第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1无界弦的自由振动 un -a'uss =0, 4,=p(x),4l。=y(x) (-o0) 令:u(x,)=X(x)T()代入泛定方程 >X(x)T"(t)-ax"(x)T()=0= >X"+X=0;T”+a2T=0. 由于无界空间,没有边界条件,入为连续值.对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分
1 第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1 无界弦的自由振动 ( ) ( ) 2 0 0 0, , . tt xx t t t u u u x u x = = − = = = (− + x t , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) '' 2 '' X x T t X x T t − = 0 2 X T '' '' X T = '' '' 2 X X T T + = + = 0; 0. 令:u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 代入泛定方程 = - 由于无界空间,没有边界条件,为连续值. 对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分
讨论: ①当入X(x)=Gx+G 由于Xkn=有界,→c=0,X=G T"=0,T=c3t+C4: →u=A,+B,t ③ 当x>0时, 令:2=02,X+元x=0→X+m2X=0 X(x)=ceiox+ce-io,(@>0) →X(x)=Ceox,(o可正可负) 由于没有边界,O不再限制只能是一些分立值(本征值) 可取任意的实数值
2 讨论: ① 当 0时, , 令: 2 = '' X X + = 0 '' 2 X X + = 0 ( ) ( ) 1 2 , 0 i x i x X x c e c e − = + ( ) , i x X x Ce = (可正可负) 由于没有边界,不再限制只能是一些分立值(本征值), 可取任意的实数值
T"+2a2T=0 →T"+o'a27=0→T(t)=Aec+Be-ia 分离变数形式的解:u(x,t,o)=A(o)e+a+B(o)e-a叫 一般解:a(,)=[4(o)e+B(o)ea 由初始条件,4,。=p(x,4,l。=(x) [A(@)+B(@)]emd@=p(x) [-ioa[A(@)-B(0)Jemdo=v(x) 将上面式子的右边也展开成傅立叶积分,比较系数,得: A(w)+B(w)-p(w) )-()+i() oy-oaao p(o),v(o)分别是p(x),v(x)傅立叶的变换式. 3
3 '' 2 0 T T + = '' 2 2 0 T T + = ( ) i t i t T t Ae Be − = + 分离变数形式的解: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , i x t i x t u x t A e B e + − = + 一般解: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , i x t i x t u x t A e B e d + − − = + 由初始条件, ( ) ( ) 0 0 , t t t u x u x = = = = ( ) ( ) ( ) i x A B e d x − + = ( ) ( ) ( ) i x i A B e d x − − = 将上面式子的右边也展开成傅立叶积分,比较系数,得: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 A B A B i + = − = ( ), ( ) 分别是 ( x x ), ( ) 傅立叶的变换式. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 2 1 1 1 . 2 2 A i B i = + = −
(x)-()d.()-()do. ()(a)edo)v( ((a)e +oeaa-上高ojaa 延迟定理: ∫p(o)e+mdo=p(x+ai) 第一、三项 ∫p(o)et-do=p(x-ar) 令:g(x)=∫y(5)5=g(o)earo 傅立叶变换 g(x)=y(x)=[iog(o】emdo=∫y(o)ed@ →8o)-a(o) 4
4 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , 2 2 i x t i x t u x t e d e d i + + − − = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 2 2 i x t i x t e d e d i − − − − + − 延迟定理: ( ) ( ) ( ) i x t e d x t + − = + ( ) ( ) ( ) i x t e d x t − − = − 第一、三项 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d − − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d − − − = = ( ) ( ) ( ) 0 x i x x g x d g e d − = = 令: ( ) ( ) ( ) ( ) ' i x i x g x x i g e d e d − − = = = 傅立叶变换 ( ) ( ) 1 g i =
() →」[ao小产e-v( →二(o)emae=y()s m(x02(c+n)+aJ”y()a5+2e(e-am)-2an w(5)d5 -(x+at)+(x-a)]+(5)d5 无界弦(杆)振动的达朗贝尔公式 5
5 ( ) ( ) ( ) i x i x 1 g x g e d e d i − − = = ( ) ( ) 0 1 x i x x e d d i − = ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i + + − = ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 , 2 2 2 2 x t x t x x u x t x t d x t d + − = + + + − − ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t x t x t x t d +− = + + − + 无界弦(杆)振动的达朗贝尔公式
