福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第九章 傅立叶积分法

第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1无界弦的自由振动 un -a'uss =0, 4,=p(x),4l。=y(x) (-o0) 令：u(x,)=X(x)T()代入泛定方程 >X(x)T"(t)-ax"(x)T()=0= >X"+X=0;T”+a2T=0. 由于无界空间，没有边界条件，入为连续值.对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分

1 第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1 无界弦的自由振动 ( ) ( ) 2 0 0 0, , . tt xx t t t u u u x u x    = =  − =   = =  (−   +  x t , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) '' 2 '' X x T t X x T t − =  0 2 X T '' '' X  T = '' '' 2 X X T T + = + =   0; 0. 令：u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 代入泛定方程 = -  由于无界空间，没有边界条件，为连续值. 对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分

讨论： ①当入X(x)=Gx+G 由于Xkn=有界，→c=0,X=G T"=0,T=c3t+C4: →u=A,+B,t ③ 当x>0时， 令：2=02，X+元x=0→X+m2X=0 X(x)=ceiox+ce-io,(@>0) →X(x)=Ceox,（o可正可负) 由于没有边界，O不再限制只能是一些分立值（本征值） 可取任意的实数值

2 讨论： ① 当 0时，   , 令： 2 = '' X X + =  0 '' 2 X X + =  0 ( ) ( ) 1 2 , 0 i x i x X x c e c e    − = +  ( ) , i x X x Ce  = （可正可负） 由于没有边界，不再限制只能是一些分立值（本征值）， 可取任意的实数值

T"+2a2T=0 →T"+o'a27=0→T(t)=Aec+Be-ia 分离变数形式的解：u(x,t,o)=A(o)e+a+B(o)e-a叫 一般解：a(,)=[4(o)e+B(o)ea 由初始条件，4，。=p(x,4,l。=(x) [A(@)+B(@)]emd@=p(x) [-ioa[A(@)-B(0)Jemdo=v(x) 将上面式子的右边也展开成傅立叶积分，比较系数，得： A(w)+B(w)-p(w) )-()+i() oy-oaao p(o),v(o)分别是p(x),v(x)傅立叶的变换式. 3

3 '' 2 0 T T + =  '' 2 2 0 T T + =   ( ) i t i t T t Ae Be   − = + 分离变数形式的解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , i x t i x t u x t A e B e        + − = + 一般解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , i x t i x t u x t A e B e d         + − − = +      由初始条件， ( ) ( ) 0 0 , t t t u x u x   = = = = ( ) ( ) ( ) i x A B e d x       −   + =    ( ) ( ) ( ) i x i A B e d x        −   − =    将上面式子的右边也展开成傅立叶积分，比较系数，得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 A B A B i           + =    − =      ( ), ( ) 分别是  ( x x ), ( ) 傅立叶的变换式. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 2 1 1 1 . 2 2 A i B i                = +    = − 

(x)-()d.()-()do. ()(a)edo)v( ((a)e +oeaa-上高ojaa 延迟定理： ∫p(o)e+mdo=p(x+ai） 第一、三项 ∫p(o）et-do=p(x-ar） 令：g(x)=∫y(5)5=g(o)earo 傅立叶变换 g(x)=y(x)=[iog(o】emdo=∫y(o)ed@ →8o)-a(o) 4

4 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , 2 2 i x t i x t u x t e d e d i               + + − − = +   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 2 2 i x t i x t e d e d i               − − − − + −   延迟定理： ( ) ( ) ( ) i x t e d x t         + − = +  ( ) ( ) ( ) i x t e d x t         − − = −  第一、三项 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d              − − − = =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d              − − − = =   ( ) ( ) ( ) 0 x i x x g x d g e d        − = = 令：   ( ) ( ) ( ) ( ) ' i x i x g x x i g e d e d            − − = = =       傅立叶变换 ( ) ( ) 1 g i     =

() →」[ao小产e-v( →二(o)emae=y()s m(x02(c+n）+aJ”y()a5+2e(e-am）-2an w(5)d5 -(x+at)+(x-a)]+(5)d5 无界弦（杆）振动的达朗贝尔公式 5

5 ( ) ( ) ( ) i x i x 1 g x g e d e d i           − −   = =       ( ) ( ) 0 1 x i x x e d d i          −   =       ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i            + + − =   ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i            − − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 , 2 2 2 2 x t x t x x u x t x t d x t d               + − = + + + − −   ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t x t x t x t d          +− = + + − +      无界弦（杆）振动的达朗贝尔公式

§9.2无界杆的导热问题 4,-a24x=0, 4。=p(x): (-o0) 令：(x,)=X(x)T(t) 代入泛定方程 →x(x)T'()-a2x"(x)T()=0 →X"+2X=0;T+a2T=0. 令：N几=o,(o>0）X+m2x=0→X=G,coswx+4,:sin@x T'+o2a2T=0→T=c,eoa =4(x,t)=X(x)T(t)=[A(@)cosox+B(@)sinox]e-ia 4(x,）=j心[4A(w)cos@x+-B(o )小sin@x]edo 6

