数学物理方法习题解答与指导 程利青 2004年2月
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象 习。复变数. 习题：拉普拉斯变换. 244444444.(） 习：网期函数的博里叶级 习题四有限区间上函数的傅里叶级数.(） 习题复形式的里叶级数.） 习题六非周期函数的博里叶积分 题七多宜停里叶级数. 习五八8函数. 习九数学物理方程的导出. 习面十数学物理方程的定解条件. .(） 习题十 两焕固定的弦的白由动 习题十二齐次的泛定方程 男题十三非齐次泛定方得4.，(） 习题十四德里叶积分法 660466- 习题十五君点邻截内的假致解法.(》 习题十大正则奇点邻城内的数解法 习题十七粉让然多项式及应用. .（) 习题十人筛合颜让多项式
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习题·复变函数 【.把下列复数丹代敏式，二角式及指数式表示出来。 (1)=i =0-t即为代数式，指数式为情，角式为c6(-)+m(-受 (2)1+3 解1+3i=2=2(m号+in 代数式为1+3：，指数式为2，角武为 2(cos号+imn号) (3)ei 解。=d=(l+snl)-esl+einl 代数式为eol+ml,指数式为，三角式为e(el+nl)。 + 代数式为-，指数式为(-，三角式为(-哥)+m- 2,下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？ (1)ix≤3， 解/x2+2≤3.x2+2≤32 在复平国上表示以原点为圆心以3为半径的圆及因内 区拔。 (2)1z-a|-1z-b|(a.b为复常数) 解：-a=|:-6表示：点到a点与：点到6点的距 离相等的点的轨速，即为线段6的套直平分线， (3)Re≥2 解即工≥故上式代表直线=的右半平面 (宜线x=)
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2+7+r≤1 +>≤1- 2+y≤1-2红t 2≤-2x-号 散上式代表地物线y2一】-2x及其内都 注：料 0代入上式，可判所位是抛物线的内部 s1. 解1￥-111+1 到】的距离小于等于：到-1的距高的点的集合显然为 直线工=0的右半平面（含宜就x=0) (6)Re=2 解=，十=十y 存2 2+2-支=0.2-号+(》+y2-( (x-1P+y=() Re!一2代表复平面上以（子，0）为固心，以号的半径的画 不含原点)， ()0<arg,< 解=”-化+} 2(+1≠0.则x≠0.y≠-1即≠- 0<ag<普得
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-2x>0, 2+y2-1>0 21 x-102+y2>2 0<ag<代表复Y挖去国(r+1+y=2的左Ψ面（不合边架） 3计算 (1)日 解立=5m= (k=0.1,2 k-1:e8-ewg+img-号+i 2 房=m名x+m音x=-是+ =3:3-. 慢+2 =9 解2=好加=脚)（传=0士1.主2 注意：此葛应注意其多值性： (3)5. 解若=经2片=经2（=0.±1.=2. (4)e* 解e4=e,。=cesl+iesinl 5) 6)
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解1-252-2(-0.1. =0:11=3:5=2w5-1m)-经(2+.2-12-2 T-f=2=2cs是x+m{x)-2-2+2+i2-,2 竖2+2-12-2. 1-i= 竖-，2+2+12-.2 (7)cosp cog++cosng sing+sirg+sinng. 解-(605p+cg2e+.+csmg)+(np+s2p+.+g1nm9) -(ep+inp）+(en2g+ii2p)+.+(emsg+ising) =帅+，29+.+，m 2in号 2in年 m(a+}单+4n(g+2)gos号-i如月 2in年 ap-他受，巴受a+如 2n号 2n号 2n号 np+n2p+.+nnp= 0s号-c(n+9 2an号 解二 +np）+(n9+2p+.+np 分212号*m之如2 2ism
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号e*片9，✉p-m2 2sn号 2m号 2sin号 2sin号 解三{6e+Go82g+.+cos》+i(sinp+2p·.4np） {2sin(号+1)pm受p-i2am(受+1)gn号e2m2号+2sim号oa是) 1-sa)2+n2e 2ia(受+1pn子p-es受+10gsin号e2n号(sm多+ioms号 2.2in2号 n(号+1)gin2pn是+co(号-1)gn子poas号 n号 +,m经±0pn经s号m(3+刊g响号m n号 m受gms2g+fm子gin sm号 a+y-n是，m受-n+ 2in 2tm号 讨论：@此题还可用高中三角函数中的方法求解，将所求的式子化为 (p+am2p+)sin是（《sp+sn2g+.+mapn号 sin sin 松后积化和差，可得到正确答案，但已不是本课程所要求的做法了。 ②解法一最简挖，解法二其次，解法三0紫。 4.设。=x()=()0代表一质点在平面上的运动裁律，试求该质点的径向速度。 和横尚速度心，以及径血加速度，和横向却速度，并讨论当质点作西周运动时，即()=R
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时，质点的爱建宽，向心加速度和切南翻速重函表式 解g=华=er+pp=wn+rr”, 中的模为1，角为.它为方问（径向）上的单位矢量。 一的模为1，限角为9+乏它为垂直F优方向（横 向)上的草位失量 =(r-02)e?+(r9+2ee, a.=P-re2,a。=r+2e. 当，()=R时，.一0.。一R必=R,即为质点作圆因封的线速度（形为珀速康 92-R,4,为向心速度，方向指向的心：，=R,为切向加速度(为 注：理论方学中推导 ,比较复杂，用复数理论很弃场推出结果，可见复变请数 的应用十分广泛，此题就个例子
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习题二拉普拉斯变换 ,求下列原雨数的像函数 (1)antf和ct 解a==-g。=分用。，到 m0=12= (2)e"snt租e"osw 将1c*a阳-ca(h-m数h一p++ “e-“ew%-ak-每 注：此图可直接用位移定理求出，同应壮意把所有的p都换成P+。 (3)ht和cht w-L2。)=a 1=l-,。*p）- 4) 期)启m顿是方方 注：d红=臣一高斯积分，高数中已学过。 2.求解下列：微分方程的初值问题： 00.0-0 解对方程边同时作拉普拉断安换，得 y(p）-y(0)-(0)-y(0+3p5(p)-(0)-y'0) +3C()-y045(p）=9 (p3+2p243p+(p)=
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y)-名e-e 解Pp-m0-y0+9g(p1-02 (2+9p)-光+3 )-2 y()=3cht. 0-2+=2. y0)-0.ye)-0. 解yp)-(0)-yt0)-2(p)-y0)y)±2 （p2-2p-10p)-(D21 )=D y(e)=a=. '()+2()+2a()=102 (4))-2y()+z(e)-7e2u y(0)=1,x(0)-3. (p)-y0)+2(p)+2(p）-,1”2 eo1-o-90+p)-,22 p+2)(p)+2(p)-P= 2p+(+10g(p）=号 (p+2y(p*4(p)-2±5 -2p+25(p）+(p2+3p+2(p1-3D+7+2 （p2+3p+6g=322
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