第八章电磁学概述 大量实验事实证明，物件间相互作用不是超距发生的，而是由场传递的。电磁力就是由电 大离客的路者东用新风整用布紧振过的筑用能级引轻横物体。“电 (electricity)这个词就是来源于希腊文琥珀。 我国，战国时期《韩非子》中有关“司南”的记载：《吕氏春秋》中有关“慈石召铁”的 记载东汉时期王充所著《论衡》一书记有“顿牟缀芥，磁石引针”字句 电和磁现象的系统研究 英国的威廉·吉尔伯特在1600年出版的《论磁、磁体和地球作为一个巨大的磁体》一书 中描述了对电现象所做的研究，把琥珀、金刚石、蓝宝石、硫磺、树脂等物质摩擦后会吸引轻 物体的作用称为“电性 也止是他的造”电 这个词。吉尔伯特第 明确区分了以前 常被人混在起的电和这两种吸引。他指出这两种吸引之间有深刻的差异。 开究形成静电场以及 法拉第等人发 现了关于电流的定律。1820年爽斯特发现了电流的磁效应，一两年内，毕奥、萨伐尔、安培 拉普拉斯等作了进一步定量的研究。1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场 和力线的概念，进一步揭示了电与磁的联系。在这样的基础上，麦克斯韦集前人之大成，再加 上他极富创见的关于感应电场和位移电流的假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的 电磁场理论。 电磁学内容按性质来分，主要包括“场”和“路”两部分。大学物理偏重于从“场”的观 点来进行阐述。“场”不同于实物物质，它具有空间分布，但同样具有质量、能量和动量，对 朱绿场健括静电场和磁场》的精达通常用到“通量”和·环流”两个概之及相应的通量定型 静电场，相对于观察者静止的电荷所激发的电场
第八章 电磁学概述 大量实验事实证明，物件间相互作用不是超距发生的，而是由场传递的。电磁力就是由电 磁场传递的。正是场与实物间的相互作用，才导致了实物间的相互作用。电磁学研究物质间电 磁相互作用，研究电磁场的产生、变化和运动的规律。 关于电磁现象的观察记录 公元前约 585 年希腊学者泰勒斯观察到用布摩擦过的琥珀能吸引轻微物体。“电” （electricity）这个词就是来源于希腊文琥珀。 我国，战国时期《韩非子》中有关“司南” 的记载；《吕氏春秋》中有关“慈石召铁”的 记载东汉时期王充所著《论衡》一书记有“顿牟缀芥，磁石引针”字句 电和磁现象的系统研究 英国的威廉·吉尔伯特在 1600 年出版的《论磁、磁体和地球作为一个巨大的磁体》一书 中描述了对电现象所做的研究，把琥珀、金刚石、蓝宝石、硫磺、树脂等物质摩擦后会吸引轻 小物体的作用称为“电性”，也正是他创造了“电”这个词。吉尔伯特第一次明确区分了以前 常被人混在一起的电和磁这两种吸引。他指出这两种吸引之间有深刻的差异。 电磁现象的定量研究 从 1785 年库仑定律的建立开始，其后通过泊松、高斯等人的研究形成了静电场（以及静 磁场）的（超距作用）理论。伽伐尼于 1786 年发现了电流，后经伏特、欧姆、法拉第等人发 现了关于电流的定律。1820 年奥斯特发现了电流的磁效应，一两年内，毕奥、萨伐尔、安培、 拉普拉斯等作了进一步定量的研究。1831 年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场 和力线的概念，进一步揭示了电与磁的联系。在这样的基础上，麦克斯韦集前人之大成，再加 上他极富创见的关于感应电场和位移电流的假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的 电磁场理论。 电磁学内容按性质来分，主要包括“场”和“路”两部分。大学物理偏重于从“场”的观 点来进行阐述。“场”不同于实物物质，它具有空间分布，但同样具有质量、能量和动量，对 矢量场（包括静电场和磁场）的描述通常用到“通量”和“环流”两个概念及相应的通量定理 和环路定理。 静电场，相对于观察者静止的电荷所激发的电场
第八章静电场 静电场一相亚用、导体、电介质 相互影响 生的均匀金感应电荷极化电荷 基本定理的特殊应用 电荷重新分布 影响 原有电场 静电平衡状态◆ 电场重新分布 图91介质中的静电场 二、本章重点和难点 1.重点 (1)导体的静电平衡性质： (2)空腔导体及静电屏敲： (3)电容、电容器： 2.难点 导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算： 8.1电荷电场强度 一、电荷 用它方法可物体带电。 把带电休所 的电称为电荷。 3.正电荷和负电荷 电荷有两种：正电、负电。17S0年，美国物理学家富兰克林(B.FrankLin)首先命名。 同性电荷相斥，异性电荷相吸。 带电体所带电荷的多少叫电量。单位：库仑(C)
