习题四 41符合什么规律的运动才是谐振动？分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动： (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动（设小球所经过的弧线很 短). 22 w》☑ 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长 等等在运动 中保持为常国 ,系统是在自己的稳定平衡位置 附近作往复运动： 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 器+5=0 描述时，其所作的运动就是谐振动 (①)拍皮球时球的运动不是谐振动。第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置：第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线性回复力. 2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的法动，是诺振动。显然，小球在运动过 程中，各种参量均为常量：该系统（指小球凹槽、地球系统）的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点O:而小球在运动中的回复力为-mgsn0,如题4-1图)所 示.意中所述，△S<R,放0=二0，所以回复力为-mg0.式中负号，表示阳复 力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 的。若以小球为对象，则小球在以0为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律 在凹桔切线方向上有 令02=则有 验o0 42劲度系数为k,和k,的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期
习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长.等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 0 d d 2 2 2 + = t 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点 O ；而小球在运动中的回复力为− mg sin ，如题4-1图(b)所 示．题 中所述， S ＜＜ R ，故 R S = →0，所以回复力为− mg .式中负号，表示回复 力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性 的．若以小球为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线方向上有 mg t mR = − 2 2 d d 令 R g = 2 ，则有 0 d d 2 2 2 + = t 4-2 劲度系数为 1 k 和 2 k 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
美点Q心 (a) 6) 题4-2图 解：(I)图()中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F=F=F,设串联弹簧的等效 倔强系数为K等效位移为x,则有 F=-kgx F=-k F2=-k2X2 又有 x=+x2 所以串联弹簧的等效倔强系数为 《禁 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k=kk(k+k)的弹簧振子系统，故 小球作谐振动.其振动周期为 侵 (2)图(6)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F=F=F,即x=x=x,设并联弹 簧的倔强系数为k并，则有 =k+k2x2 故 kw=k:+k2 同上理，其振动周期为 T'=25k+k: m 4-3如题4-3图所示，物体的质量为m,放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为0，弹 簧的倔强系数为k,滑轮的转动惯量为I,半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期
题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F = F1 = F2 ，设串联弹簧的等效 倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有 1 1 1 F k x F k x = − = − 串 2 2 2 F = −k x 又有 1 2 x = x + x 2 2 1 1 k F k F k F x = = + 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为 1 2 1 2 k k k k k + 串 = 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 /( ) 1 2 1 2 k = k k k + k 的弹簧振子系统，故 小球作谐振动．其振动周期为 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 k k m k k k m T + = = = 串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F = F1 = F2 ，即 1 2 x = x = x ，设并联弹 簧的倔强系数为 k并 ，则有 1 1 2 2 k并 x = k x + k x 故 1 2 k并 =k +k 同上理，其振动周期为 1 2 2 k k m T + = 4-3 如题4-3图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹 簧的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
