1 e C D( ε )k T dx x 20 ( ) 3 π e 1 e dx x 2 - 2 x x 2 = + ∫ ∞ ∞ F B 2 2 B B F 2 2 2 e F B T T π Nk 2 1 k T 2k T 3N 3 π 3 π C D( ε )k T = = = ∝ T 自由电子对热容量的贡献 Ce T ∝T T U ∝T2 0.6NεF 通常, 当 T<<ΘD 和 T<<TF=εF/kB C = γT + AT3 电子与声子贡献之和 21 F B 2 T Nk 2 π γ = ∝ TF -1 ∝ m ( 电子的质量) 通过测量 γobserved得到mth与me不同. •传导电子与晶格周期势之间的相互作用 . - 能带有效质量 •传导电子与声子之间的相互作用 . 运动的电子拽动沿线附近的离子 •传导电子自身的相互作用. 运动的电子造成周围电子气的反应 . 对于某些材料, mth c]可以达到1000me. 重费米子例如 CeAl3, CeCuSi2, . 和其它奇异的超导体. 22 传输性质施加 u E, T J,J r r r ∇ 散度场电流密度电流密度热流密度 J κ( ) T J σ E U = −∇ = r r r r 系数 σ : 电导率 κ : 热导率 LT: 热电系数考虑所有物理上载流子和散射电和热响应两者藕合 L ( T) + T −∇ r TLT E r + 23 电导率施加电场后的运动方程 E r dt dk dt dP dt d v F ( e)E m 2 2 r h r r v r = − = = = 在恒定的E下, 电场使电子加速 k 线性增加 kx ky E=0 k<kF 占据 kF E k kx ky k’ δk 在k-空间 E使费米球移动每个 k 增加 τ eE δ k h r r − = h r r r eEt k(t) k(0) − − = 24 电流密度 δk m e n 2 n δk m e n m δk n 2 e m k 2 e n m δk m k 2 e n m k 2 e J 2 ev n o o o o k o k o k k o k o k o k o k k k k k k r h r h r h r h r h r h r h r r =       = ∑ = ∑ + ∑         = ∑ + = ∑ = ∑ 0 没有移动 δk的局限是什么 ? 散射s 电子可以散射到低能量态,并且减小电流. 假设碰撞时间是 τ τ eE δ k h r r − = E m ne τ τ eE m e J n 2 r h r r h =−        − = J σE r r 和 ≡ 欧姆器件 m ne τ 2 σ = 电导率自由电子模型 k o k k n = n + g 热平衡从非-平衡导出

5 25 E E m ne τ m eEτ J nev ne 2 = d = = ≡ σ 逼近 “稳定态” 值非平衡 δk time τ ∆k 0 @ 在经典图象里,所有的载流子，电子以恒定速度vd迁移. @ 只有费米面附近的电子对电流有贡献. δk<<kF kF kx ky 新的占据态 nf 新的空态 ne ( ) ( ) f e F f F e F k k k n n ev n ev n e v J ev g = + = − − = ∑ r r 参与态全部为vF 26 8.45 10 m ( ) 1.6 10 coul. 1.7 10 m 9.1 10 kg ne mσ τ m ne τ σ -8 2 28 3 19 31 2 2 × × × Ω × = = = − − − @ 电流只是由部分以vF速度巡游的电子载流. 新的满态和空态贡献相同电流. nf 电子 ne 空穴铜 V 横截面 A=wt 长 l R=ρl/A ρ(300K)= 1.7µΩcm n=8.45×1028 1/m3 vF= 1.57×106 m/sec = 2.5×10-14 sec l = vFτ = 4×10-8 m= 40 nm For E = 1 volt/cm vd ~0.43 m/sec 参与态的比例 6 F d F 10 v 2v ~ k 2δ k n δn − ≈ = I V 27 电子散射过程 m ne τ 2 σ = 导率 σ 受到散射s (τ, l)的限制对于理想, 没有散射 σ→∞ 散射机制 ρ(T) T 0 IV III II I ρo 区域 I 大的 e-ph 散射s ρ(T) ∝ T 区域 II 小的 e-ph 散射s ρ(T) ∝ T5 区域 III e-e 散射s ρ(T) ∝ T2 区域 IV 杂质散射s ρ(T) ∝ T0 自由电子模型 ~ ρo 28 区域 I 大角度非弹性散射 ( 在高T下,电子-声子 ) 散射率 ∝ # 声子数 ( ∝ T ) k r q r τ ∝ T-1 因此, σ ∝ T-1 ρ ∝ T 这里忽略umklapp 过程 ,该过程给出不同的结果. (在绝缘体中, 象k指数) 在中等温区 umklapp 起支配作用. 区域 II 小角度非弹性散射 (在低T下,电子-声子 ) Ek Ek ωq k k q h r r r = ± ′ = ± ′ 散射率 τ-1 ∝ # 声子数 ( ∝ T 3) 德拜 q << kF k' r k' r k r q r 有效碰撞因子声子∝ T 2 29 区域 IV 弹性散射 (杂质, 晶界, 缺陷,.) 杂质浓度等 . 决定 τ, l k r ' k r 能量守衡 Ek=Ek ’ τ = 常数 l =vFτ = 常数 , 不依赖 T 因此, σ(T) = σo , ρ(T) = ρo 恒定区域 III 电子-电子散射 k1 r 2 k r ' 2 k r ' 1 k r ' 2 ' 1 2 1 ' 2 ' 1 2 1 E E E E k k k k + = + + = + r r r r τ-1 ∝ T2 可能的态 σ(T) ∝ T-2 , ρ(T) ∝ T2 30 两个附加规则 : (1) 多散射机制 ρ ρ ρ ρ . . σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 . τ 1 τ 1 τ 1 τ 1 e ph e e e impurity e e e impurity e ph e e e impurity e ph = + + + = + + + = + + + − − − − − − − − − Matthiessen规则不精确但相当好 (2) 剩余电阻率 o ρ ρ(300K) R(0K) R(300K) RRR≡ = 声子支配杂质支配 RRR → ∞, 理想晶体通常, RRR ~ 102 to 104 (纯金属)

