第2章牛顿运动定律与力学中的守恒定律 2.1牛顿运动定律 2.1.1几种常见的力 万有引力 1.万有引力 万有引力是指存在于任何两个物质质点之间的吸引力。 F=Gmme,其中G为普适常数一引力常最，而且 G-6.67-10N-mkg. 2.重力 如图21所示，考虑放在地面上的物体，选择与地心相对静 止的参照系，则有 F+N=F向心， F=F向心力)-N, F别=F向心)+P(重力 F≈P(重力) 忽略地球的自转效应时，重力就是地球对其表面上的物体产生的引力，其方向指向地心。 F=P=g,为物体在重力作用下具有的加速度，称为重力加速度。 赤道的重力加速度大还是两极的重力加速度大？为什么？ 当物体相对地球静止时，物体的重量和物体所受重力的量值相等。 弹性力 发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力 的作用，这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性 力。 常见的弹性力有 1.弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力，遵守胡克定律： 图2-2弹性力 了三-kx, x表示形变位移，k为弹簧的劲度系数。而弹簧弹性力的方向总口●=●。一下 是指向要恢复它原长的方向。 绳内部各段之间的弹性作用力，A点和B点的张口●。一 T=-TA.T8=-TB: 图23绳中张力 由牛顿第二定律： T4+T。=m, (1)当a0或者m一0时，T4=-TB=F,绳子上各点张力相同而 且拉力相等。 2)当a≠0而且m≠0（绳子质最不能忽略时）.绳子上各点的张 力不同
第 2 章 牛顿运动定律与力学中的守恒定律 2.1 牛顿运动定律 2.1.1 几种常见的力 万有引力 ⒈ 万有引力 万有引力是指存在于任何两个物质质点之间的吸引力。 r r m m F G e 2 1 2 = ，其中 G 为 普适 常数 —引 力常 量， 而且 G=6.67×10-11N·m2·kg-2 . 2．重力 如图 2-1 所示，考虑放在地面上的物体，选择与地心相对静 止的参照系，则有： 引 (向心力) F + N = Fn ， F引 = Fn (向心力) − N ， F引 = F (向心力) + P(重力) n ， F引 P(重力) 忽略地球的自转效应时，重力就是地球对其表面上的物体产生的引力，其方向指向地心。 F引 = P = mg .为物体在重力作用下具有的加速度，称为重力加速度。 【思考】 赤道的重力加速度大还是两极的重力加速度大？为什么？ 【注意】 重量与重力的区别： 当物体相对地球静止时，物体的重量和物体所受重力的量值相等。 弹性力 发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力 的作用，这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性 力。 常见的弹性力有： 1．弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力，遵守胡克定律： 图 2-2 弹性力 f = −kx， x 表示形变位移， k 为弹簧的劲度系数。而弹簧弹性力的方向总 是指向要恢复它原长的方向。 2．绳子被拉紧时所产生的张力 绳的张力—绳内部各段之间的弹性作用力，A 点和 B 点的张 力： A A T = −T' , B B T = −T' , 图 2-3 绳中张力 由牛顿第二定律： TA +T' B = ma ， （1）当 a=0 或者 m→0 时， TA = −T' B = F ，绳子上各点张力相同而 且拉力相等。 （2）当 a 0 而且 m 0 （绳子质量不能忽略时），绳子上各点的张 力不同。 O F引 P Fn N
(3)张力的大小取决于绳被拉紧的程度，它的方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。 图24支撑力 3.物放在支承面上产生的正压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）.两个 物体相互接触且相互挤压时产生的，大小取决与相互挤压的程度，方向垂直与接触面指向对 方。 摩擦力 相对滑动趋势的接触力 Fm=4Fw,4。叫做静摩擦因数，它与两接触物体的材料性质 以及接触面的情况有关，而与接触面的大小无关。 2.当外力超过最大静摩擦力时，两相互接触的物体沿接触面 发生相对滑动，两物体的接触面间会出现一种阻碍相对滑动的接触 -滑动摩擦力。 图2.5康擅力 F。=FX,4叫做滑动摩擦因数，它与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、 干湿度等有关，还与两接触物体的相对速度有关。 物理学中的四种相互作用 现代物理学按物体之间相互作用性质可将力归结为四类： 力的种类 相互作用的物体 力的品度 力程 相互作用举例 轻子等 10时 小于10m 形 核 的 电磁力 电荷 102N 无限远 和原子核结合形成 强力 核子、介子等 10'N 10-15m 质子和中子结合形成原 子核 2.1.2、牛顿第一定律（惯性定律） 1.表述 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。 数学表达式：没有外力作用时，v=恒矢量 【讨论】第一定律阐明了以下两个重要的力学基本概念： 一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性 员性是物质的固有属性，它正是物质与运动不可分离的反映，它反映了物体政变运动状态的 第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体的运动状态发生变化， 川做力。 力是使物体运动状态发生变化即使物体产生加速度的原因。但不是维持速度的原因。 (3)惯性参考系（惯性系）的概念 在这种参考系中观察，一个不受合外力作用的物体将保持静止和匀速直线运动状态不 变。 弱电统一理论“大统一理论“超统一理论” 2.13牛顿第二定律惯性质量引力质量 物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比并与物体的质