(a) 题4-3图 解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(6)所示，以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有 ⊙ TR-TR=IB ② T2=k(x+x) ③ 式中=mgsin/k,为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 则有 dx+x-0 dt- 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 mR+1 K 4-4质量为10×10-kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1©08x+2)(S的规律 作诺振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值： (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)=5s与4=1s两个时刻的位相差 解：(1)设谐振动的标准方程为x=Acos(o+4),则知：
题4-3图 解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有 2 2 1 d d sin t x mg −T = m ① T1R −T2R = I ② R t x = 2 2 d d ( ) 2 0 T = k x + x ③ 式中 x mgsin / k 0 = ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 kxR t x R I mR+ = − 2 2 d d ( ) 令 mR I kR + = 2 2 2 则有 0 d d 2 2 2 + x = t x 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 ) / 2 ( 2 2 2 2 2 K m I R k R mR I T + = + = = 4-4 质量为 10 10 kg −3 的小球与轻弹簧组成的系统，按 ) (SI) 3 2 0.1cos(8 x = + 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3) 5s t 2 = 与 1s t 1 = 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为 cos( ) = +0 x A t ，则知：
40mo-.7名-A-2a归 又 yn=a4=0.8xms=2.51ms- 4n=o2A=63.2ms2 F=a =0.63N B=2m=316x10-y E,=E.=号E=158x102J 当E:=E。时，有E-2E。, r-) 号4号 (3) △p=o2-41)=8π(5-l)=32π 4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数 表示。如果1=0时质点的状态分别是： (1)x0=-A: (2)过平衡位置向正向运动： ③)过x=处向负向运动： ④过x三一方处向正向运动， 试求出相应的初位相，并写出振动方程. 解：因为 了x0=Acoso vo =-@Asn 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有 4=元X=Ac0织1+)
s, 2 / 3 4 2 1 0.1m, 8 , 0 A = = T = = = 又 vm =A = 0.8 1 m s − = 2.51 1 m s − 63.2 2 am = A = 2 m s − (2) Fm = am = 0.63N 3.16 10 J 2 1 2 −2 E = mvm = 1.58 10 J 2 1 −2 E p = Ek = E = 当 Ek = Ep 时，有 E = 2Ep ， 即 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 2 kx = kA ∴ m 20 2 2 2 x = A = (3) =(t 2 −t 1 ) = 8(5−1) = 32 4-5 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数 表示．如果 t = 0 时质点的状态分别是： (1) x0 = −A ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2 A x = 处向负向运动； (4)过 2 A x = − 处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 = − = 0 0 0 0 sin cos v A x A 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 ) 2 cos( 1 = = t + T x A ) 2 2 3 cos( 2 3 2 = = t + T x A ) 3 2 cos( 3 3 = = t + T x A ) 4 2 5 cos( 4 5 4 = = t + T x A
4-6一质量为10×10kg的物体作谐振动，振幅为24cm,周期为4.0s,当t=0时位移 为+24cm.求： (1)1=0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向： (2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间： (3)在r=12cm处物体的总能量. 解：由题已知 A=24×102m,T=4.0s a-5-0a时s 又，1=0时，。=+Ag。=0 故振动方程为 x=24×10c0s0.5m)m (1)将1=0.5s代入得 5=24×102c0s(0.5a)m=0.17m F=-ma=-mo'x =-10×10-3×(}2×0.17=-4.2×10-3N 方向指向坐标原点，即沿x轴负向。 (2)由题知，1=0时，克=0， 1=1时=+，且v<0,故=子 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 B=f-号mof =，x10x105(5)2×(0.24)2 =7.1x10-4J 47有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9℃m,用这个弹簧和一个质量 为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度 %=5.0cm·s,求振动周期和振动表达式. 解：由题知k=8=10x0x98-02Nm 4.9×10-2
