第一章运动的描述 §1-1参照系坐标系物理模型 注当 (1)质点为一个理想模型：物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。 是对复杂问愿抽出主要矛盾，加以研究的有效方法： (2)能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质：例如：研究足球的运动，.· (3)在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。 二参照系和坐标系 (1)参考系（参照系 宇宙中的一切物体都 动 没有 对静止的物体， 这叫运动的绝对性 的选择可体的机 选另一个物体作参考物，被选作参考的物体称为参考 选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描 述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系。 【注意】参考系不一定是静止的。【思考】一个点能否作为参考系？ (2)坐标系 只有参考系不能定量地描述物体的位置。所以要在参考系上固定一个坐标系。这样就可定 量描述物体的位置。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 三.空间和时间 空间：是一切不同位置的概括和抽象。 时间： 不 图1参考系 图12直角坐标系 图13位移示意图 整动位失随时间变化规院即为运动方起，已为 r=r()=xt)i+()j+z()k. (1)运动方程中包含了质点运动的全部信总。或者说知道了也就可以解决质点的运动问 题。 轨道机为00、0，是运动方程的分层式。 2)运动方程的分量式
第一章 运动的描述 §1-1 参照系 坐标系 物理模型 一．质点 在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小 和形状的理想的点，这样的物体可称为质点。 注意： （1）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。 是对复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法； （2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动，. . （3）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。 二．参照系和坐标系 （1）参考系（参照系） 宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性。 为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参考物，被选作参考的物体称为参考 系，参考系的选择可视问题性质而任意选定。 同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描 述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系。 【注意】参考系不一定是静止的。【思考】一个点能否作为参考系？ （2）坐标系 只有参考系不能定量地描述物体的位置。所以要在参考系上固定一个坐标系。这样就可定 量描述物体的位置。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 三．空间和时间 空间：是一切不同位置的概括和抽象。 时间：是一切不同时刻的概括和抽象。 一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。 O x y z 火车站 O x y z r P(x, y, z) x y z r 1 r 2 r P1 (x, y, z) P2 (x, y, z) O 图 1-1 参考系 图 1-2 直角坐标系 图 1-3 位移示意图 四．运动方程 质点在空间运动时，位失随时间变化的规律即为运动方程，记为： r = r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k . （1）运动方程中包含了质点运动的全部信息。或者说知道了也就可以解决质点的运动问 题。 （2）运动方程的分量式 x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)，是运动方程的分量式。 （3）轨道（轨迹）方程