9 9 图 2-5 摩擦力 （3）张力的大小取决于绳被拉紧的程度，它的方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。 图 2-4 支撑力 3．物放在支承面上产生的正压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）．两个 物体相互接触且相互挤压时产生的，大小取决与相互挤压的程度，方向垂直与接触面指向对 方。 摩擦力 ⒈ 两相互接触的物体沿接触面有相对滑动趋势时，两物体的接触面间会出现一种阻碍 相对滑动趋势的接触力 —— 静 摩 擦 力 。 最 大静 摩 擦 力 ： F max = 0FN , 0 叫做静摩擦因数，它与两接触物体的材料性质 以及接触面的情况有关，而与接触面的大小无关。 2．当外力超过最大静摩擦力时，两相互接触的物体沿接触面 发生相对滑动，两物体的接触面间会出现一种阻碍相对滑动的接触 力——滑动摩擦力。 F = FN , 叫做滑动摩擦因数，它与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、 干湿度等有关，还与两接触物体的相对速度有关。 物理学中的四种相互作用 现代物理学按物体之间相互作用性质可将力归结为四类： 力的种类 相互作用的物体 力的强度 力程 相互作用举例 万有引力 一切质点 10-34N 无限远 恒星形成银河系 弱力 轻子等 10-34N 小于 10-34m 核 β 衰变的力 电磁力 电荷 102N 无限远 电子和原子核结合形成 原子 强力 核子、介子等 104N 10-15 m 质子和中子结合形成原 子核 2.1.2、牛顿第一定律（惯性定律） 1．表述 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。 数学表达式： 没有外力作用时，v=恒矢量 【讨论】第一定律阐明了以下两个重要的力学基本概念： （1）第一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性。 惯性是物质的固有属性，它正是物质与运动不可分离的反映，它反映了物体改变运动状态的 难易程度。 （2）第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体的运动状态发生变化， 一定要有其它物体对它作用，这种作用叫做力。 力是一个物体对另一个物体的作用； 力是使物体运动状态发生变化即使物体产生加速度的原因。但不是维持速度的原因。 （3）惯性参考系（惯性系）的概念 在这种参考系中观察，一个不受合外力作用的物体将保持静止和匀速直线运动状态不 变。 弱电统一理论“大统一理论”“超统一理论” 2.1.3 牛顿第二定律 惯性质量 引力质量 物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比并与物体的质
10 量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。表达式： F=平-d(mm) 2.用加度表示的牛第二定律=m.当宏发物体在低情况下是动时，即K心 时，上式可写成F=md业 =m0 这就是以往的第二定律表达式，但它是有局限性的，而动量表达式则具有普遍性。 3质量的物理意义 由牛顿第二定律可知，质量大的物体抵抗运动变化的性质强，也就是它的惯性大。所以 说，质量是物体惯性大小的量度。因此牛顿第二定律中的质量为惯性质量。 4.讨论 )第二定律说明力的瞬时效应。力和加速度同时产生，同时变化，同时消失，无先 后之分。 (2) 应理解为合外力，满足叠加原理。 (3)求解力学问题时，常应用分量式：F=ma,F,=ma,F=ma (4)牛顿第二定律只适用于质点，而且只适用于惯性系。 2.1.4牛顿第三定律 (又称为作用与反作用定律) 1.表述两个物体之间的作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别 作用在两个物体上。 2.表达式F=-F。 孤立地存在。 力和反作用力总是属于同种性质 ”【注意]牛顿三大定律只适用于宏观、低速领域，当物体的运动速度接近光速或研究微 观客体的运动时，需要分别应用相对论力学和量子力学规律。 2.1.5牛顿定律的应用 应用牛顿定律解题步骤： 1.认真分析题意，确定研究对象。 先要弄清楚题目要求什么，确定研究对象，分析己知条件。 天列 ”进行运动分析。 包括它的轨迹、速度和加速度。涉及到几个物体时， 的关 出研究对象所受的所有外 析图。 分采用隔离体法”对其进行正确的受力分析，画出受力分 所谓隔离体法”就是把研究对象从与之相联系的其他物体中“隔离”出来，再把作用在此 物体上的力一个不漏地画出来，并正确地标明力的方向。 4.选取合适坐标，正确列出方程。 依据题目具体条件选好坐标系，然后把上面分析出的质量、加速度和力用牛顿运动定律 联系起来列出每一隔离体的运动方程的矢量式和分量式以及其他必要的辅助性方程，所列方 程总数应与未知量的数目相匹配 解列药是所，益后代入具体数据得出结果，最后进行必要的时 常力作用下的连结体问题
10 10 量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。表达式： t m t d d( ) d dp v F = = . 2．用加速度表示的牛顿第二定律 p = mv . 当宏观物体在低速情况下运动时，即 v<<c 时，上式可写成 a v F m t = m = d d . 这就是以往的第二定律表达式，但它是有局限性的，而动量表达式则具有普遍性。 3．质量的物理意义 由牛顿第二定律可知，质量大的物体抵抗运动变化的性质强，也就是它的惯性大。所以 说，质量是物体惯性大小的量度。因此牛顿第二定律中的质量为惯性质量。 4．讨论 （1）第二定律说明力的瞬时效应。力和加速度同时产生，同时变化，同时消失，无先 后之分。 （2） 应理解为合外力，满足叠加原理。 （3）求解力学问题时，常应用分量式： Fx = max , Fy = may , F z = maz . （4）牛顿第二定律只适用于质点，而且只适用于惯性系。 2.1.4 牛顿第三定律 （又称为作用与反作用定律） 1．表述．． 两个物体之间的作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别 作用在两个物体上。 2．表达式 ．．． F = −F' . 【讨论】作用力和反作用力具有的特点 （1）作用力 F 和反作用力 − F' 总是成对出现，同时存在，同时消失，任何一方都不能 孤立地存在。（2）作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的，不能相互抵消。（3）作用 力和反作用力总是属于同种性质的力。 【注意】牛顿三大定律只适用于宏观、低速领域，当物体的运动速度接近光速或研究微 观客体的运动时，需要分别应用相对论力学和量子力学规律。 