§9.2无界杆的导热问题 4,-a24x=0, 4。=p(x): (-o0) 令:(x,)=X(x)T(t) 代入泛定方程 →x(x)T'()-a2x"(x)T()=0 →X"+2X=0;T+a2T=0. 令:N几=o,(o>0)X+m2x=0→X=G,coswx+4,:sin@x T'+o2a2T=0→T=c,eoa =4(x,t)=X(x)T(t)=[A(@)cosox+B(@)sinox]e-ia 4(x,)=j心[4A(w)cos@x+-B(o )小sin@x]edo 6
6 §9.2 无界杆的导热问题 ( ) 2 0 0, . t xx t u u u x = − = = (− + x t , 0) 令:u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 代入泛定方程 令: = , 0 ( ) = - '' 2 X X + = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 '' X x T t X x T t − = 0 '' ' 2 X X T T + = + = 0; 0. '' ' 2 X T X T = ' 2 2 0 T T + = 1 2 X c x c x = + cos sin 2 2 3 t T c e− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , cos sin t u x t X x T t A x B x e − = = + ( ) ( ) ( ) 2 2 0 , cos sin t u x t A x B x e d − = +
代入初始条件p(x)=[A((o)cos@x+-B(o)sin@x]do 将p(x)展成三角形式的傅立叶积分, p(x=∫rC(o)coswxdw-+∫D(o)sinoxd@ C(o)-Ip(5)cos@5d5.D(@)-(5)sinofdg. 4(o)=C(o)=p5)cos®sa5 B(o)=D(0)=1-9(5)sino5d5. u(x.tp()cosogdscosox+()sin@id6sin@xedo (5)(cnso5cosox+sinmgsin@x)ed -(5)ecoso(x-5)d is
7 代入初始条件 ( ) ( ) ( ) 0 x A x B x d cos sin = + 将 ( x) 展成三角形式的傅立叶积分, ( ) ( ) ( ) 0 0 x C xd D xd cos sin = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 C d D d cos , sin . − − = = ( ) ( ) ( ) 1 A C d cos , − = = ( ) ( ) ( ) 1 B sin . D d − = = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 , cos cos sin sin t u x t d x d x e d − − − = + ( ) ( ) 2 2 0 1 cos cos sin sin t x x e d d − − = + ( ) ( ) 2 2 0 1 cos t e x d d − − = −
积分公式:ecoBxd=Eea 2√a _-)} 一c0-g 2a√ 无界杆导热问 题的基本解 改写为:u(x,)=∫p()G(x,5,5 无界杆导热问 题的格林函数 4a2 非齐次的定解问题 页J4,-as=j,”(-0 8
8 2 2 4 0 cos 2 x e e xdx − − = 积分公式: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 , 2 x t e u x t t − − − = ( ) ( ) 2 2 4 1 2 x t e d t − − − = 无界杆导热问 题的基本解 改写为: u x t G x t d ( , , , ) ( ) ( ) − = ( ) ( ) 2 2 4 1 , , 2 x G x t e t t − − 其中 = 无界杆导热问 题的格林函数 非齐次的定解问题 ( ) 2 0 , , 0. t xx t u u f x t u = − = = (− + x t , 0)
应用冲量定理,4(x,)=∫(x,t-)dr y,-a2y.=0, y,=f(x,) (-00) (x-} (c-)-f(5 4a2(t-) ,(x- dedr 改写为:u(x,)=∫iJ(5,)G(x,5,t-)a5dr (x-5)2 c(x,51-)2a-司 4a2(t-) 9
9 应用冲量定理, ( ) ( ) 0 , , t u x t v x t d = − ( ) 2 0, , . t xx t v v v f x = − = = (− + x t , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 , , 2 x t v x t f e d t − − − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 0 1 , , 2 x t t u x t f e d d t − − − − = − 改写为: ( ) ( ) ( ) 0 , , , , t u x t f G x t d d − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 , , 2 x t G x t e t − − − − = −
§9.3半无界体的扩散问题 限定源扩散(预淀积扩散) 半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散,杂质扩散深度远小于 硅片的厚度。杂质穿过硅片的一面向里扩散问题,完全可以不 管另一面的存在,即可以将硅片看成半无界空间。在限定源扩 散中,是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散,但不让新 的杂质穿过硅片表面进入硅片。 N,-a'Na =0 N=p,8(x-0)(00) =0 为单位面积预先淀积在硅表面上 的杂质分子数 70
10 §9.3 半无界体的扩散问题 一、限定源扩散(预淀积扩散) 半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散,杂质扩散深度远小于 硅片的厚度。杂质穿过硅片的一面向里扩散问题,完全可以不 管另一面的存在,即可以将硅片看成半无界空间。在限定源扩 散中,是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散,但不让新 的杂质穿过硅片表面进入硅片。 0 ( ) 0 0 t N x = = − o x 0为单位面积预先淀积在硅表面上 的杂质分子数( ) 2 0 0 0 0 0 0 t xx t x x N N N x N = = − = = − = (0 , 0 x t )