在运动方程的分量式中，消去时间1得低y-0,此方程称为质点的轨道方程：轨道是直 线的称为直线运动：轨道是曲线的称为曲线运动。5.运动方程 §1-2运动的描述 1.2.1运动的描述 1.位置矢量（位矢） 在坐标系中，质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示，即 r=x++k 2.位移 (1)概念。1时刻，质点在乃点，位矢为n:+△t时刻，质点在P2点，位矢为n,则 在△/这段时间内位矢的增量△y=r 一称为质点在△t时间内的位移。 【注意】1.位移为矢量，方向从初位置指向末位置。 2位移的大小记为△少H-小它是位移矢量的长度 3.位移和位矢的区别：位移是质点运动初末位置的位矢之差：位矢是坐标原点指向质点位 的一段有线段 4.路程△S与位移大州△|的区别：路程是△1内走过的轨道的长度，而位移大小是质点 实际移动的直线距离，位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用△S表示。即使在 直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。5.当△一0时，1山卡△S. (2)直角坐标系中的数学表示r=xi+j+k,52=x,i+2j+2k, 山=,-xM+0,-i+-k=A+Ay+Ak 大小1w啡+a+c.方：csa=是cosB=是cos7-号 4。 >P3 +M) P 图14平均速度 图15速度 图16瞬时速度 3、速度 表示质点运动快慢的物理量。 A.平均速度 如图14和图15，我们定义质点从时刻1到时刻1至什△1的平均速度为： =5-5= A A 【注意】(1)平均速度的物理意义：质点在△1时间内运动的平均快慢程度。 (2)平均速度为矢量，方向就是位移△”的方向：大小为
2 2 在运动方程的分量式中，消去时间 t 得 f(x, y, z)=0，此方程称为质点的轨道方程；轨道是直 线的称为直线运动；轨道是曲线的称为曲线运动。5．运动方程 §1-2 运动的描述 1.2.1 运动的描述 1．位置矢量（位矢） 在坐标系中，质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示，即 r = xi + yj + zk . 2．位移 （1）概念。t 时刻，质点在 P1 点，位矢为 r1 ；t+Δt 时刻，质点在 P2 点，位矢为 r2 ，则 在Δt 这段时间内位矢的增量 2 1 r = r −r 称为质点在Δt 时间内的位移。 【注意】1. 位移为矢量，方向从初位置指向末位置。 2. 位移的大小记为 | | | 2 1 r |= r −r ，它是位移矢量的长度。 3. 位移和位矢的区别：位移是质点运动初末位置的位矢之差；位矢是坐标原点指向质点位 置的一段有向线段。 4. 路程ΔS 与位移大小 | r | 的区别：路程是Δt 内走过的轨道的长度，而位移大小是质点 实际移动的直线距离，位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用ΔS 表示。即使在 直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。5. 当Δt→0 时， | r |= S . （2）直角坐标系中的数学表示 r1 = x1 i + y1 j + z1k ， r2 = x2 i + y2 j + z2 k ， r = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k = xi + yj + zk . 大小： 2 2 2 | r |= (x) + (y) + (z) . 方向： r x cos = , r y cos = , r z cos = . x y z r 1 r 2 r P1 (x, y, z) P2 (x, y, z) O P1 P2 v r v x y z r(t) P1 P2 O v1 v2 r(t +t) 图 1-4 平均速度 图 1-5 速度 图 1-6 瞬时速度 3、速度 表示质点运动快慢的物理量。 A．平均速度 如图 1-4 和图 1-5，我们定义质点从时刻 t 到时刻 t 至 t+Δt 的平均速度为： t t = − = r r r v 2 1 ， 【注意】（1）平均速度的物理意义：质点在Δt 时间内运动的平均快慢程度。 （2）平均速度为矢量，方向就是位移 r 的方向；大小为
3 △ 单位m·s (3)平均速率的概念定义：下-二，和平均速度的区别。 (4)在直角坐标系中的分解 B.(瞬时)速度 定义：如图1-6所示，令△1→0，则质点在1时刻的瞬时速度为 典出 德度是天量。速度的大小际为为速率，面且速率H密出产出：方有为 元位移d山的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向：单位m·s. (2)在直角坐标系中质点的速度表示为： 大小vv经++， 方向cosa=兰.c0sB=上，c0s7=兰 (3)速度的相对性和瞬时性：(4)v与v的区别： (5)v与v的区别。 4、加速度 描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化 的快慢)， A.平均加速度 在△1时间内，速度增量为△v=y2-y1,定义平均加速度： 图17平均加速度 与速度增量△y方向相同。 ，Av dyd2r B.瞬时加速度a=d.大小 aaH业长d,方向：→0时速度增量的极限 方向，在曲线运动 总是指向曲线的四侧。单位：m·s2(S制) C.直角坐标系中加速度 的数学表示 3