2.1.5 牛顿定律的应用 应用牛顿定律解题步骤： ⒈ 认真分析题意，确定研究对象。 先要弄清楚题目要求什么，确定研究对象，分析已知条件。 2．明确物理关系，进行运动分析。 弄清物理过程，即分析对象的运动状态，包括它的轨迹、速度和加速度。涉及到几个物体时， 还要找出它们的速度或加速度之间的关系。 3．隔离研究对象，进行受力分析。 找出研究对象所受的所有外力，采用“隔离体法”对其进行正确的受力分析，画出受力分 析图。 所谓“隔离体法”就是把研究对象从与之相联系的其他物体中“隔离”出来，再把作用在此 物体上的力一个不漏地画出来，并正确地标明力的方向。 4．选取合适坐标，正确列出方程。 依据题目具体条件选好坐标系，然后把上面分析出的质量、加速度和力用牛顿运动定律 联系起来列出每一隔离体的运动方程的矢量式和分量式以及其他必要的辅助性方程，所列方 程总数应与未知量的数目相匹配。 5．求解所列方程，讨论所得结果。 解方程时，一般先进行文字符号运算，然后代入具体数据得出结果，最后进行必要的讨 论，判断结果是否合理。 1. 常力作用下的连结体问题
例愿2】设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m1和m2的重物A和B,已知m>m:。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时，求绳中的张 力和物体A相对与电梯的加速度。 解：以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别进行受力分析 物体在竖直方向运动，建立坐标系y m.g ()电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。A的加速度为负，B 的加速度为正，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到： T-mg=-ma,T-mg=ma 上两式消去，得到：4，+m 将a代入上面任一式T,得到： 1 (2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度aa,B的对地的加速度为a+a,根据牛顿 第二定律，对A和B分别得到： T-mg =m(a-a,) T-mg=m(a+a,) 解此方程组得到 a=m-m(a+g）T=2mm(a+g） m,+m, m+m 讨论： 由2)的结果，令0。即得到的结果Q,=%二m 7=2mm m+m %*%8 (2)的结果，电梯加速下降时，<0，即得到 a, m-mi (g-d)T=2mm -(g-a m +m m,+m 例题2-2 一个质量为m、悬线长度为1的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如 图所示。求在下列情况下悬线的方向（用摆的悬线与竖直方向所成的角6表示）和线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度：作匀加速直线运动。 (2)当小车以加速度沿斜面（斜面与水平面成α角）向上作匀加速直线运动
11 11 例题 2-1 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m1 和 m2 的重物 A 和 B，已知 m1>m2 。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时，求绳中的张 力和物体 A 相对与电梯的加速度。 解：以地面为参考系，物体 A 和 B 为研究对象，分别进行受力分析 物体在竖直方向运动，建立坐标系 oy (1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。A 的加速度为负，B 的加速度为正，根据牛顿第二定律，对 A 和 B 分别得到： 上两式消去 T，得到： 将 ar代入上面任一式 T，得到： (2)电梯以加速度 a 上升时，A 对地的加速度 a-ar，B 的对地的加速度为 a+ar，根据牛顿 第二定律，对 A 和 B 分别得到： 解此方程组得到： 讨论： 由(2)的结果，令 a=0，即得到的结果 由(2)的结果，电梯加速下降时，a<0，即得到 例题 2-2 一个质量为 m、悬线长度为 l 的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如 图所示。求在下列情况下悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示)和线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度 a1 作匀加速直线运动。 (2)当小车以加速度 a2 沿斜面(斜面与水平面成 角)向上作匀加速直线运动。 ar ar m1 m2 o y 1 a m 1 2 a m 2 m1 g m2 g T T T −m1g = −m1ar T −m2g = m2ar g m m m m a 1 2 1 2 r + − = g m m m m T 1 2 2 1 2 + = ( ) T −m1g = m1 a −ar ( ) T −m2g = m2 a + ar ( ) 1 2 1 2 r a g m m m m a + + − = ( ) 2 1 2 1 2 a g m m m m T + + = g m m m m a 1 2 1 2 r + − = g m m m m T 1 2 2 1 2 + = ( ) 1 2 1 2 r g a m m m m a − + − = ( ) 2 1 2 1 2 g a m m m m T − + = m l m l a 1 m l a 2
