第四章 机械振动 前言 84-1 简谐振动的动力学特征 84-2 简谐振动的运动学 843 简谐振动的能量 简谐振动的合成 辕动的频增分折 4-5 受迫女振 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 1 t x 第四章 机械振动 前言 §4-1 简谐振动的动力学特征 §4-2 简谐振动的运动学 §4-3 简谐振动的能量 §4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析 §4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
前言 振动的概念 1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时， 都会发生振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。 2、振动的特征 (在时间上)具有某种重复性。 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 2 1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。 振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 前 言 2、振动的特征 (在时间上）具有某种重复性
§4-1简谐振动的动力学特征 振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 3 §4-1 简谐振动的动力学特征 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。 振动中最简单最基本的是简谐振动
4.1.1弹簧振子模型 1)定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。 K 条件：位移限定在弹性限度内，不 0000000000S 计弹簧内部摩擦。 2)无阻尼时的自由振动 阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射 自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。 (1)平衡位置与坐标原点： 平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 4 4.1.1 弹簧振子模型 1）定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。 条件：位移限定在弹性限度内，不 计弹簧内部摩擦。 2）无阻尼时的自由振动 阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射 自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。 （1）平衡位置与坐标原点： 平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。 X 0 x K F
(2) 弹性恢复力的特点： 恢复力与位移正比而反 K 向（线性回复力），即 -O000000000 F=-kox 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。 (3)惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 5 （3）惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。 恢复力与位移正比而反 向（线性回复力），即 （2） 弹性恢复力的特点： 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。 F= -kx X 0 x K F
3)弹簧振子的运动微分方程 以振子为对象由牛顿定律： d -kx 令0-k 则得 m 解微分方程得： x=Acos(ot+o) 6 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 6 3）弹簧振子的运动微分方程 m k = 2 令 0 2 2 2 + x = dt d x 则得 kx dt d x m = − 2 2 以振子为对象 由牛顿定律： cos( ) = +0 解微分方程得： x A t
4.1.2 微振动的简谐近似 1、单摆 构成：一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联 1)定义 条件：在重力作用下，在竖直平面内作小角度的摆动（≤5°） 2)无阻尼时的自由振动 (1)平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，0为角坐标 原点。 (2)恢复力矩的特点： 重力对过悬点0的水平轴的力矩为： M=-mglsin 0 mg 负号表示力矩方向始终与角位移方 向相反。 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 7 2）无阻尼时的自由振动 （1）平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，o为角坐标 原点。 （2）恢复力矩的特点： 重力对过悬点0 /的水平轴的力矩为： M = −mglsin 负号表示力矩方向始终与角位移方 向相反。 1）定义 条件:在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动(θ 5 ) 构成:一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联 o 1、单摆 / o 0 l mg T / o 0 4.1.2 微振动的简谐近似
报据支克劳林层开m00}00 略去高阶无穷小后 M=-mgl.0 即恢复力矩与角位移正比而反向。 (角位移指偏离平衡位置的角位移) (3)惯性的作用： 此处的惯性指摆球对过0的水平轴的转动惯量 I =ml2 8 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 8 根据麦克劳林展开 = − 3 + 5 − 5! 1 3! 1 sin 略去高阶无穷小后 M = −mgl （3）惯性的作用: 即恢复力矩与角位移正比而反向。 （角位移指偏离平衡位置的角位移） 此处的惯性指摆球对过0 /的水平轴的转动惯量 I = ml 2
3)单摆的运动微分方程 由定轴转动的转动定律： M=IB do d =-mgl.0 。-号 令 则得 d'o d +o20=0 方程的解为 日=日cos(ot+φ) 9 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 9 3）单摆的运动微分方程 由定轴转动的转动定律： = −mgl dt d ml 2 2 2 令 2 = g l 0 2 2 2 + = dt d 则得 方程的解为 ( ) 0 0 = cos t + M = I
2、复摆 )定义 构成：刚体绕水平光滑轴转动 条件：同单摆 2)同单摆一样分析可得复摆运动微分方程 M=-mghsin 0 M=-mgh-0 式中h指质心到悬点的距离 d20 由定轴转动的转动定律： d -mgh.0 令o2=8h 则得 I d +020=0 方程的解为 e=0 cos(ot+) 10 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 10 2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程 2、复 摆 I mgh = 2 令 0 2 2 2 + = dt d 则得 M = −mghsin M = −mgh ──式中h指质心到悬点的距离 = −mgh dt d I 2 2 由定轴转动的转动定律： 方程的解为 ( ) 0 0 = cos t + ⊙⊙ ● c h mg 1)定义 条件： 同单摆 构成：刚体绕水平光滑 轴转动