3 3 t t = − = | | | | | | 2 1 r r r v ， 单位 m·s -1 . （3）平均速率的概念定义： t S v = ，和平均速度的区别。 （4）在直角坐标系中的分解 i j k i j k r v x y z v v v t z t y t x t = + + + + = = ， B．（瞬时）速度 定义：如图 1-6 所示，令 t →0 ，则质点在 t 时刻的瞬时速度为 t t t d d lim 0 r r v = = → . （1）速度是矢量，速度的大小称为为速率， 而且速率 t r t S t v d d d d | d d =| |=| = r v ；方向为 元位移 dr 的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向；单位 m·s -1 . （2）在直角坐标系中质点的速度表示为： i j k i j k r v x y z v v x t z t y t x t = = + + = + + d d d d d d d d . 大小 2 2 2 | | x y z v = v = v + v + v ， 方向 v vx cos = , v v y cos = , v vz cos = . （3）速度的相对性和瞬时性；（4） | v | 与 v 的区别； （5） v 与 v 的区别。 4、加速度 描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化 的快慢）. A．平均加速度 在Δt 时间内，速度增量为 2 1 v = v −v ，定义平均加速度： t = v a ， 图 1-7 平均加速度 与速度增量 v 方向相同。 B．瞬时加速度 2 2 0 d d d d lim t t t t v v r a = = = → . 大小： t t a d d | | | d d | | | v v = a = ，方向： t → 0 时速度增量的极限 方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。单位： m · s -2 （ SI 制 ） C．直角坐标系中加速度的数学表示 i j k i j k i j k v a x y z x y z a a a t z t y t x t v t v t v t = = + + = + + = + + d d d d d d d d d d d d d d 2 2 2 . P1 v 1 v 2 v
4 dt 方向：aa作Va+a+a,cosa=g,c0sB=2cosy= a a 【注意】加速度的相对性和瞬时性。 例1-一1已知质点作匀加速直线运动，加速度为a,求该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法： 五= dv=adt 对于作直线运动的质点，采用标量形式 dv=adt 两稀积分可得到速因 [dv=[adt v=vo+at 根据速度的定义式： 晋-=+ 两端积分得到运动方程 fdx-[(v+an)d+a 消去时间，得到 v2=+2a(x-x) 1.2曲线运动的描述 12.1圆周运动 本质 一种特殊的平面曲线运动。下面我们先研究一般的平面曲线运动 运动的 周运 1自然坐标系 自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点。，沿轨道法线，指向轨道的曲率中心，称为法向 单位矢量：，沿轨道切向，指向质点的前进方向，称为切向单位矢量。 2圆周运动的角量描述 对圆周运动，我们使用平面极坐标系可得，r=cost.因此，圆周运动的质点的速度为： y=vx,沿圆周的切线方向。大小为矢径r乘于质点的矢径与极轴之间的夹角0对随时间的微 商，即仅仅决定于角坐标()随时间的变化。 (1)角速度 角坐标随时间的变化率) d0称为角速度。单位：d.s小， 将宁【注意】在这里我们将角速度定义为标量，第四章我们将进一步 (2)角加速度