12 解：D形小球为研疗对象当小车沿木平方作加速运动赋分析受力 方向小球加速度为 水平方向的加速度为。建立图示坐标系： 利用牛顿第二定律，列方程： x方向 Tsin 0=ma y方向：Tcos0-mg=0 解方程组，得到：了=mg+G g-9 0=ag马 (2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，分析受力： 球的加速度沿斜面向上，垂直于斜面处于平衡状态，建立图示坐标系，重力与轴的夹 角为 用牛顿第二定律，列方程 14T2 T sina+)-mgsin a=ma T cos(a+0)-mgcosa=0 求解上面方程组，得到： T:=m(gsin a+a)+g'cos'a mg =m2gasin a+a+g a+)=&snatao arc sa+a - gcosa g cosa 讨论：如果α-0，=，则实际上是小车在水平方向作匀加速直线运动：如果a-0,加 速度为零，悬线保持在竖直方向。 例题23一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，绳长0.5m,重物经推动后， 在一水平面内作匀速率圆周运动，转速=1s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和竖直方向 所成的角度。 解：绳以小球为研究对象，对其进行受力分析 小球的运动情况，竖直方向平衡，水平方向作匀速圆周运动，建立坐标系如图： 拉力的沿两轴进行分解，竖直方向的分量与重力平衡，水平方向的分力提供向心力。利 用牛顿定律，列方程： Tsin 0=mo'r=mo'lsin 0 Tcose=me 由转速可求出角速度 0=20m 求出拉力 T=mo'l =4n'n'ml 9.8 cos9=4nn7=4rX050.497 0=6013 可以看出，物体的转速愈大，日也愈大，而与重物的质量m无关。 例题24计算一小球在水中竖直沉降的速度。己知小球的质量为m,水对小球的浮力 为B,水对小球的粘性力为R=Kv,式中K是和水的粘性、小球的半径有关的 一个常量
12 12 解：(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向作匀加速运动时，分析受力： 在竖直方向小球加速度为零，水平方向的加速度为 a。建立图示坐标系： 利用牛顿第二定律，列方程： x 方向 y 方向： 解方程组，得到： (2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，分析受力： 小球的加速度沿斜面向上，垂直于斜面处于平衡状态，建立图示坐标系，重力与轴的夹 角为 。 利用牛顿第二定律，列方程： 求解上面方程组，得到： 讨论：如果 =0，a1=a2，则实际上是小车在水平方向作匀加速直线运动；如果 =0，加 速度为零，悬线保持在竖直方向。 例题 2-3 一重物 m 用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，绳长 l=0.5m，重物经推动后， 在一水平面内作匀速率圆周运动，转速 n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和竖直方向 所成的角度。 解：绳以小球为研究对象，对其进行受力分析： 小球的运动情况，竖直方向平衡，水平方向作匀速圆周运动，建立坐标系如图： 拉力的沿两轴进行分解，竖直方向的分量与重力平衡，水平方向的分力提供向心力。利 用牛顿定律，列方程： 由转速可求出角速度： 求出拉力 可以看出，物体的转速 n 愈大， 也愈大，而与重物的质量 m 无关。 例题 2-4 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为 m，水对小球的浮力 为 B，水对小球的粘性力为 R=-Kv，式中 K 是和水的粘性、小球的半径有关的一个常量 1 1 T sin = ma T1 cos −mg = 0 tg , 1 g a = g a1 = arc tg 2 2 T sin( +)−mgsin = ma T2 cos( +)−mgcos = 0 a2 y x o g m m T2 2 2 2 2 2 T = m (g sin + a ) + g cos 2 2 2 2 2 = m 2ga sin + a + g cos sin tg( ) 2 g g + a + = − + = cos sin arc tg 2 g g a T m r 2 sin = sin 2 = m l T cos = mg = 2n T m l 2 = n ml 2 2 = 4 n l g 2 2 4 cos = 0.497 4 0.5 9.8 2 = = = 60 13 g m o x y g m T T sin T cos m T 2 1 2 T1 = m g + a
13 解：以小球为研究对象，分析受力 正方向器牛餐第二定快，列出小球动方 小球的运动在竖直方向 小球的加速度 a= dv_mg-B-Ky 最大加速度为 a=mg-B m 极限速度为： 片=m8-B 运动方程变为 dv K(vr-v) 分离变量，积分得到： m .v=Yr(-e") 作出速度时间函数曲线 物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度 0.632 t=m/K, v=-1-e)=0.632 m/K 例题25有一密度为D的细，长度为1，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的 液体表面。现悬线剪断 求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性 解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图 棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。 当棒的最下端距水面距离为时x,浮力大小为 B=o'xe 此时棒受到的合外力为 mg-pxg =g(pl-p'x) 利用牛顿第二定律建立运动方程： m=g-p 要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间 ph dv=g(pl-p'x)dx 积分得到 2pgl-p'gl phy'=2pel-p'gp v= 2.3动量动量守恒定律 前面我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受 合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效
