第四章狭义相对论基础 当物体的运动速度远小于光速时，准确地遵从牛顿力学的规律。而当物体的运动速度接 近于光速时，牛顿力学不再适用。 相对论是二十世纪初物理学的伟大成就之一，它建立了新的时空观，并在此基础上给出 了高速运动物体的力学规律。在字宙星体，基本粒子，原子能等研究领域中，都要用到相对 论力学。 本章主要内容有：力学相对性原理和伽利略变换，狭义相对论的基本原理，洛伦兹变换， 相对论时空 2从哥 论的困惑 爱因 地地心说一抛东以我为中心 879.1955)理论物理学家。他是自然科学的改革家 创立了狭义相对论和广义相对论。他用光量子理论说明了光电效应。提出固体热容量的量子 理论以及玻色一爱因斯坦的量子统计法。晚年致力于宇宙学和统一场的研究。 爱因斯坦是现代时空的创始人，提出所有的参考系平权一狭义相对论：提出惯性系，非 惯性系平权一广义相对论：被誉为二十世纪的哥白尼。 的 云动描与 有关，运动规律与参考系无关。 惯性系与非惯性系 魚A (1)牛顿运动定律成立的参考系叫做惯性系，不成立的参考系叫做非惯性 系。 (2)必须由实验和观察来判断一个参考系是否为惯性系。 4.进一步认识相对性 认识论方法论的问题，教育人们要脱离自我，客观地看问题。 相对性问题的核心是：物理规律是客观存在的，与参考系无关。即参考系平 权，没有特殊的参考系。 说：头朝上 A看B B 下， 图18- 料学的洁首必爽在响：必须用物避提律米表达，度该用万有引力定佛，邮认为：益 第一节狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式 一、狭义相对论的基本原理 1.狭义（相对论）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。即所有的惯性参考系都是等价的。这样
第四章 狭义相对论基础 当物体的运动速度远小于光速时，准确地遵从牛顿力学的规律。而当物体的运动速度接 近于光速时，牛顿力学不再适用。 相对论是二十世纪初物理学的伟大成就之一，它建立了新的时空观，并在此基础上给出 了高速运动物体的力学规律。在宇宙星体，基本粒子，原子能等研究领域中，都要用到相对 论力学。 本章主要内容有：力学相对性原理和伽利略变换，狭义相对论的基本原理，洛伦兹变换， 相对论时空观及相对论动力学基础。 1．以太－经典波动理论的困惑 2．从哥白尼到爱因斯坦（Einstein） （1）哥白尼: N. copernicus 抛弃地心说－抛弃以我为中心。 （2）爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）理论物理学家。他是自然科学的改革家， 创立了狭义相对论和广义相对论。他用光量子理论说明了光电效应。提出固体热容量的量子 理论以及玻色—爱因斯坦的量子统计法。晚年致力于宇宙学和统一场的研究。 爱因斯坦是现代时空的创始人，提出所有的参考系平权－狭义相对论；提出惯性系，非 惯 性 系 平 权 － 广 义 相 对 论 ； 被 誉 为 二 十 世 纪 的 哥 白 尼 。 图 18-1 爱因斯坦 3．已经了解的相对性 运动描述与参考系有关, 运动规律与参考系无关。 惯性系与非惯性系： （1）牛顿运动定律成立的参考系叫做惯性系，不成立的参考系叫做非惯性 系。 （2）必须由实验和观察来判断一个参考系是否为惯性系。 4．进一步认识相对性 认识论方法论的问题，教育人们要脱离自我，客观地看问题。 相对性问题的核心是：物理规律是客观存在的，与参考系无关。即参考系平 权 ，没有特殊的参考系。 如：什么是上？下？ A 说：头朝上。B 也说：头朝上。 但，A 看 B，B 大头朝下！ 图 18-2 科学的语言必须准确！必须用物理规律来表述。应该用万有引力定律：即认为下：指向 地心。 第一节 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式 一、狭义相对论的基本原理 1．狭义（相对论）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。即所有的惯性参考系都是等价的。这样