6 31 Matthiesen规则的实验现象三个不同的样品，具有不同的缺陷浓度. McDonald 和 Mendelssohn (1950). J. Linde, Ann. Phys. 5, 15 (1932). 32 磁场中的运动电场改变幅度磁场改变方向 dt dk k B q F qv B dt dk F qE B E r h r h r r r r r h r r = × = × = = = m k r 罗仑兹力⊥运动方向例如 : B=Bzˆ r 0 dt dk k m qB dt dk k m qB dt dk z x y y x = = − = 0 dt dk k m qB dt d k k m qB dt d k z y 2 2 y 2 x 2 2 x 2 =       = −       = − k (t) C k (t) A sin(ω t) k (t) A cos(ω t) z y c x c = = = 回旋圆周运动 ⊥ B 解 ωc=qB/m “回旋频率” 33 自由电子模型下,实空间和 k- 空间都作园周运动 k ∝ε r = 恒定 ky kz kx B 在εF的电子沿费米面的球轨道运动. 对整个费米面都正确, 而不仅是对自由电子. 对于输运性质,重要的因子是 ωcτ , 对两次连续散射事件里电子相位的改变. 34 - ++++++ E FB e- , vd FE Hall 效应磁场电流密度 x y J jxˆ nev xˆ z B Bzˆ = = d = r r e- x , vd y z B FB yˆ jBR yˆ ne jB E ( yˆ) n jB F qE qv B eE = ≡ H = + × = + − r r r v r r 横向通常, ne 1 j B E R x y H ≡ = − Hall 系数 Hall 效应计算密度和载流子符号. = = ×( ) 厚度 I V j E ρ y x y H Hall 电阻率 [ Ωm ] 35 热导率 TH TL ∇T j U dx dT 热能的通量 jU = −κ 单位时间流过单位面积的能量 κ : 热导率系数 E 0 U T j κ = ∇ ≡ − r 电流密度热流密度 ( ) J TL E κ( ) T J σ E L T U T T = + − ∇ = + − ∇ r r r r r r 热电流密度在开路的热测量中, κ T TL T κ T L J TL T L J 0 E 2 T T u T T ∇        = −  − ∇      = ∇ = → = ∇ r r r r r r σ σ σ σ 2 T J 0 * U TL κ T j κ = − ∇ ≡ − = r 事实上, 对于大多数金属和半导体来说，第二项, LT,是很小的 . 因此, κ* = κ 36 热流来自声子 – 前章 Cv τ 3 1 Cv 3 1 κ 2 = g = g l 应用到自由电子 2 F F F B B 2 e mv 2 1 ε ε k T π nk 2 1 C = = Tτ m nk π 3 1 κ 2 2 B e = 在纯金属中,电子的贡献在所有T里都起主导作用.在有杂质的金属或无序材料中, τ受杂质碰撞的影响而减少, 而且声子贡献可以与电子贡献相比拟. 热导率与电导率的比率 T LT e k 3 π ne τ/m κ π nk Tτ / 3m 2 B 2 2 2 B 2 e  ≡      = = σ 2 B 2 e k 3 π L       Lorentz 数 = Lth = 2.45 × 10-8 Watt-Ω/K2 实验值在表5 Wiedemann-Franz定律

福州大学：《固体物理学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 自由电子费米气体

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