2 第八章 静电场 图 9-1 介质中的静电场 二、本章重点和难点 1．重点 （1）导体的静电平衡性质； （2）空腔导体及静电屏蔽； （3）电容、电容器； 2．难点 导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算； 8.1 电荷 电场强度 一、电荷 1．带电 用摩擦或其它方法可使物体带电。 2．电荷的概念 把带电体所带的电称为电荷。 3．正电荷和负电荷 电荷有两种：正电、负电。1750 年，美国物理学家 富兰克林（B.FrankLin)首先命名。 同性电荷相斥，异性电荷相吸。 带电体所带电荷的多少叫电量。单位：库仑（C）
4.物质的电结构理论 质由原子组成，原子由原子核和核外电子组成，原子核又 由中 子和 子组成。中子不带电，质 王电，电子带负电。质 中子数相等， 原子呈电中性。电荷是实物粒子的一种属性， 体带电的本质是两种物体间发生了电子的转移。即一物体 失去电子带正电，另 物体得到电子带负电。 图81原子核 二、电荷的量子性 1.实验证明，在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，即 为123. 电有的这种只能取分立的？不注经量的特在电有的量子 1800年 电子所带电 的 1913年密立根设计了有名的油滴试验，直接测定了此基元电荷的量 元电荷的粒子。 许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷。微观粒子所带的基元电荷数常叫做它们各自的 电荷数，都是正整数或负整数。 近代物理从理论上预言基本粒子由若干种夸克或反夸克组成，每一个夸克或反夸克带有 ±或±的电量。至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克，仅在一些间接的 实验中得到验证。 三、电荷守恒定律 当一种电荷出现时 的代数和保持不 电荷同时 守恒定律 现代物理研究己表明，在粒子的相互作用过程中，电荷是可以产生和消失的。然而电荷守 恒并未因此而遭到破坏。 例如，电子对的“产生”Ye+e:电子对的“湮灭”e+e→2y 四、电荷的运动不变性 一个电荷的电量与它的运动状态无关，即系统所带电荷与参考系的选取无关。 五、库仑定律 1、点电荷的概念 当一个带电体本身的线度比所研究的问题中所涉及的距离小得多时，该带电体的形状与电 荷在其上的分布状况均无关紧要，该带电体就可看作为一个带电的点，叫做点电荷
3 4．物质的电结构理论 物质由原子组成，原子由原子核和核外电子组成，原子核又 由中子和质子组成。中子不带电，质子带正电，电子带负电。质 子数和中子数相等，原子呈电中性。电荷是实物粒子的一种属性， 它描述了实物粒子的电性质。 物体带电的本质是两种物体间发生了电子的转移。即一物体 失去电子带正电，另一物体得到电子带负电。 图 8-1 原子核 二、电荷的量子性 1．实验证明，在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，即 q = ne . n 为 1, 2, 3, . 2．电荷的这种只能取分立的、不连续量值的特性叫做电荷的量子性。 3．电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值为 19 1.602 10− e = C . 1890 年斯通尼引入了“电子”（electron）这一名称来表示带有负的基元电荷的粒子。 1913 年密立根设计了有名的油滴试验，直接测定了此基元电荷的量值。 许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷。微观粒子所带的基元电荷数常叫做它们各自的 电荷数，都是正整数或负整数。 近代物理从理论上预言基本粒子由若干种夸克或反夸克组成，每一个夸克或反夸克带有 e 3 1 或 e 3 2 的电量。至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克，仅在一些间接的 实验中得到验证。 三、电荷守恒定律 由摩擦生电的实验可见，当一种电荷出现时，必然有相等量值的异号电荷同时出现；一种 电荷消失时，必然有相等量值的异号电荷同时消失。因此，在孤立系统中，不管其中的电荷如 何迁移，系统的电荷的代数和保持不变——电荷守恒定律。 现代物理研究已表明，在粒子的相互作用过程中，电荷是可以产生和消失的。然而电荷守 恒并未因此而遭到破坏。 例如，电子对的“产生” + − → e + e ；电子对的“湮灭” + → + − e e 2 . 四、电荷的运动不变性 一个电荷的电量与它的运动状态无关，即系统所带电荷与参考系的选取无关。 五、库仑定律 1、点电荷的概念 当一个带电体本身的线度比所研究的问题中所涉及的距离小得多时，该带电体的形状与电 荷在其上的分布状况均无关紧要，该带电体就可看作为一个带电的点，叫做点电荷