描述物理现象的物理定律对所有惯性参考系都应取相同的数学形式。不论在哪一个惯性系中 做实验，都不能确定该惯性系的绝对运动。即对运动的描述只有相对意义，绝对静止的参考 系是不存在的。这条原理是力学相对性原理的推广。 在所光速不原理 而与参 系无 运动也无 二、洛伦兹变换 】概今 能够满足狭义相对论基本原理的变换是洛伦兹变换： (1)通过这种变换，物理定律都应该保持自己的数学表达形式不变： (2)通过这种变换，真空中光的速率在一切惯性系中保持不变： (3)这种变换在适当的条件下（即在低速情况下）转化为伽利略变换。 在餐等费者测同一个质点P的位置分为三0和，： x=- x-VI -(vicF =-d x'trt v=y y=y 则有： '= 或 -(vley 3过论 从以上公式可知： 当<c时，洛伦兹变换转化为伽利略变换： (2)时间和空间的测量互不分离，称为时空坐标： (3)当v≥c时，公式无物理意义。所以两参考系的相对速度不可能等于或大于光速 任何物体的速度也不可能等于或大于真空中的光速，即真空中的光速是一切实际物体的极 限速率。 洛伦兹(H.A.Lorentz,1853-1928)荷兰物理学家。变换式原来是洛伦兹在1904年研 究电磷 论时提出来的，当时并未给予正确解释。第二年爱因斯坦从新的观点独立地导出 了这个变换式。通常以洛伦兹命名。 第二节相对论速度变换式 在静止系中的速案为岛一会马一产4会 在运动系中 利用洛仑兹变换， 2
2 描述物理现象的物理定律对所有惯性参考系都应取相同的数学形式。不论在哪一个惯性系中 做实验，都不能确定该惯性系的绝对运动。即对运动的描述只有相对意义，绝对静止的参考 系是不存在的。这条原理是力学相对性原理的推广。 2．光速不变原理 在所有惯性系中，真空中的光速具有相同的量值 C 而与参考系无关，与光源、观察者的 运动也无关。这意味着对电磁波的传播来说，真空是各向同性的。这条原理与伽利略变换（速 度变换）不相容，但与实验结果一致（能解释迈克耳孙—莫雷实验）. 二、洛伦兹变换 1．概念 能够满足狭义相对论基本原理的变换是洛伦兹变换： （1）通过这种变换，物理定律都应该保持自己的数学表达形式不变； （2）通过这种变换，真空中光的速率在一切惯性系中保持不变； （3）这种变换在适当的条件下（即在低速情况下）转化为伽利略变换。 2．洛伦兹坐标变换式 在 S 系和 S' 系的观察者测量同一个质点 P 的位置分别为 P(x, y, z, t) 和 P(x' , y' , z' , t') ， 则有： ( ) ( ) − − = = = − − = 2 2 2 1 / ' ' ' 1 / ' v c c vx t t z z y y v c x vt x 或 ( ) ( ) − + = = = − + = 2 2 2 1 / ' ' ' ' 1 / ' v c c vx t t z z y y v c x vt x 3．讨论 从以上公式可知： （1）当 v＜＜c 时，洛伦兹变换转化为伽利略变换； （2）时间和空间的测量互不分离，称为时空坐标； （3）当 v c 时，公式无物理意义。所以两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。 任何物体的速度也不可能等于或大于真空中的光速，即真空中的光速 c 是一切实际物体的极 限速率。 洛伦兹（H. A. Lorentz，1853－1928）荷兰物理学家。变换式原来是洛伦兹在 1904 年研 究电磁场理论时提出来的，当时并未给予正确解释。第二年爱因斯坦从新的观点独立地导出 了这个变换式。通常以洛伦兹命名。 第二节 相对论速度变换式 在静止系中的速度为 , , x y z dx dy dz u u u dt dt dt = = = 在运动系中 ' ' ' ' , ' , ' ' ' ' x y z dx dy dz u u u dt dt dt = = = 利用洛仑兹变换
-F-p-之 图此%密2=边 di-ds 同祥得%'= ,u'=4g 1-% 逆变换为么=4n 4=' ,4=B 1+4, 1+”, 1+之u 第三节狭义相对论的时空观 一、同时的相对性 1,概念 狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个 事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。 举例：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看， 他们不一定是同时出生的。 如图设S系为 在车厢正中放置一灯P当灯发出闪光时： 同时到达 y 反向 的观安著头 B与光同向运动，所以光先到达A再到达B,不同时 。 达。 结论：同时性与参老系有关一同时的相对性。 图184同时性的相对性 假设两个事件P1和P2,在S系和S系中测得其时空坐标为： S:(⅓，4，2,42)S:,4),'',52',2) 由洛伦兹变换得： 在S系和S系中测得的时间间隔为4，-4)和化-4)，它们之间的关系为：