13 13 解：以小球为研究对象，分析受力： 小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程： 小球的加速度 最大加速度为 极限速度为： 运动方程变为 分离变量，积分得到： 作出速度-时间函数曲线： 物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度 例题 2-5 有一密度为 的细棒，长度为 l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的 液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。 解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图 棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。 当棒的最下端距水面距离为时 x，浮力大小为 此时棒受到的合外力为： 利用牛顿第二定律建立运动方程： 要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间 积分得到 2.3 动量 动量守恒定律 前面我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受 合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效 T 1 v = vT (1− e ) = 0.632v − mg − B − R = ma m B R g m m mg B Kv t v a − − = = d d K mg B v − T = m mg B a − = m K v v t v ( ) d d T − = t m K v v v v t d d 0 0 T = − t m K v v v = − T T ln (1 ) T t m K v v e − = − t →, T v = v t = m / K, o m/ K v T v T 0.632v t B = xg F = mg − xg = g(l − x) x l B g m x o ( ) d d g l x t v m = − t x v g l x t v m d d ( ) d d = − lv d v = g(l − x)d x 2 2 2 lv = 2gl − gl gl gl v − = 2
14 应，也就要研究运动的过程。而时得必在一定的空间和时间内讲行，因而力的积累效应分 为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量 将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。 (1)力的空间累计效应：功、能： (2)力的时间紫计效应：冲量、动量： 一、质点的动量定理 1.(力的)冲量 由牛顿第二定律F=迎_d(m) .可得牛顿第二定律的微分形式Fdt=dp=d(v). 注意到低速宏观运动的范围内，m可视为不变，合外力F一般是时间的函数，则将上 式在t到的时间内积分得心FU)d1=P2-B=mm,-m 定义力在t1到的冲量为I=广F()d,注意冲量I是矢量，其方向与动量增量的方 向在不活喜 2. 动量定里 量的 )表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动 2)讨论 (a)动量的概念在上一章已经给出。其实 卡尔(RDE )于1644年入 它纯粹是描述物体机 道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些：同样，要使质量相同的 商奔是在来合有先兴物机运动状态的变 (b)动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同 样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些， 力小时所需时间长些 ,只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。 动量定的章术 动过程中时刻政 镜皮物休的速度室定建法有镜使用程 向也可以占 (3)变质量物体的运动过程，用动量定理 技方便。 ● (4)只适用于惯性系，且与惯性系的选择 无关。 5)在国际单位制中，冲量的单位是： 4.冲力 常用 碰撞 作用时间很短的过程 过程中， 相互作用力往往很大而且随时间改变，即在极短： 时间 达到很大的量值，然后又急刷地下降为零，这种量值很大、变化很快、作用时间又很短的力 通常叫冲力。因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系又比较难确定，所以冲力的瞬时值 很难测定，但过程的始末状态的动量却较易测定，如还能测定 碰撞所经历的时间，就可以估算冲力的平均值 图32平均冲力
14 14 t t 1 t 2 F O F 图 3-2 平均冲力 应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行，因而力的积累效应分 为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量 将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。 （1）力的空间累计效应：功、能； （2）力的时间累计效应：冲量、动量； 一、质点的动量定理 1．（力的）冲量 由牛顿第二定律 t m t d d( ) d dp v F = = . 可得牛顿第二定律的微分形式 Fdt = dp = d(mv) . 注意到低速宏观运动的范围内，m 可视为不变，合外力 F 一般是时间的函数，则将上 式在 t1 到 t2 的时间内积分得 2 1 2 1 1 F( )d p p v v 2 t t t m m t = − = − . 定义力在 t1 到 t2 的冲量为 = 2 t I F 1 ( )d t t t ，注意冲量 I 是矢量，其方向与动量增量的方 向相同，并不保证与 F 同向。 2．（单个）质点的动量定理 （1）表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动 量的增量。 （2）讨论 （a）动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之前，由笛 卡尔（R. Descartes）于 1644 年引入，它纯粹是描述物体机械运动的一个物理量。由经验知 道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些；同样，要使质量相同的 两辆车停下来，速度大的就要比速度小的难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变 时，必须同时考虑质量和速度这两个因素，为此而引入了动量的概念。 （b）动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同 样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些， 力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。 （c）注意：过程量，累积量；瞬时量；状态量。 3．动量定理的意义和应用时的注意事项 （1）动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来，而忽略细节变化；即尽管外力在运 动过程中时刻改变着，物体的速度方向也可以逐点不同，但动量定理却总是遵守着。 （2）对于碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使用，可以用动量定理求解； （3）变质量物体的运动过程，用动量定理 较方便。 （4）只适用于惯性系，且与惯性系的选择 无关。 （5）在国际单位制中，冲量的单位是： 即 4．冲力 动量定理常用于碰撞过程。例子，处理方 法将在后面介绍（学功、能后）。碰撞一般泛指 物体间相互作用时间很短的过程。 图 3-1 冲量 在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，即在极短的时间内，作用力迅速 达到很大的量值，然后又急剧地下降为零，这种量值很大、变化很快、作用时间又很短的力 通常叫冲力。因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系又比较难确定，所以冲力的瞬时值 很难测定，但过程的始末状态的动量却较易测定，如还能测定 碰 撞 所 经 历 的 时 间 ， 就 可 以 估 算 冲 力 的 平 均 值 t t(s) 1 t 2 O 2 3 4 1 5 球 f(t) 台秤
F-Irar mv2-my t、-t, t、-t, 现生活中人们堂常为利用冲力而增大冲力有时又为幕鱼冲力成损害而少冲力 如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用， 冲头的动量很快地减为零 相应的冲力很大，因此锅板所受的 反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了。 当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对 手的冲力。 【思考】冲量的方向是否与作用力的方向相同？ (1)如果F是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量I方向与F方向相同，冲量I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或 系于平均冲力F下的面积。I=Fd=F(t2-1) (2)如果F是一个方向和大小都变的变力，那末冲量1的大小和方向是由这段时间内所有 微分冲量Ft的矢量总和所决定， 5.动量定理的分量式：（直角坐标系中》 I,=[F,(t)dt mva mvi,I =[F (t)dt =mvzy -mvy, I:=[F:(t)dt mvz:-mvis. 、质点系的动量定理 物体m与质元 m在t时刻的速度以及在t+d时刻合并后的共同速度如图所示 把物体与质元作为系统考虑】 初始时刻m+dmi +d 对系统利用动量定理 (m+dm+d)-mv-dmu=Fdr mdv+dmd+dn Fdr 略去二阶小量，两端除止 d（m)-dmi=f 当dm取时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射 ”dm为尾气推力 di 例1： 长为1，密度均匀的柔软链条 其单位长 将其卷成 堆放在地面上 ：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系 t时刻，系统总动量 d山 dr =v+ax
15 15 2 1 2 1 2 1 2 1 d t t m m t t t t t − − = − = v v F F . 现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力，有时又为避免冲力造成损害而减少冲力。 如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用，冲头的动量很快地减为零， 相应的冲力很大，因此钢板所受的 反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了。 当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对 手的冲力。 【思考】 冲量的方向是否与作用力的方向相同？ （1）如果 F 是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量 I 方向与 F 方向相同，冲量 I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或 系于平均冲力 F 下的面积。 d ( ) 2 1 I = F t = F t −t . （2）如果 F 是一个方向和大小都变的变力，那末冲量 I 的大小和方向是由这段时间内所有 微分冲量 Fdt 的矢量总和所决定。 5．动量定理的分量式：（直角坐标系中） x x t t I x Fx t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − ， y y t t I y Fy t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − ， z z t t I z Fz t t mv mv 2 1 2 1 = ( )d = − . 二、 质点系的动量定理 物体 m 与质元 dm 在 t 时刻的速度以及在 t+dt 时刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为： 初始时刻 末时刻 对系统利用动量定理 略去二阶小量，两端除 dt 值得注意的是，dm 可正可负，当 dm 取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射 问题， 为尾气推力 例 1：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 ，将其卷成一堆放在地面上， 如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度 a 从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高 度为 x 时，求手提力的大小。 解：以链条为系统，向上为 X 正向，地面为原点建立坐标系 t 时刻，系统总动量 v u m +dm ( d )(v d v) m + m + m dm v u t t +dt m+dm v v +d F m m m m Fdt ( + d )(v + d v) − v − d u = m m m Fdt d v + d d v + d v = v u F − = t m m t d d ( ) d d u t m d d P = xv t xv t P d d( ) d d = t v x t x v d d d d = + = v + ax 2 F g (l − x) a O x X g x N