2、库仑定律 ),表述 在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与它们电荷的乘积成正比，与它 们之间距离的二次方成反比：作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相 （2.表达式=4 _,其中6=8.85x10CNm2=885x10pm称为真空 电容 说明】(1)在库仑定律表示式中引入真空电容率和“4真”因子的作法，称为单位制的 有理化 2)从式子可见，当g1和g2同号时，F>0,即表现为排斥力：当q1和g2异号时，F<0, 即表现为吸引力。静止电荷间的电作用力，又称为库仑力。 (3)两静止点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定律。 (4)两个以上的静止的点电荷之间的作用力遵循电力的叠加原理：即两个以上的点电荷 对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。 (5)库仑定律是直接由实验总结出来的规律，它是静电场理论的基础，以它为基础将导 出其他重要的电场方程 (6)库仑定律为实验定律，r从105.10m,广大范围内正确有效，且服从力的矢量合成 法则 六电场强度 引言：场的基本概念 按字义理解，所谓“场”是指某种物理量在空间的一种分布。例如温度场，速度场而 温度和速度(x,y,:,)就称为相应的场量 标量场矢量场均匀场静场稳恒场 在物理 种特殊形态。实物和场是物质的两种存在形态 它们 ,特征 律。 现在 实物是由为 所反 种弥漫在空的特殊物。它从赛性，古 发生影响。 实物之间的各种相互作用总是通过各种场来传递的， 标量场的场量在空间各点只有大小，没有方向。为描述场的整体分布的特征，通常采用等 值面和等值线的方法。常常引入标量场的梯度。 矢量场的场量在空间不同点上既可能有不同的量值也可能有不同的方向。为了描述矢量场 的性质，总是通过它的场线、通量和环流来进行研究的。 (一)、静电场 1,超距作用和近距作用（场的观点） 璃论整体之的和作用是不可能发生的。 2.场陀观品 法拉弟
4 2、库仑定律 （1）．表述 在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与它们电荷的乘积成正比，与它 们之间距离的二次方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相 吸。 （2）．表达式 3 12 12 1 2 0 12 4 1 F r r q q = ，其中 12 1 2 12 1 0 8.85 10 C N m 8.85 10 F m − − − − − = = 称为真空 电容率。 【说明】（1）在库仑定律表示式中引入真空电容率和“4π”因子的作法，称为单位制的 有理化。 （2）从式子可见，当 q1 和 q2 同号时，F>0 ，即表现为排斥力；当 q1 和 q2 异号时，F<0 ， 即表现为吸引力。静止电荷间的电作用力，又称为库仑力。 （3）两静止点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定律。 （4）两个以上的静止的点电荷之间的作用力遵循电力的叠加原理：即两个以上的点电荷 对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。 （5）库仑定律是直接由实验总结出来的规律，它是静电场理论的基础，以它为基础将导 出其他重要的电场方程。 （6）库仑定律为实验定律，r 从 10-15 -107m，广大范围内正确有效，且服从力的矢量合成 法则。 六 电场强度 引言：场的基本概念 按字义理解，所谓“场”是指某种物理量在空间的一种分布。例如 温度场， 速度场 而 温度 和速度 v(x,y,z,t) 就称为相应的场量。 标量场 矢量场 均匀场 静场 稳恒场 在物理学中，“场”是指物质的一种特殊形态。实物和场是物质的两种存在形态，它们具 有不同的性质、特征和不同的运动规律。场的物质性表现在场是一种客观实在，不依赖人们的 意识而存在着，为人们的意识所反映，而且与实物一样，场也有质量、能量、动量和角动量。 实物是由原子分子组成的，一种实物占据的空间，不能同时被其他实物所占据，而场是一 种弥漫在空间的特殊物质，它遵从叠加性，即一种场占据的空间，能为其他场同时占有，互不 发生影响。 实物之间的各种相互作用总是通过各种场来传递的。 标量场的场量在空间各点只有大小，没有方向。为描述场的整体分布的特征，通常采用等 值面和等值线的方法。常常引入标量场的梯度。 矢量场的场量在空间不同点上既可能有不同的量值也可能有不同的方向。为了描述矢量场 的性质，总是通过它的场线、通量和环流来进行研究的。 （ 一）、静电场 1．超距作用和近距作用（场的观点） 2．场论观点（法拉第） 没有物质，物体之间的相互作用是不可能发生的。 根据场论观点：