3 2 2 2 1 1 ' ( ), ' ( ) 1 1 v dx dx vdt dt dt dx c = − = − − − 因此 2 2 ' ' 2 ' 1 x x x dx dx vdt u v u dt v v dt dx u c c − − = = = − − 同样得 2 2 2 2 1 1 ' , ' , 1 1 y z y z y z u u u u v v u u c c − − = = − − 逆变换为 2 2 2 2 2 ' ' 1 ' 1 , , , 1 ' 1 ' 1 ' x y z x y z x y z u v u u u u u v v v u u u c c c + − − = = = + + + 第三节 狭义相对论的时空观 一、同时的相对性 1．概念 狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个 事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。 举例：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看， 他们不一定是同时出生的。 如图设 S' 系为一列高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯 P. 当灯发出闪光时： S' 系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此 同时到达 A、B 两端； S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达 A 再到达 B，不同时 到达。 结论：同时性与参考系有关—同时的相对性。 图 18-4 同时性的相对性 假设两个事件 P1 和 P2，在 S 系和 S' 系中测得其时空坐标为： S： ( ) 1 1 1 1 x , y , z , t ， ( ) 2 2 2 2 x , y , z , t S'：( ' , ' , ' , ') 1 1 1 1 x y z t ，( ' , ' , ' , ') 2 2 2 2 x y z t 由洛伦兹变换得： 2 2 1 2 1 1 1 ' c v x c v t t − − = ， 2 2 2 2 2 2 1 ' c v x c v t t − − = 在 S 系和 S' 系中测得的时间间隔为 ( ' ') 2 1 t −t 和 ( ) 2 1 t − t ，它们之间的关系为：
-0-0 -4'= 可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。 25系中同时发生：=5，但在不同地点发生，5，则有： -(vlc 这就是同时的相对性。 (2)在S系中同时发生：5，=4，而且在相同地点发生，x,=:,则有： 4-4.么-4小-6- =0=,-x-%-=0,=x 图 即在S系中同时同地点发生的两个事件，在S系中也同时同地点发生。 (3)事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后。 假设在S系中，1时刻在x处的质点经过M时间后到达x+△x处，则由： r 得到 -之-型剑 样电是术双是佰的、同在系种不地时发的两个在5系有未相 因为牛c,u牛c,所以△r与山同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。 (5)当<c时，=,回到牛顿力学。 二、长度收缩（洛伦兹收缩） 假设一刚性棒AB静止于S系中=x,x,在S系中同时，==1测量得1=x-,由 洛伦兹坐标变换式 ”点 得-鱼-2.-无 - 1.周有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长）
4 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ' ' c v x x c v t t t t − − − − − = . 可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。 2．讨论 （1）在 S 系中同时发生： 2 1 t = t ，但在不同地点发生， 2 1 x x ，则有： ( ) 2 2 1 2 2 1 1 / ( ) ' ' v c x x c v t t − − − = . 这就是同时的相对性。 （2）在 S 系中同时发生： 2 1 t = t ，而且在相同地点发生， 2 1 x = x ，则有： 0, ' ' 1 ( ) ( ) ' ' ' 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 t t c v x x c v t t t t t = = − − − − = − = ， 0, ' ' 1 ( ) ( ) ' ' 2 1 2 2 1 1 2 2 1 x x c v x x v t t x x = = − − − − − = . 