4 4 大小 i j k i j k i j k v a x y z x y z a a a t z t y t x t v t v t v t = = + + = + + = + + d d d d d d d d d d d d d d 2 2 2 . 方向： 2 2 2 | | a = a = ax + ay + az ， a ax cos = , a ay cos = , a az cos = . 【注意】加速度的相对性和瞬时性。 例 1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为 a，求该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法： 对于作直线运动的质点，采用标量形式 两端积分可得到速度 根据速度的定义式： 两端积分得到运动方程 消去时间，得到 1.2 曲线运动的描述 1.2.1 圆周运动 引言：圆周运动的本质，一种特殊的平面曲线运动。下面我们先研究一般的平面曲线运动， 然后才将结论运用到圆周运动上 一、圆周运动的描述 1 自然坐标系 自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点。 n e 沿轨道法线，指向轨道的曲率中心，称为法向 单位矢量； e 沿轨道切向，指向质点的前进方向，称为切向单位矢量。 2 圆周运动的角量描述 对圆周运动，我们使用平面极坐标系可得，r=const . 因此，圆周运动的质点的速度为： v = v ，沿圆周的切线方向。大小为矢径 r 乘于质点的矢径与极轴之间的夹角 对随时间的微 商，即仅仅决定于角坐标 (t) 随时间的变化。 （1）角速度 角坐标随时间的变化率 dt d = 称为角速度。单位：rad﹒s -1 . 【注意】在这里我们将角速度定义为标量，第四章我们将进一步 将它定义为矢量。 （2）角加速度 O S et en d t d v a = d v adt = dv = adt = v t v v a t 0 d d 0 v = v + at 0 v v at t x = = 0 + d d x v at t x t x d ( )d 0 0 0 = + 2 0 0 2 1 x = x + v t + at 2 ( ) 0 2 0 2 v = v + a x − x
我们定义角速度对时间的变化率为角加速度，记为： a=do-o dt dr2 【注意】这里我们将角加速度定义为标量，在第四章中我们将定义它为 矢量。 【讨论】一般（变速）圆周运动的加速度的方向 图113切向加速度和法向加速度 3、匀速圆周运动和匀变速圆周运动 0=o+a,2-2=2a0-)0-0,=o1+52 (1).匀变速率圆周运动 角加速度&-常量，而加速度为a=a,+an=rae,+ro2en,加速度的值为 a=√a+aG,其方向并非指向圆心 (2).匀速率圆周运动 即质点的速率v和角速度o都为常量，则角加速度a=0,因此a=an=roen, 0=0。+o. 3、角加速度 1,平面曲线运动的自然坐标系描述 2)运动方程 在自然坐标 质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度S来确定。 质点在坐标系中运动时，有S=S,这就是运动方程。 (3)速度 自然坐标中质点运动的路程可表示为S=S1什△)小S) △SdS 速度为"=，式中v=公一出为速度v的值，即为速率。 (4)加速度 如图1-12所示，质点运动的加速度为： a=业+,+=a,+a, dtdt 可见加速度由两个相互垂直的分矢量a,和an合成，a,称为切向加速度，an称为法向加速度。 之圆眉运动的切血加速度和法的如速度极华标系和自然华标系，可见 如果质点作圆周运动， en=-e,e:=-eo. 注1a出出，+告=a,+a de. 加速度。响加速度大小水风上出方向：切向质点 前进的方向
5 5 an a O r a 图 1-13 切向加速度和法向加速度 我 们 定 义 角 速 度 对 时 间 的 变 化 率 dt d 为 角 加 速 度 ， 记 为 ： 2 2 d d d d t t = = . 【注意】这里我们将角加速度定义为标量，在第四章中我们将定义它为 矢量。 【讨论】一般（变速）圆周运动的加速度的方向 3、匀速圆周运动和匀变速圆周运动 = +t 0 ， 2 ( ) 0 2 0 2 − = − ， 2 0 0 2 1 − = t + t . （1）．匀变速率圆周运动 角 加 速 度 = 常 量 ， 而 加 速 度 为 n n a a a r e r e 2 = + = + ， 加 速 度 的 值 为 2 2 a = an + a ，其方向并非指向圆心。 （2）．匀速率圆周运动 即质点的速率 v 和角速度 都为常量，则角加速度 = 0 ，因此 n n a a r e 2 = = ， = +t 0 . 3、角加速度 1．平面曲线运动的自然坐标系描述 （2）运动方程 在自然坐标中，质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度 S 来确定。 质点在坐标系中运动时，有 S=S(t)，这就是运动方程。 （3）速度 自然坐标中质点运动的路程可表示为 S =S(t+Δt)-S(t) 速度为 v = ve ，式中 t S t S v t d d lim 0 = = → 为速度 v 的值，即为速率。 （4）加速度 如图 1-12 所示，质点运动的加速度为： n t v t v t a a e e v a = + + = + d d d d d d ， 可见加速度由两个相互垂直的分矢量 a 和 n a 合成， a 称为切向加速度， n a 称为法向加速度。 2．圆周运动的切向加速度和法向加速度 如果质点作圆周运动，比较一下平面极坐标系和自然坐标系，可见： n r e = −e ， e = −e . 【注意】 n n t v t v t a a e e v a = = + = + d d d d d d . （1）切向加速度。切向加速度的大小： t r t v ac c d d d d | | = a = = ，方向：沿圆周切向质点 前进的方向
6 (2)法向加速度。法向加速度a,=,d2.因为c,=心，-6，而且 |△e,上△xe,上△8，所以当w一0时，A0一0，这时△e,的方向趋向于与e,垂直，即趋于 指向圆心，为法线方向c所以.口，：立 △e_de-d en即得 a=告=品。=c,=,-为质的法向如速院 大小：a,=0=o=兰.方向：沿半径指向圆心。 4.线量与角量的关系 由r0=rd0 。=0质点作圆周运动时速率和角速度之间的瞬时关系是v=0。 因为：a=d0=0.这样，4，=m.即a,=mc, d山d2 注意到圆周运动中一常数，因此质点的切向加速度的大小a,=rd0仅仅决定于d0 dt 例题1计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 解：地球自转周期T=24×60×60s,角速度大小为： 0-224k00=727*0 2π 地面上纬度为p的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动，r=Rcos P点速度的大小为 v=or=@Rcosp=7.27×10-5×6.73×10°×cosp=4.65×102cos0(0m/s) P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 an=o2r=o2Rc0sp=(7.27×10-5y×6.73x10°×c0sp=3.37×10-2c0sp(m/s2) P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。 例题2一质点沿半径为R的圆周按规律S=,1-b12/2运动，o,b都是正的常量。求 (1)t时刻质点的总加速度的大小： (2)t为何值时，总加速度的大小为b: (3)当总加速度大小为b时，质点沿圆周运行了多少圈。 先 图如右， 动0时 质点位于s=0的p点处。 时刻切 加速度、法向加速度及加速度大小 dtdt . R a=a2+a2=-b0P+6R a=-by+(bRy R =b .1=o/b R
6 6 （2）法向加速度。法向加速度 t v n d d e a = . 因为 2 1 e = e − e ，而且 | e |= | e |= , 所以当 t →0 时， →0，这时 e 的方向趋向于与 1 e 垂直，即趋于 指向圆心，为法线方向 n e . 所以， n t t t t e e e d d d d lim 0 = = → 即得 n n n n n r v v r t v t v e e e e e a 2 2 d d d d = = = = = .为质点的法向加速度。 大小： r v a v r n 2 2 = = = . 方向：沿半径指向圆心。 4．线量与角量的关系 由 v e ( )e d d ( ) r t t t = r = ，质点作圆周运动时速率和角速度之间的瞬时关系是 v = r . 因为： 2 2 d d d d t t = = . 这样， a r = . 即 a = re . 注意到圆周运动中 r=常数，因此质点的切向加速度的大小 t a r d d = 仅仅决定于 dt d 例题 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 解：地球自转周期 T=246060 s，角速度大小为： 地面上纬度为 的 P 点，在与赤道平行的平面内作圆周运动, P 点速度的大小为 P 点速度的方向与过 P 点运动平面上半径为 R 的圆相切。 P 点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 P 点加速度的方向在运动平面上由 P 指向地轴。 例题 2 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 运动，v0、b 都是正的常量。求 （1） t 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为 b ； （3）当总加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行了多少圈。 