电合电 图82特殊媒介物质一电场 图83电场力 1.静电场 相对于察者静止的电荷周围所在在 的场称为静电场（该电荷称为场源电荷）。 能量、动量等 产生它的电荷己消失。 (4)电磁场可同时在空间叠加 (5)场和实物虽然都是物质，但又有区别。是物质存在的两种不同形式 (6)近代观点：两个点电荷是通过交换场量子而相互作用的，电磁场的场量子就是光子。 2.静电场的重要表现 引入电场的任何带电体都将受到电场的作用力：当带电体在电场中移动时，电场力将对带 电体作功。 (二)、电场强度 1.如何描述电场对电荷的作用？ 引入试探电荷q：是点电荷：所带电量足够小，以致在电场中不会影响原有的电场的分 布。 舞a聚 场中不同 ,受力F的大小 方向均不同 (3)比值F/q卵与0无关，仅由电场本身的性质决定。 3.定义电场强度（简称场强）E=即电场强度定义为：电场中某点的电场强度在量值 上等于放在该点的单位正试验电荷所受的电场力，其方向与正试验电荷受力方向一致。 4,说明 (1)单位：N·C或V·m 、2)是空间坐林 数 其方向与正试验电荷所受力F的方向相同。 (3)在已知电场强度分布的电场中，电荷在场中某点处所受的力为F-gE. (三)、电场强度的计算 1.点电荷电场强度 男车仑定，有E一从上式可得结论
5 电荷 电荷 电场 相互作用 电荷 电场 电荷 激发 作用 图 8-2 特殊媒介物质—电场 图 8-3 电场力 1．静电场 相对于观察者静止的电荷周围所存在的场称为静电场（该电荷称为场源电荷）。 （1）静电场仅是电磁场的一种特殊形态。 （2）电磁场与实物物质一样具有质量、能量、动量等。 （3）电磁场一经产生就能单独存在，即使产生它的电荷已消失。 （4）电磁场可同时在空间叠加。 （5）场和实物虽然都是物质，但又有区别。是物质存在的两种不同形式。 （6）近代观点：两个点电荷是通过交换场量子而相互作用的，电磁场的场量子就是光子。 2．静电场的重要表现 引入电场的任何带电体都将受到电场的作用力；当带电体在电场中移动时，电场力将对带 电体作功。 （二）、电场强度 1．如何描述电场对电荷的作用？ 引入试探电荷 q0 ：是点电荷；所带电量足够小，以致在电场中不会影响原有的电场的分 布。 2．实验事实 （1）q0 在场中不同点，受力 F 的大小、方向均不同； （2）不同 q0 在场中确定点其受力的方向确定，大小与 q0 成正比 F q0 ； （3）比值 F / q0 与 q0 无关，仅由电场本身的性质决定。 3．定义电场强度（简称场强） q0 F E = 即电场强度定义为：电场中某点的电场强度在量值 上等于放在该点的单位正试验电荷所受的电场力，其方向与正试验电荷受力方向一致。 4．说明 （1）单位：N·C -1 或 V·m-1 . （2） 是空间坐标的一个矢量点函数，其方向与正试验电荷所受力 F 的方向相同。 （3）在已知电场强度分布的电场中，电荷 在场中某点处所受的力为 F=qE . （三）、电场强度的计算 1．点电荷电场强度 根据库仑定律，有 e F E 2 0 4 0 1 r Q q = = 从上式可得出结论： -q q0 r E P -q q0 r E P
图8-2电场强度 当Q>0时，E的方向与e的方向相同： 当Q<0时，E的方向与e,的方向相反。 在以Q为原点，为半径所作的球面上，各处E的大小相等，方向沿径矢，具有球对 称性。即真空中点电荷的电场是非均匀场，但具有对称性。 (四)。场强叠加原理 e +g、 E E (a) (c) 图83场强叠加 相应的合场强为： 即点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点 分别产生连 是场强管加原理。 任何带电体都可以看成是许多电荷元山的集合，在电场中任一场点P处，每一电荷元在 1 P点产生的场强为dE= 学整个带电体在P点的场强为E=E=店当6， 实际带申体的申荷连续分布的具体形式大致有三种 (1)体分布：d☑=dr:(2)面分布：d=S:(3)线分布：d=灿. 3.电偶极子的电场强度 的占由 ,这两个 (2)从-q指向+q的矢量m称为电偶极子 的轴。 3)电偶极矩：p-q0 90g E. 12P 2.电偶极子的电场强度E=45 (1)电偶极子轴线延长线上一点的电场强度。图84偶极子延长线上的场强 2)电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度E=5了 I P 4.计算电荷连续分布带电体的场强分布例子 【例1】试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点P处的场强，设圆环半 径为R,圆环所带电量为q,P点与环心的距离为x, 图85偶极子中垂线上的场强