即在 S 系中同时同地点发生的两个事件，在 S' 系中也同时同地点发生。 （3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后。 假设在 S 系中，t 时刻在 x 处的质点经过 t 时间后到达 x + x 处，则由： 2 2 2 1 ' c v x c v t t − − = 得到 = − − = − − = t x u c v u c v t c v x c v t t 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ' 因为 v≯c，u≯c，所以 t' 与 t 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。 （4）上述情况是相对的。同理在 S' 系中不同地点同时发生的两个事件，在 S 系看来同 样也是不同时的。 （5）当 v<<c 时， t' t ，回到牛顿力学。 二、长度收缩（洛伦兹收缩） 假设一刚性棒 AB 静止于 S' 系中 ' ' ' 2 1 l = x −x ，在 S 系中同时 t = t = t 1 2 测量得 2 1 l = x − x . 由 洛伦兹坐标变换式 2 1 1 1 1 ' − − = c v x vt x ， 2 2 2 2 1 ' − − = c v x vt x . 得 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ' ' − − = − − − − − = c v x x c v x x v t t x x . 即 2 ' 1 = − c v l l . 1．固有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长）
用6表示。即1-6-日 2.洛伦兹收缩（长度缩短） 观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的、-©于倍，即物体沿运 动方向缩短了，这就是洛伦滋收缩（长度缩短） 过论 (1)长度缩短效应具有相对性。 若在S系中有一静止物体，那么在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向 缩短，同理有=1-1c.即看人家的尺短 2) C的，有 三、时间膨胀（时间延缓） 由洛伦滋变换得5-4-+之化 事件P1、P2在S系中的时间间隔为M=:-4,事件P1、P在S系中的时间间隔为△=，-4 A 如果x'=x',则有：M=2-1= 在祖的发生的两件之的时间间用表示 下间 山>，称为时间膨胀。 3讨论 效件的时向为（为时，则同理有 若在S系中同 △= -e1c 就好象时钟变慢了，即看人家的钟慢。 23 实”子等基本粒子的度安当它打相对实验室静止和高运动 时，其寿命 惯性系中观察 有两个事件同时发 件 22.0×0m 由S系测 【解】由意知，在系中，=，即=-=0,1-10x0 看来，时间间隔为△=4，-'，空间间隔为1x-g上20×10m.由洛伦兹坐标变换式得
5 用 l0 表示。即 2 0 1 = − c v l l . 2．洛伦兹收缩（长度缩短） 观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的 ( ) 2 1− v / c 倍，即物体沿运 动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）. 讨论： （1）长度缩短效应具有相对性。 若在 S 系中有一静止物体，那么在 S' 系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向 缩短，同理有 ( ) 2 l' = l 1− v / c . 即看人家的尺短。 （2）当 v<<c 时，有 l l' . 三、时间膨胀（时间延缓） 由洛伦兹变换得 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ' ') ( ' ') − − + − − = c v x x c v t t t t . 事件 P1、P2 在 S 系中的时间间隔为 2 1 t = t − t ，事件 P1、P2 在 S' 系中的时间间隔为 ' ' ' 2 1 t = t −t . 如果 ' ' 2 1 x = x ，则有： 2 2 2 1 2 1 1 ' 1 ' ' − = − − = − = c v t c v t t t t t . 1．固有时间（原时）的概念 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔。用 0 表示。 2 0 1 − = c v t 2．