4-6 一质量为 10 10 kg −3 的物体作谐振动，振幅为 24cm ，周期为 4.0s ，当 t = 0 时位移 为 + 24cm ．求： (1) t = 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x =12cm 处所需的最短时间； (3)在 x =12cm 处物体的总能量． 解：由题已知 24 10 m, 4.0s 2 = = − A T ∴ 1 0.5 rad s 2 − = = T 又， t = 0 时， x0 = +A,0 = 0 故振动方程为 24 10 cos(0.5 )m 2 x t − = (1)将 t = 0.5s 代入得 24 10 cos(0.5 )m 0.17m 2 0.5 = = − x t ) 0.17 4.2 10 N 2 10 10 ( 3 2 3 2 − − = − = − = − = − F ma m x 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向． (2)由题知， t = 0 时， 0 = 0 ， t = t 时 3 , 0, 2 0 = + v t = A x 且 故 ∴ s 3 2 2 / 3 = = = t (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 7.1 10 J ) (0.24) 2 10 10 ( 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 2 2 2 − − = = = = E kA m A 4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 1.0g 的物体时，伸长为 4.9cm ．用这个弹簧和一个质量 为 8.0g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 1.0cm 后 ，给予向上的初速度 1 0 5.0cm s − v = ，求振动周期和振动表达式． 解：由题知 1 2 3 1 1 0.2 N m 4.9 10 1.0 10 9.8 − − − = = = x m g k
而t=0时，x0=-1.0×102mv。=5.0×10-2ms1（设向上为正) 4 o-店品i即7g1 4+合 =0.0x10y+30x10y 5 =√2×10-2m 5.0×10-2 tan4。=- x=x10co(5+)m 4-8图为两个谐振动的x-1曲线，试分别写出其谐振动方程。 r(cn) ↑r(cn) 10 x(s) (a) () 题4-8图 解：由恩4-8图a),“1=0时，=0,6>0，∴%=，又4=10cm.7=2s 0-2=adg x,=0.1co(+2)m 由题4国1=0时.-手≥0女-智 =0时x=0,<0:4=2x+号 又 4=0x1+号=知 故 49一轻弹簧的倔强系数为k,其下端悬有一质量为M的盘子.现有一质量为m的物体 从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动
而 t = 0 时， 2 -1 0 2 0 = −1.010 m, = 5.010 ms − − x v ( 设向上为正) 又 1.26s 2 5, 8 10 0.2 3 = = = = = − T m k 即 2 10 m ) 5 5.0 10 (1.0 10 ) ( ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 0 − − − = = + = + v A x 4 5 1, 1.0 10 5 5.0 10 tan 2 0 2 0 0 0 = = = − = − − 即 x v ∴ )m 4 5 2 10 cos(5 2 = + − x t 4-8 图为两个谐振动的 x −t 曲线，试分别写出其谐振动方程． 题4-8图 解：由题4-8图(a)，∵ t = 0 时， , , 10cm, 2s 2 3 0, 0, x0= v0 0 = 又 A = T = 即 1 rad s 2 − = = T 故 )m 2 3 xa = 0.1cos(t + 由题4-8图(b)∵ t = 0 时， 3 5 , 0, 2 0 0 0 = v = A x t 1 = 0 时， 2 1 0, 1 0, 1 2 x = v = + 又 2 5 3 5 1 = 1+ = ∴ 6 5 = 故 xb t )m 3 5 6 5 0.1cos( = + 4-9 一轻弹簧的倔强系数为 k ，其下端悬有一质量为 M 的盘子．现有一质量为 m 的物体 从离盘底 h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同？ (2)此时的振动振幅多大？ (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程。 解，心空金的动周期为2：区，高下重物后装动周期为2江” M M+m,即增大 (②)按3)所设坐标原点及计时起点，1=0时，则。=-m坚。碰撞时，以m,M为一系统 动量守恒，即 m√2gh=(m+M0m 则有 6=m2h m+M 于是 4因哈学+ 贤8 2kh (3)tan4。=- 2kh (第三象限)，所以振动方程为 xo@V(M+m)g x=mg 2kh 「k 2kh (M+m)g 4-10有一单摆，摆长1=1.0m,摆球质量m=10×10-3kg,当摆球处在平衡位置时，若 给小球一水平向右的冲量F=1.0×10一kgms',取打击时刻为计时起点(t=0),求 振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程。 解：由动量定理，有 F.M=-0 v=F.M-1.0x10 m10x10=001ms 按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知1=0时，x。=0,。=0.01m·s1>0 .4=3π/2