6 图 8-2 电场强度 当 Q>0 时，E 的方向与 er 的方向相同； 当 Q<0 时，E 的方向与 er 的方向相反。 在以 Q 为原点，r 为半径所作的球面上，各处 E 的大小相等，方向沿径矢 r ，具有球对 称性。即真空中点电荷的电场是非均匀场，但具有对称性。 （四）．场强叠加原理 1.设场源由 n 个点电荷 q1、q2、.、qn 组成，作用在场中某点 P 处试验电荷 q0 上的力为 各点电荷所产生的力 F1、F2、.、Fn 的矢量和。 +Q1 +Q2 -Q3 r 1 F1 r 2 F2 r 3 F3 +Q1 +Q2 -Q3 e1 E1 e 2 E2 e 3 E3 E1 E2 E3 E （a） （b） （c） 图 8-3 场强叠加 相应的合场强为： 即点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点 分别产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。 2．连续分布电荷电场的场强 任何带电体都可以看成是许多电荷元 dq 的集合，在电场中任一场点 P 处，每一电荷元在 P 点产生的场强为 r r q E e 2 0 d 4 1 d = . 整个带电体在 P 点的场强为 = = V r V r q E E e 2 0 d 4 1 d . 实际带电体的电荷连续分布的具体形式大致有三种： （1）体分布： dq = dV ；（2）面分布： dq =dS ；（3）线分布： dq = dl . 3．电偶极子的电场强度 1．几个概念：（1）两个电荷相等、符号相反、相距为 r0 的点电荷+q 和-q ，若场点 P 到这两个点电荷的距离比 大得多时，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子。 （2）从-q 指向+q 的矢量 r0 称为电偶极子 的轴。 （3）电偶极矩：p=qr0 . 2．电偶极子的电场强度 3 0 2 4 1 x p E = . （1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度。 图 8-4 偶极子延长线上的场强 （2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度 3 4 0 1 y p E = − . 4．计算电荷连续分布带电体的场强分布例子 【例 1】 试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场强，设圆环半 径为 R，圆环所带电量为 q，P 点与环心的距离为 x . 图 8-5 偶极子中垂线上的场强 -q O +q A E- E+ x x r 0 /2 r 0 /2 r 0 x -q +q e- e+ y r+ r - E- E E+ B y
【解】建立如图8-6所示的坐标系，取电荷元 d由为的=d=品，在P点产生的场强大小为 d北=二当各山在P点产生的场强大小相等，方 向各异。 图86例1图 由对称性可知：E,=∫dE,=0,所以有 EfdEcoco dcos 【讨论】 (D当户>a时，E,是，即运离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点 电荷在该处产生的场。 (2)当x-0时，E0-0,即环心处场强为零。 【例2】设有一均匀带电薄圆盘，半径为R,单位面积所带电 量为σ，试计算圆盘轴线上场强的分布。 【解】建立如图87所示坐标系，在轴上任取一点P.将圆盘 分成许多半径连续变化的同心带电细圆环，求它们在P点产生的场 强的在径为、宽度为的细圆环，其电荷元为 图8-7例2图 dq=als=o2mpdp, dg在P点产生的场强的大小为 各细环在P点的场强的方向相同均沿轴线，所以合场强为 ==02-R+ 【时论】D当KR时，→0，则=为无限大均匀带电平板附近的电场 分布，为匀强电场，方向如图87所示。 如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面 密度为G时，两板内侧场强为E=E,+6,品+品号·两板外侧场强为 E=E4-Ea=0. 图8-8均匀带电大平面附近的电场强度 图89均匀带电大平面附近的电场强度分析 （2)当o>R时，0+1-袋，于是有E=-0-24· 式中g=mR为圆盘面所带总电量。上式表明在远离带电平板处的电场相当于电荷集中于盘心
7 【解】 建立如图 8-6 所示的坐标系，取电荷元 dq 为 l R q q l d 2 d d = = ，在 P 点产生的场强大小为 2 0 d 4 1 d r q E = .各 dq 在 P 点产生的场强大小相等，方 向各异。 图 8-6 例 1 图 dE = dE|| + dE⊥， 由对称性可知： = = 0 E⊥ dE⊥ ，所以有 cos 4 d cos 4 cos cos d 4 1 d d cos 2 0 0 2 0 r q r Ep = = = = = l q E| | E 2 2 3 / 2 0 4 ( ) 1 x R qx + = . 【讨论】 （1）当 x>>a 时， 2 4 0 1 x q E = ，即远离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点 电荷在该处产生的场。 （2）当 x=0 时，E0=0，即环心处场强为零。 【例 2】 设有一均匀带电薄圆盘，半径为 R，单位面积所带电 量为 ，试计算圆盘轴线上场强的分布。 【解】 建立如图 8-7 所示坐标系，在轴上任取一点 P . 将圆盘 分成许多半径连续变化的同心带电细圆环，求它们在 P 点产生的场 强的矢量和。 