时间膨胀 在 S 系看来： 0 t ，称为时间膨胀。 3．讨论 （1）时间膨胀效应具有相对性。 若在 S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为 t （称为原时），则同理有 ( ) 2 1 / ' v c t t − = . 就好象时钟变慢了，即看人家的钟慢。 （2）当 v<<c 时，有 t t' . （3）实验已证实μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动 时，其寿命完全不同。 【例 1】 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生，在 xx' 轴上相距 3 1.010 m 处，从另一 惯性系 S' 中观察到这两个事件相距 3 2.010 m. 问由 S' 系测得此两事件的时间间隔为多少？ 【解】 由题意知，在 S 系中， 2 1 t = t ，即 t = t 2 − t 1 = 0， 3 | x2 − x1 |= 1.0 10 m. 而在 S' 系 看来，时间间隔为 ' ' ' 2 1 t = t −t ，空间间隔为 3 | x2 '−x1 '|= 2.010 m. 由洛伦兹坐标变换式得
小-地-2。声- (1) - - =4-4%-02)二6-) (2) -图 由(1)式得 ”- 代入(2)式得 -2x10=5x0-5710. 【例2】半人马星座星是太阳系最近的恒星，它距地球为43×10“m.设有一字宙飞 船自地球往返于人马星座Q星之间。若字宙飞船的速度为0.999c,按地球上的时钟计算， 船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 【解】以地球上的时钟计算 2×4.3×1016 M-009×3i0-287x0=如 若以飞船上的时钟计算：（限时.因为-以-心 所以得y'=y-c1C}=287×10×-0.999=1.28×107S)=0.4a. 【例3】假设火箭上有一天线，长=1m,以45角伸出火箭体 外，火箭沿水平方向以“一5速度运行，问地面上的观察者剥得这天 线的长度和天线与火箭体的交角各多少？ 【解】在系种：co5=号(msng=号回) 在s系：5==94-=图-号阁号a国✉ 所以1=原+=54+57=而14=0m.0=r2=cm2=84g=6w。 这片 其时间间隔为40 【】由时间张一·所以 -总-c.a. 6
6 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ' ' − − = − − − − − = c v x x c v x x v t t x x ， （1） ( ' ') 1 ( ) 1 ( ) ( ) ' ' ' 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x c v c v x x c v c v x x c v t t t t t = − − − = − − − − = − = ， （2） 由（1）式得 c c x x x x v 2 3 4 1 1 ( ' ') ( ) 1 1/ 2 1/ 2 2 2 1 2 2 1 = = − − − = − 代入（2）式得 6 3 3 3 5.77 10 3 10 3 10 2 10 2 3 ' − = = = c t （s）. 【例 2】 半人马星座 星是太阳系最近的恒星，它距地球为 16 4310 m. 设有一宇宙飞 船自地球往返于人马星座 星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999c，按地球上的时钟计算，飞 船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 【解】 以地球上的时钟计算 a v s t 2.87 10 9 0.999 3 10 2 4.3 10 8 8 16 = = = = 若以飞船上的时钟计算：（原时），因为 ( ) 2 1 / ' v c t t − = 所以得 ( ) 2 8 2 t' = t 1− v / c = 287 10 1− 0.999 =1.28 10 (s) 0.4a 7 = . 【例 3】 假设火箭上有一天线，长 l' = 1 m，以 45 角伸出火箭体 外，火箭沿水平方向以 u c 2 3 = 速度运行，问地面上的观察者测得这天 线的长度和天线与火箭体的交角各多少？ 【解】 在 S' 系中： 2 2 ' = 'cos45 = l l x (m), 2 2 ' = 'sin 45 = l l y (m) 在 S 系中： 2 2 I y = l y ' = (m), 4 2 2 3 1 2 2 ' 1 2 2 = = − = − c u l l x x (m). 