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为 k M 2 ，落下重物后振动周期为 k M + m 2 ，即增大． (2)按(3)所设坐标原点及计时起点， t = 0 时，则 k mg x0 = − ．碰撞时，以 m, M 为一系统 动量守恒，即 0 m 2gh = (m + M)v 则有 m M m gh v + = 2 0 于是 m M g k h k mg m M m gh k v mg A x ( ) 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 0 2 2 0 + = + + = + = + （3） M m g k h x v ( ) 2 tan 0 0 0 + = − = (第三象限)，所以振动方程为 + + + + = + M m g k h t m M k m M g k h k m g x ( ) 2 cos arctan ( ) 2 1 4-10 有一单摆，摆长 l =1.0m ，摆球质量 10 10 kg −3 m = ，当摆球处在平衡位置时，若 给小球一水平向右的冲量 4 1 1.0 10 kg m s − − Ft = ，取打击时刻为计时起点 (t = 0) ，求 振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有 F t = mv−0 ∴ -1 3 4 0.01 m s 1.0 10 1.0 10 = = = − − m F t v 按题设计时起点，并设向右为 x 轴正向，则知 t = 0 时， 1 0 0 0, 0.01m s − x = v = ＞0 ∴ 0 = 3 / 2 又 1 3.13rad s 1.0 9.8 − = = = l g
4-合台-器-2x0n 故其角振幅 0==32x10ad 小球的振动方程为 0=32x10-3cos(3.131+x)rad 4-11有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m,位相与第一振动 的位相差为名，已知第一报动的振幅为0.173m,求第二个报动的报幅以及第一、第二两振 动的位相差。 o0 题411图 解：由题意可做出旋转矢量图如下 由图知 =2+42-2AAcos309 =(0.173)2+(0.2)2-2×0.173×0.2×5/2 =0.01 A2=0.1m 设角A4O为0，则 A=4+A-244,cos日 多 c0s0=+8-4-0.1732+0.12-0.02y 2×0173×01 =0 即0=了，这说明，A与4，间夹角为了，即二振动的位相差为了 4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： =5cos(3+)cm =5cos(3+)cm (2) ,=5c0s31+7cm 解：() 的=务-有=号-号=2江
∴ 3.2 10 m 3.13 0.01 ( ) 2 0 2 0 3 0 − = + = = = v v A x 故其角振幅 3.2 10 rad −3 = = l A 小球的振动方程为 )rad 2 3 3.2 10 cos(3.13 3 = + − t 4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m ，位相与第一振动 的位相差为 6 ，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 动的位相差． 题4-11图 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 0.01 (0.173) (0.2) 2 0.173 0.2 3 / 2 2 cos30 2 2 1 2 2 1 2 2 = = + − A = A + A − A A ∴ A2 = 0.1m 设角 AA1O为 ，则 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 A = A + A − A A 即 0 2 0.173 0.1 (0.173) (0.1) (0.02) 2 cos 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 = + − = + − = A A A A A 即 2 = ，这说明， A1 与 A2 间夹角为 2 ，即二振动的位相差为 2 . 4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： (1) = + = + )cm 3 7 5cos(3 )cm 3 5cos(3 2 1 x t x t (2) = + = + )cm 3 4 5cos(3 )cm 3 5cos(3 2 1 x t x t 解： (1)∵ 2 , 3 3 7 2 1 = − = − =
合振幅 A=4+42=10cm (②) 合振幅 A=0 4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 =04o0+m =03co2-rm 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出诰振方程。 解： -= Ae=4-A=0.1m Asin d+sin 04×sm2-0.3sm5 tan= -5 3 -君 其振动方程为 x=0.1co921+2m (作图法略) 414如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振 动方程为x=6cos2cm,求y方向的振动方程. 题4-14图 解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为号或二：又，轨道是按顺时针方向旋 转，故知两分振动位相差为二·所以y方向的振动方程为 y=12cos(2+)cm
∴合振幅 A = A1 + A2 =10cm (2)∵ , 3 3 4 = − = ∴合振幅 A = 0 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 = − = + )m 6 5 0.3cos(2 )m 6 0.4cos(2 2 1 x t x t 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ = − − ) = 6 5 ( 6 ∴ A合 = A1 − A2 = 0.1m 3 3 6 5 0.3cos 6 0.4cos 6 5 0.3sin 6 0.4 sin cos cos sin sin tan 2 1 2 2 1 1 2 2 = + − = + + = A A A A ∴ 6 = 其振动方程为 )m 6 0.1cos(2 x = t + (作图法略) * 4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 x 方向的振 动方程为 x = 6cos2tcm ，求 y 方向的振动方程． 题4-14图 解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 2 或 2 3 ；又，轨道是按顺时针方向旋 转，故知两分振动位相差为 2 .所以 y 方向的振动方程为 )cm 2 12cos(2 y = t +