解：先作图如右，t = 0 时，质点位于 s = 0 的 p 点处。 在 t 时刻，质点运动到位置 s 处 （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: T 2 = 24 60 60 2 = 5 1 7.27 10− − = s r = Rcos v = r = Rcos 7.27 10 6.73 10 cos 5 6 = − 4.65 10 cos ( / ) 2 = m s cos 2 2 an = r = R (7.27 10 ) 6.73 10 cos 5 2 6 = − 3.37 10 cos ( / ) 2 2 m s − = / 2 2 s = v0 t −bt b dt d s t v at = = = − 2 2 d d R v bt R v an 2 0 2 ( − ) = = R v bt bR a at an 2 2 2 2 0 ( − ) + ( ) = + = b R v bt bR a = − + = 2 2 0 ( ) ( ) t = v0 / b
(2)令a=b,即 (3)当a=b时，t=6,由此可求得质点历经的弧长为 s=v1-b122=v2b 它与圆周长之比即为圈数： n=2R4肠 1.2.2抛体运动方程的矢量形式 这是运动学第二类问题的一个例子，中学中的匀加速直线运动是它的特例。 己知条件：a=恒矢量(invariable Vector)0时，v=,r=r: 1.速度方程 由a=d北，dp=ad解得：v=+. 2.运动学方程（位矢随时间的变化） 由v=此，d山==d+a,d=d+ad可得：r0)=5+v+ai dt 3.分量表示和运动叠加原理 (I)直角坐标系中的表示=Va+a,1,v,=o,+a,1,y:=+a1, 0=w+o1+0,0=%+o1+与0,0=w+e1+a,户 (2)运动叠加原理（运动独立性原理） 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运 动叠加原理，或运动的独立性原理。例如斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动 和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为90°时，称为竖直上抛运动。二、 斜抛运动 a.=0,a,=-8,a.=0 初始条件，1~0时，质点在原点，速度为。，它的方向与x轴夹角为日，即： 久g路 x=Vot cos0 y=w1s0-8
7 7 （2）令 a = b ，即 （3）当 a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经的弧长为 它与圆周长之比即为圈数： 1.2．2 抛体运动方程的矢量形式 这是运动学第二类问题的一个例子，中学中的匀加速直线运动是它的特例。 已知条件：a＝恒矢量（invariable Vector）t=0 时， 0 v = v , 0 r = r . 1．速度方程 由 dt dv a = ， = t t 0 d d 0 v a v v 解得： v = v + at 0 . 2．运动学方程（位矢随时间的变化） 由 dt dr v = ，d dt dt tdt r = v = v0 + a ， t t t t d d d 0 0 0 r v a r r = + 可得： 2 0 0 2 1 r(t) = r + v t + at . 3．分量表示和运动叠加原理 （1）直角坐标系中的表示 v v a t x = 0x + x ，v v a t y = 0 y + y ，v v a t z = 0z + z ， 2 0 0 2 1 x(t) x v t a t = + x + x ， 2 0 0 2 1 y(t) y v t a t = + y + y ， 2 0 0 2 1 z(t) z v t a t = + z + z . （2）运动叠加原理（运动独立性原理） 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运 动叠加原理，或运动的独立性原理。例如斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动 和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为 90°时，称为竖直上抛运动。二、 斜抛运动 1．问题实质 a 为恒矢量-g，取 x 坐标水平向右为正向，取 y 坐标垂直向上为正向，则有 ax = 0, ay = −g , az = 0 . 初始条件，t=0 时，质点在原点，速度为 0 v ，它的方向与 x 轴夹角为 ，即： = = = = 0 sin 0 cos 0 0 0 0 0 0 y v v x v v y x , , 则容易得到 = − = 2 0 0 2 1 sin cos y v t gt x v t v t 0x v t 0 y t0 v 2 2 1 at r O x y 2 2 1 t ax 2 2 1 t y a x x y y O O v 0 t 2 2 1 g t r 有地球引力时 无地球引力时 /22 s = v0 t − bt v /2b 2 = 0 Rb v R s n 2 4 2 0 = =