图 18-5 所以 ( 2 / 4) ( 2 / 2) 10 / 4 0.791 2 2 2 2 l = l x + l y = + = = (m), arctan arctan2 63.43 63 26' = = = = x y l l . 这就是洛伦兹收缩。 【例 4】 在惯性系 S 中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为 4.0s . 从另一 惯性系观察到这两个事件发生的时间间隔为 6.0s . 问从系测量到这两个事件的空间间隔是多 少？（设系以恒定速率相对 S 系沿轴运动） 【解】 由时间膨胀 ( ) 2 1 / ' v c t t − = ，所以 c c t t v 3 5 9 5 6 4 1 ' 1 1/ 2 2 1/ 2 2 = = = − = − ， ( ) ( ) ' 1 / 1 / ' 2 2 v t v c v t v c x v t x = − − = − − − =
1Arw=5cx6=2w5x3x10=134x10°(m). 第4节狭义相对论动力学基础 一、狭义相对论力学的基本方程 1.相对论中的动量 在相对论中，动量的定义不变，p=m:动量守恒定律仍然成立。 但为保证动量守恒规律在洛伦兹变换下形式保持不变，动量的表达式必须： p=m万-1G 。 2.相对论质量 由动量定义比较可知，物体的质量将和自己的速率有关。而且 m= -(vlc 由相对论动量=m风小-，可有相对论动力学 基本方程： 密 (1)当心<c时，F=似以m名=m0,相对论动力学方程回到牛顿运动定律。 Q)F=小上告密，因此外力不仅改变造度还政变物体的质量。 (3)当→时，出0，物体速度不再改变，因此光速为物体的 极限速度。 (④)由m=-二可知当→e时，必须风=0，否则表达式 无物理意义。因此光子静止质量为0. 图18-7 二、质量和能量的关系 假设在某一惯性参考系中质点的静止质量m,在外力作用下发生了位移山，则其动能 增量 dE,=F.dr=F.wdr. 因为F=dm,所以d=dm小v=(dmpv+mdw 又因为rc=)=a=后、加=儿氏-]代入上 式：d5=cdm
7 8 9 6 2 5 3 10 1.34 10 3 5 | x'|= vt' = c = = （m）. 第 4 节 狭义相对论动力学基础 一、狭义相对论力学的基本方程 1．相对论中的动量 在相对论中，动量的定义不变， p = mv ；动量守恒定律仍然成立。 但为保证动量守恒规律在洛伦兹变换下形式保持不变，动量的表达式必须： 2 0 1 (v / c) m m − = = v p v . 2．相对论质量 由动量定义比较可知，物体的质量将和自己的速率有关。而且 2 1 (v / c) m m − = . 由相对论动量： 2 2 0 1 c v p = mv = m v − ，可得相对论动力学 基本方程： = = − 2 2 0 1 d d d d c v m t t v p F . （1）当 v<<c 时， ( ) a v F v0 0 0 d d d d m t m m t = = = ，相对论动力学方程回到牛顿运动定律。 （2） ( ) v v F v t m t m m t d d d d d d = 0 = + ，因此外力不仅改变速度还改变物体的质量。 （3）当 v → c 时， 0 d d → t v ，物体速度不再改变，因此光速为物体的 极限速度。 （4）由 2 2 0 1 c v m = m − 可知当 v → c 时，必须 m0 = 0 ，否则表达式 无物理意义。因此光子静止质量为 0. 图 18-7 二、质量和能量的关系 1．相对论动能公式 （1）推导 假设在某一惯性参考系中质点的静止质量 m0，在外力作用下发生了位移 dr ，则其动能 增量为 E t d k = F dr = F vd . 因为 Fdt = d(mv) ，所以 dE = d(mv) v = (dm)v v + m(dv) v k . 又因为 d(v ) vdv 2 1 d( ) 2 1 (d ) 2 v v = v v = = 、 2 2 0 1 c v m = m − 、 = − 3 / 2 2 2 2 d 0 d 1 c v m m v v c 代入上 式得： dEk c dm 2 =