任取半径为 、宽度为 d 的细圆环，其电荷元为 图 8-7 例 2 图 dq =dS =2d ， dq 在 P 点产生的场强的大小为 2 2 3 / 2 0 2 2 3 / 2 0 ( ) 2 d 4 1 ( ) d 4 1 d + = + = x x x x q E . 各细环在 P 点的场强的方向相同均沿轴线，所以合场强为 [1 ] ( ) 2 2 d 4 1 d 2 2 0 0 2 2 3/ 2 0 R x x x x E E R + = − + = = . 【讨论】（1）当 x>R 时， 2 2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 1 x R x R + − − ，于是有 2 0 2 2 0 4 )] 2 [1 (1 2 x q x R E = − − = . 式中 2 q = π R 为圆盘面所带总电量。上式表明在远离带电平板处的电场相当于电荷集中于盘心 O x x r P R dE⊥ dE// dE R d P dEP x x r
的点电荷在该处产生的电场。 (3)均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆 孔的情况。 一 0 图8-10例2推广情形 8.2电场强度通量（电通量）高斯定理 82.1电场的图示法电力线 为形象地描述电场法拉第(MF )首先引入电力线这一工具。 1,定义电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定 (1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向： (2)曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的 电力线条数清足E一器。的为金直于电场方的上的面积元：d0为通过面积无西，的电力 线条数。 图8-10电力线 图811电力线图示 2.特点 》来线是始正电荷，终止于负电荷，在真空中和无电荷处不中新。 (3)任何丙 不能相线精处电场· 3.电力线图例如图811所示 8.2.2电通量 通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过这个面的电场强度通量。用。表示。 1,匀强电场中的电通量 (1)平面S与E方向垂直：g,=S. (2)平面S与E方向不垂直，夹角为0：.=ES=EScose0 即g,=ES=E 2. 的电通量 (2)任意曲面的电通量：把S分成无限多个面积元dS,通过曲面S的电通量g为 .=do.=JEascoso=JE.ds
8 的点电荷在该处产生的电场。 （3）均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆 孔的情况。 图 8-10 例 2 推广情形 8.2 电场强度通量（电通量）高斯定理 8.2.1 电场的图示法 电力线 为形象地描述电场法拉第（M. Faraday）首先引入电力线这一工具。 1．定义 电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定 （1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； （2）曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的 电力线条数满足 ⊥ = S E e d d . dS⊥ 为垂直于电场方向上的面积元； de 为通过面积元 dS⊥ 的电力 线条数。 n dS dS⊥ P E F E 图 8-10 电力线 图 8-11 电力线图示 2．特点 （1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，在真空中和无电荷处不中断。 （2）不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线都不能相交。 （4）电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。 3．电力线图例如图 8-11 所示。 8.2.2 电通量 通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过这个面的电场强度通量。用 e 表示。 1．匀强电场中的电通量 （1）平面 S 与 E 方向垂直： e = ES . （2）平面 S 与 E 方向不垂直，夹角为 ：e = ES⊥ = ES cos . 即 e = E S⊥ = E en S . 2．非匀强电场的电通量 （1）某一小面积元 dS 的电通量 de = EdS cos = E dS . （2）任意曲面的电通量：把 S 分成无限多个面积元 dS，通过曲面 S 的电通量 e 为 = d = d cos = EdS S S S e e E S