系统动量时间的变化率为： =2r+1r=3r F-ixg+N-(l-x)g=F-ixg F-g=dP」 dr =3ar 钢2列车得上装板列牛空时质鼠为类以造来川整直流入车每形清入 质量为α。假设列车与轨道间的摩擦系数为山，列车相对于地面的运动速度v2保持不变，求机 车的牵引力。 解：车和煤为系统向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 tt+d时刻，dm=dt P(t)=(m+aa+adt.P(t+dt)=(m+aa+adt dP=P(t+dr)-P()=(V2-V )odr F+i+N+(m,+au馆=， =2-01 竖直 V> (mp+ad)g-N=-av N=av+(mo+at)g 水平F-f=a .F=av2+f =avz+L H(mo+ad)g+a(v2+L) 三、质点系的动量守恒定律 1.表达式： 当F=0,p=∑m,”=恒矢量 2.表述：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将 保持不变。 3.在直角坐标系中，其分量式为 p=∑m,a(F=0) P,=∑m,yw(F“=0) P:=∑m,ye(E“=0) 四、应用动量守恒定律的注意问题 1,在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而 不是指其中 是合外力为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点 总动量变化影响其小来这时可以认为近似满足守恒条件 因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、 摩擦力或重力)与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。 3.如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么， 系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的这对处理某些问题是很有用的， 4.动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出 6
16 16 O y m1 m2 y 图 3-5 系统动量对时间的变化率为： t 时刻，系统受合外力 根据动量定理，得到 例 2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为 m0,煤炭以速率 v1 竖直流入车厢,每秒流入 质量为 。假设列车与轨道间的摩擦系数为 ,列车相对于地面的运动速度 v2 保持不变,求机 车的牵引力。 解：车和煤为系统,向下为 Y 正向，向左为 X 正向，建立坐标系。 t→t+dt 时刻，dm = dt 竖直 水平 三、质点系的动量守恒定律 1．表达式： 当 = 0 ex F ， = = = n i mi i 1 p v 恒矢量。 2．表述：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将 保持不变。 3．在直角坐标系中，其分量式为 = = = = = = ( 0) ( 0) ( 0) ex z i iz z ex y i iy y ex x i ix x p m v F p m v F p m v F 其中 C1、C2 和 C3 均为恒量。 这个定律的重要性体现在实际应用上。 四、应用动量守恒定律的注意问题 1．在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而 不是指其中某一个物体的动量不变。 2．系统动量守恒的条件是合外力为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点 系的总动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件。如碰撞、打击、爆炸等问题， 因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、 摩擦力或重力）与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。 3．如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么， 系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。这对处理某些问题是很有用的。 4．动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出 ax ax ax t P 2 3 d d = + = F − xg + N − (l − x)g = F − xg t P F xg d d − = = 3ax F = xg + 3xa 0 2 d 1 P( ) ( )v v t = m +t + t 0 2 P( d ) ( d )v t + t = m +t + t dP P(t dt) P(t) = + − ( ) dt v2 v1 = − F f N g ( ) 0 + + + m +t d 1 d t P = v2 v1 = − 0 1 (m +t)g − N = −v N =v1 + (m0 +t)g 2 F − f =v F = v + f 2 =v2 + N ( ) ( ) 0 2 1 = m +t g + v + v v1 v2 X Y g ( ) 0 m +t F f N