ds,=r咖+mt=re0-r产7e20-r1可-r1可 mvdy movdy 2aa小2a-a movdy mvdy lec'dm. 因为v=0时，m=m,E=0,所以 dE =c'dm. 即：E,=m -m,2,这就是相对论动能公式。 元1是得1步（使克劳林展) 1 这正是牛倾力学的结论。 总能和质能关系 c,可得：物体的静能E。 =m,2:物体的总能量E=mc=mc+E,这 就是相对论质能关系。因为很大，因此即使m很小，静止能量仍然很大，物质内部蕴藏若 大量的能量。 三、动量和能量的关系 由E=mc2= r7e得kefc 记，化简得c=ac+me,将 P=mm,E。=m,c2,E=2,代入有 E2=E6+pc2. 这就是相对论能量和动量关系。 【例4】静止的元介子衰变为μ轻子和中微子，三者的静止质量分别为m.,m,和 0,求和中微子的动能。 【解】衰变公式（方程）为：（价子）→μ+仲微子)，而且介子在衰变过程中动量和 能量均守恒： (1)动量守恒 因为m,=0,所以中微子不能静止而必须具有动量P,: 衰变前总动量为0，因此衰变后P-,=0即：P,=, E2=E+p'c=mc*+p'c, 可得cp=-mc,c2p=E-mc=E-0=E，由上述两式可得：E-mc=, 根据后=m-me2得：瓦-回+上，E心上 2。 2m
8 ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 1 / d (1 / ) 1 / d d d d v c m v v c v c v c m v v E v m mv v v k − + − − = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 1 / 1 1 / d 1 1 / 1 / d v c v c m v v c v c v v c m v v − − = + − − = ( ) c m v c m v v d 1 / d 2 3/ 2 2 2 0 = − = . 因为 v=0 时，m=m0，Ek=0，所以 = m m Ek c m 0 k d d 2 E 0 . 即： 2 0 2 E mc m c k = − ，这就是相对论动能公式。 （2）讨论 当 v<<c 时有 2 2 4 2 2 2 2 v 2 1 1 8 3 2 1 1 1 / 1 c c v c v v c + + = + + − （麦克劳林展开） 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 1 2 1 1 1 / m c m v c v m c m c v c m c Ek − = − + − = , 这正是牛顿力学的结论。 2. 静能、总能和质能关系 由 2 0 2 E mc m c k = − ，可得：物体的静能 2 0 0 E = m c ；物体的总能量 Ek E = mc = m c + 2 0 2 ，这 就是相对论质能关系。因为 c 很大，因此即使 m0 很小，静止能量仍然很大，物质内部蕴藏着 大量的能量。 三、动量和能量的关系 由 2 2 2 2 0 1 v / c m c E mc − = = 得 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 1 v / c m c mc − = ，化简得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 2 mc = m c + m v c ，将 p = mv , 2 0 0 E = m c , 2 E = mc ， 代入有 2 2 2 0 2 E = E + p c . 这就是相对论能量和动量关系。 【例 4】 静止的 + 介子衰变为 + 轻子和中微子 v ，三者的静止质量分别为 m ,m 和 0，求 + 和中微子的动能。 【解】 衰变公式（方程）为： (介子) → + v(中微子) + + ,而且介子在衰变过程中动量和 能量均守恒： （1）动量守恒 因为 mv = 0 ，所以中微子不能静止而必须具有动量 pv ； 衰变前总动量为 0，因此衰变后 p − pv = 0 即： p = pv . （2）能量守恒 衰变前总能量 2 m c ，衰变后 E + Ev ，因此有 2 E E m c + v = . 由相对论能量和动量关系 2 4 2 2 0 2 2 2 0 2 E = E + p c = m c + p c ， 可得 2 2 2 2 4 c p E m c = − ， 2 2 2 2 4 2 2 v v v Ev 0 Ev c p = E − m c = − = ，由上述两式可得： 2 2 4 2 Ev E − m c = ， 根据 2 0 2 E mc m c k = − 得： ( ) + = m m m c E 2 2 2 2 ， ( ) − = m m m c Ev 2 2 2 2
9 ( ) − = − = m m m c E E m c k 2 2 2 2 2 , ， ( ) − = − = m m m c Ek v Ev 2 0 2 2 2 2 ,