(3)闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分，所以 o.=fEdscoso=fE.ds. 图8-11电力线图示 3.注意 (1)电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。 (2)电通量正、负值的说明。由dg,=5 dScos0=EdS可知，电通量的正、负是由面元的 法线下和申场强度矢量的夹角决定 对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿 出，电通量为正：如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。 对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定。 (3)电通量的单位(SI):韦伯(Wb) 图812电通量 图83电通量的正负 8.2.3高斯定理 (一)、高斯定理 新中的高定7-185德国数学家、天文学家和物理学家。 高断(K E Gauss 我们从最简单的情况出发导出这个定理： (1)如图8-14所示，若真空中有一正点电荷4，我们以所在的点为球心，取任意长R为 半径，作一球面S包围这点电荷。则通过整个球面的电通量为 -fp=5d-fnds-4rfs-4品4-号 即0.-ES=号.由点电荷发出的通过任一闭合球面的电通量与球面的半径无关。只与它所 包围的电荷的电量有关，均为9 (2)现在设想另一任意的闭合曲面S,S与球面S包围同一个点电荷q,由于电场线的 连续性，可以得出通过闭合面S和S的电场线数目是一样的，仍有9.=E心=？， (3)将正电荷+g换成负电电荷-g,则有，=fE5=-
9 （3）闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分，所以 = d cos = E dS S S e E S . e n E S e n E S 图 8-11 电力线图示 3．注意 （1）电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。 （2）电通量正、负值的说明。由 de = EdS cos = E dS 可知，电通量的正、负是由面元的 法线正 和电场强度矢量的夹角决定。 对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿 出，电通量为正；如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。 对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定。 （3）电通量的单位（SI）：韦伯（Wb） E S dS 2 2 E E dS1 dS2 E 2 2 E dS3 dS4 图 8-12 电通量 图 8-13 电通量的正负 8.2.3 高斯定理 （一）、高斯定理 高斯（K. F. Gauss，1777－1855）德国数学家、天文学家和物理学家。 1．真空中的高斯定理 我们从最简单的情况出发导出这个定理： （1）如图 8-14 所示，若真空中有一正点电荷 q，我们以所在的点为球心，取任意长 R 为 半径，作一球面 S 包围这点电荷。则通过整个球面的电通量为 0 2 2 0 2 0 2 0 4 4 d 4 d 4 d d q R R q S R q R q S S S S e = = = = = = E S S ， 即 0 d q S e = = E S . 由点电荷发出的通过任一闭合球面的电通量与球面的半径无关。只与它所 包围的电荷的电量有关，均为 0 q . （2）现在设想另一任意的闭合曲面 S'， S' 与球面 S 包围同一个点电荷 q，由于电场线的 连续性，可以得出通过闭合面 S 和 S' 的电场线数目是一样的，仍有 0 d q S e = = E S . （3）将正电荷+q 换成负电电荷-q，则有 0 d q S e = = − E S
(4)如果闭合曲面S不包含电荷，则0.=fEd心=0. (5)含有任意电荷系时的闭合曲面的电通量 R 图8-14 图8-15 图8-16 由于任意电荷系均可看成是点电荷的集合，每一点电荷通过该曲面的电通量①，、少，、. ,而且=，=丝，少=丝，因此=立=5心=立至此我们得 到真空中的高斯定理：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以。 电荷连续分布Eds=Idr 2.高斯定理的理解 ()闭合曲面上各点的场强E是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，而非仅由闭 合面内电荷所产生。中，←∑g (2)高斯定理表明通过闭 合曲面的电通量与闭合曲面所包围的电荷之间的量值关系，而 非闭合曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间 (3)过闭合曲面的总电通量只由它所包围的电荷所决定。