动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系 虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛顿运动定律。动量的概念 不仅适用于以速度运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再 能用这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过 程，动量守恒定律成立：而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的 系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只 要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适 原理 如图所示，设炮 ,炮车和炮弹的质量分别为M和m, 在发射过程中 前系统在 重力和地面 。系统所受的 经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度u,按 速度变换定理为uv+V 它的水平分量为 u,=vcos0-V MV。根据动量守恒定理有 -MN+m(vcos8-V）=0 由此炮车的反冲流度为 V= m+cos0 例题3-9一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30ms沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向】 解物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可 认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即 a-180°-8 所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小 相等方向相反，如图所示 因为v和2相互垂直所以 .a=1350 m,=m2=m,m3=2m 所以 =+2=302+30=212m1s a=180°-0 1g0=业=10=45 ·.=1359 即和可及，都成135且三者都在同一平面内 例题3-10质量为m,和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静 止，相距为1。问他们将在何处相遇？ 解，把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如 坐标系。以两个小孩的中 为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为 m1的小孩坐标为xo,质量为m2的小孩坐标为x0,他们在任意时刻的速度分别v为v2,相应
17 17 v m M m3v3 m2v2 m1v1 动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。 虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛顿运动定律。动量的概念 不仅适用于以速度 运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再 能用这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过 程，动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的 系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只 要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适 原理之一。 例题 3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为 M 和 m， 炮弹的出口速度为 v，求炮车的反冲速度 V。炮车与地面间的摩擦力不计。 解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持 力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的 外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。 经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 u ，按 速度变换定理为 u=v+V 它的水平分量为 于是，炮弹在水平方向的动量为 m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为 -MV。根据动量守恒定理有 由此得炮车的反冲速度为 例题 3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度 30m/s 沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向） 解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可 认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即 所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小 相等方向相反，如图所示。因为 v1 和 v2 相互垂直所以 所以 即 和 及 都成 且三者都在同一平面内 例题 3-10 质量为 m1 和 m2 的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静 止，相距为 l。问他们将在何处相遇？ 解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为 x 轴为正方向。设开始时质量为 m1 的小孩坐标为 x10,质量为 m2 的小孩坐标为 x20，他们在任意时刻的速度分别 v1为 v2,相应 G = −N G = −N ux = vcos −V − MV + m(vcos −V) = 0 v cos m M m V + = = − 0 180 0 =135 m1 = m2 = m,m3 = 2m v v v 30 30 21.2m /s 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 = 1 + = + = = − 0 180 1, 45 , 0 1 2 = = = v v tg 0 = 135 0 v2 135 3 v 1 v