图19运动的叠加 图1-10运动的叠加 2轨道方程，上式酒去人即得辑地运动的载道方程为y=0一2式它 为一条抛物线。 3。射程。 1定义：从发射点到落点间水平距离.（2)公式d-2s如0cos0_如28.（3 g g 最大射程0=时山有最大值，dm= g 4.讨论： (1)空气阻力的影响(2)体会一下用微积分方法解抛体运动问题的步骤和方法，体会大 学物理与中学物理的区别。 1.2.3运动学中的两类问题 已知运动方程，求速度和加速度，微分问题： 第二类：己知速度、加速度和初始条件·运动方程，积分问题。 §1-3相对运动 一、时间与空间 在牛顿力学范围内，时间与空间的测量与参考系的选取无关，这就是时间的绝对性和空间 的绝对性。 二、相对运动 1.描述运动的相对性 在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速度和运动轨迹则与参 考系的选取有关，即运动的描述具有相对性。匀速运动的火车中的 人，垂直上抛一个小球，不同的观察者观察的结果不同。在火车」 的人认为小球作垂直上抛，而在地面上的人认为作抛物线运动。 2,速度关系 面在系中位P 时间内， 的速度相对S系运动的 时，质点运动到点Q在这段时间内，S系沿x轴相对S系的位移 为△r S系：质点从P→Q,其位移为y b= S系：质点由P→Q,其位移为△： 由位移的相对性及时间的绝对性→△M可得出速度的相对性。用时间丛除以上式有
8 8 图 1-9 运动的叠加 图 1-10 运动的叠加 2．轨道方程。上式消去 t，即得斜抛运动的轨道方程为 2 2 2 0 2 cos tan x v g y x = − . 它 为一条抛物线。 3．射程。 （1）定义：从发射点到落点间水平距离。（2）公式 sin 2 2 sin cos 2 0 2 0 0 g v g v d = = .（3） 最大射程 4 = 时， d0 有最大值， g v d 2 0 0 max = . 4. 讨论： （1）空气阻力的影响（2）体会一下用微积分方法解抛体运动问题的步骤和方法，体会大 学物理与中学物理的区别。 1.2.3 运动学中的两类问题 引言：运动学中的两类问题 第一类：已知运动方程，求速度和加速度，微分问题； 第二类：已知速度、加速度 和初始条件→运动方程，积分问题。 §1-3 相对运动 一、时间与空间 在牛顿力学范围内，时间与空间的测量与参考系的选取无关，这就是时间的绝对性和空间 的绝对性。 二、相对运动 1．描述运动的相对性 在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速度和运动轨迹则与参 考系的选取有关，即运动的描述具有相对性。匀速运动的火车中的 人，垂直上抛一个小球，不同的观察者观察的结果不同。在火车上 的人认为小球作垂直上抛，而在地面上的人认为作抛物线运动。 2．速度关系 设有两个参考系，一个为 S 系（即 Oxyz 坐标系），另一个为 S' 系 （即 Ox'y'z' 坐标系） . t=0 时，这两个参考系相重合。有一个质 点在 S 系中位于 P，而在 S'系中位于 P' 点。 在 t → 0 时间内，S' 系沿 x 轴以恒定的速度相对 S 系运动的同 时，质点运动到点 Q . 在这段时间内，S' 系沿 x 轴相对 S 系的位移 为 r . S 系：质点从 P → Q ，其位移为 r ； S'系：质点由 P'→ Q ，其位移为 r' ； 由位移的相对性及时间的绝对性 t →t' 可得出速度的相对性。用时间 t 除以上式有 D = ut D r r' P PP' OO' y y' (a) t=0 (b) t=△ t y x x' x x' P' Q y' O O' u
9 r△r' 取→0时的极限值，存_d ar 为对速度 :质点在S”系中的速度，称为相对速度 绝对速度 、绝对速度 牵选速 图15切向加速度和法向加速度 9
9 9 u r r' + = t t . 取 t → 0 时的极限值，得 u r r = + t dt d ' d d . 即 v = v'+u. v：质点在 S 系中的速度，称为绝对速度； u：S ' 系相对于 S 系的速度，称为牵连速度； v' ：质点在 S ' 系中的速度，称为相对速度。 v 绝对速度 v' 绝对速度 u 牵连速度 图 1-15 切向加速度和法向加速度