6 §9.2 无界杆的导热问题 ( ) 2 0 0, . t xx t u u u x   =  − =   =  (−   +  x t , 0) 令：u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 代入泛定方程 令：   = , 0 (  ) = -  '' 2 X X + =  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 '' X x T t X x T t − =  0 '' ' 2 X X T T + = + =   0; 0. '' ' 2 X T X  T = ' 2 2 0 T T + =   1 2 X c x c x = + cos sin   2 2 3 t T c e−  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , cos sin t u x t X x T t A x B x e        − = = +     ( ) ( ) ( ) 2 2 0 , cos sin t u x t A x B x e d         − = +     

代入初始条件p(x)=[A（(o)cos@x+-B(o)sin@x]do 将p(x)展成三角形式的傅立叶积分， p(x=∫rC(o)coswxdw-+∫D(o)sinoxd@ C(o)-Ip(5)cos@5d5.D(@)-(5)sinofdg. 4(o）=C(o)=p5)cos®sa5 B(o)=D(0)=1-9(5)sino5d5. u(x.tp()cosogdscosox+()sin@id6sin@xedo (5)(cnso5cosox+sinmgsin@x)ed -(5)ecoso(x-5)d is

7 代入初始条件 ( ) ( ) ( ) 0       x A x B x d cos sin  = +      将  ( x) 展成三角形式的傅立叶积分， ( ) ( ) ( ) 0 0        x C xd D xd cos sin   = +   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 C d D d           cos , sin .     − − = =   ( ) ( ) ( ) 1 A C d       cos ,   − = =  ( ) ( ) ( ) 1 B sin .       D d   − = =  ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 , cos cos sin sin t u x t d x d x e d                  − − −   = +        ( ) ( ) 2 2 0 1 cos cos sin sin t x x e d d              − −   = +       ( ) ( ) 2 2 0 1 cos t e x d d            − −   = −      

积分公式：ecoBxd=Eea 2√a _-)} 一c0-g 2a√ 无界杆导热问 题的基本解 改写为：u(x,)=∫p()G(x,5,5 无界杆导热问 题的格林函数 4a2 非齐次的定解问题 页J4,-as=j,”(-0 8

8 2 2 4 0 cos 2 x e e xdx       −  − = 积分公式：  ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 , 2 x t e u x t t        − −  − =  ( ) ( ) 2 2 4 1 2 x t e d t        −  − −   =        无界杆导热问 题的基本解 改写为： u x t G x t d ( , , , )     ( ) ( )  − =  ( ) ( ) 2 2 4 1 , , 2 x G x t e t t      − − 其中 = 无界杆导热问 题的格林函数 非齐次的定解问题 ( ) 2 0 , , 0. t xx t u u f x t u  =  − =   =  (−   +  x t , 0)

应用冲量定理，4(x,)=∫(x,t-)dr y,-a2y.=0, y,=f(x,) (-00) (x-} (c-)-f(5 4a2(t-) ,(x- dedr 改写为：u(x,)=∫iJ(5,)G(x,5,t-)a5dr (x-5)2 c(x,51-）2a-司 4a2(t-） 9

9 应用冲量定理， ( ) ( ) 0 , , t u x t v x t d = −   ( ) 2 0, , . t xx t v v v f x    =  − =   =  (−   +  x t , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 , , 2 x t v x t f e d t           − −  − −     − =   −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 0 1 , , 2 x t t u x t f e d d t           − −  − −     =   −     改写为： ( ) ( ) ( ) 0 , , , , t u x t f G x t d d        − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 , , 2 x t G x t e t         − − − − = −

§9.3半无界体的扩散问题 限定源扩散（预淀积扩散） 半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远小于 硅片的厚度。杂质穿过硅片的一面向里扩散问题，完全可以不 管另一面的存在，即可以将硅片看成半无界空间。在限定源扩 散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新 的杂质穿过硅片表面进入硅片。 N,-a'Na =0 N=p,8(x-0)(00） =0 为单位面积预先淀积在硅表面上 的杂质分子数 70

10 §9.3 半无界体的扩散问题 一、限定源扩散（预淀积扩散） 半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远小于 硅片的厚度。杂质穿过硅片的一面向里扩散问题，完全可以不 管另一面的存在，即可以将硅片看成半无界空间。在限定源扩 散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新 的杂质穿过硅片表面进入硅片。 0 ( ) 0 0 t N x   = = − o x 0为单位面积预先淀积在硅表面上 的杂质分子数( ) 2 0 0 0 0 0 0 t xx t x x N N N x N    = =  − =   = −   =  (0 , 0     x t )