闭合面外的电荷对总通量无贡 献。 (4)若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场 线从面内（面外）穿出（穿入）：若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意 味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断：若闭 线正电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止手负电荷。就会有相同数目的电场一 了静电是定 电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明 伤定理 立 关系的同想律 库 区域内的电荷联系 而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静 电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理 论之一。 8.2.4高斯定理应用举例 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限 大平板型等)的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面 一高斯面。 【例2】已知半径为R,带电量为q的均匀带电球面，求空间场强分布。 【解】由对称性分析知，E的分布为球对称，即离开球心距离为r处各点的场强大小相 等，方向沿各自的矢径方向
10 （4）如果闭合曲面 S 不包含电荷，则 = d = 0 E S S e . （5）含有任意电荷系时的闭合曲面的电通量 图 8-14 图 8-15 图 8-16 由于任意电荷系均可看成是点电荷的集合，每一点电荷通过该曲面的电通量 e1 、 e2 、.、 en ，而且 0 1 1 q e = ， 0 2 2 q e = ，.， 0 n en q = ，因此 = = = = = n i i S n i e ei q 0 1 d E S .至此我们得 到真空中的高斯定理：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 0 . 电荷连续分布 = r 0 d 1 d V S E S . 2．高斯定理的理解 （1）闭合曲面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，而非仅由闭 合面内电荷所产生。 e qi内 （2）高斯定理表明通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的电荷之间的量值关系，而 非闭合曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间的关系。 （3）过闭合曲面的总电通量只由它所包围的电荷所决定。闭合面外的电荷对总通量无贡 献。 （4）若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场 线从面内（面外）穿出（穿入）；若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意 味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断；若闭 合曲面内电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场 线从正电荷发出穿出面外。 可见，高斯定理说明正电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明 了静电场是有源场，这是静电场的基本性质之一。 （5）高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规律，而是用不同形式表示的电场与源电荷 关系的同一客观规律：库仑定律把场强和电荷直接联系起来，而高斯定理将场强的通量和某一 区域内的电荷联系在一起。而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静 电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理 论之一。 8.2.4 高斯定理应用举例 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限 大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 【例 2】 已知半径为 R，带电量为 q 的均匀带电球面，求空间场强分布。 【解】 由对称性分析知，E 的分布为球对称，即离开球心距离为 r 处各点的场强大小相 等，方向沿各自的矢径方向