《大学物理》课程教学资源（教案讲义）ch13 早期量子论和量子力学基础.doc_大学文库

（2）平衡热辐射：辐射与吸收平衡，温度恒定。 2．描述热辐射的物理量（1）单色辐出度：在单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出的单位波长间隔内的电磁能量。记为：    d d ( , ) ( , ) m T M T = 或    d d ( , ) ( ) m T M T = . （2）总辐射能：在单位时间内从物体表面单位面积上辐射的各种波长的能量。记为 M(T) ，且有： ( ) (, )d 0  M T = M T （3）单色吸收比和单色反射比单色吸收比： a (T)  单色反射比： r (T)  对不透明物体： a (T) + r (T) =1 3．黑体辐射（1）辐射(吸收)能力最强的物体，能全部吸收一切外来辐射。人造黑体模型：不透明材料制成的带小孔空腔，如图 19-2 所示。（2）黑体的单色辐出度（单色辐射强度） M(,T) 或 M (T)  图 19-2 黑体辐射意义：温度为 T 的黑体，在单位时间,单位面积上，单位波长间隔所辐射出的能量。定量说明了辐射强度的大小。二、斯特藩—玻尔兹曼定律、维恩位移定律以下介绍绝对黑体辐射的规律 1．测定黑体 M(,T) 的实验（1）原理图（2）结果黑体辐射实验的 M(,T) − 曲线：如图 19-3 所示。 2．基尔霍夫定律在热平衡下，任何物体的单色辐出度与吸收比之比，是个普适函数。即： ( , ) ( , ) ( , ) M0 T T M T     = ，这一普适函数就是绝对黑体的单色辐出度 ( , ) M0  T ，而且绝对黑体的辐射出射度为： ( ) (, )d 0 0  0  M T = M T . A S L1 B1 L2 B2 P C ( , ) M 0  T  1 700K 1 500K 1 300K 图 19-3 测定黑体单色辐射强度实验原理图图 19-4 曲线图 3．斯特藩—玻尔兹曼定律 4 0 M (T) = T ， 8 5.67 10−  =  W/(m2K4)； 1879 年，斯特藩从实验中发现此规律，五年后玻尔兹曼从理论上得到。 4．维恩位移定律如图 19-3 所示，曲线峰值对应的波长 m 与温度 T 的关系： T  ， m  ，1893 年，维恩得到他们之间关系为： mT = b ， 3 2.898 10− b =  m·K，表明：

()温度T,M优刀-入曲线峰值对应的波长入向短波方向移动：温度T,Ma,刀-入曲线峰值对应的波长向高频方向移动。【例1】(1)问温度为室温(20℃)的物体，它的辐射能中，辐射强度的峰值所对应的波长是多少？(2)若使一物体单色辐射强度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内，其温度应为多少？(3)上两题中，总辐射能的比率为多少？【解】(1)已知在室温时，物体的绝对温度为T=293K,故由维恩位移定律，得 =-289810=99x10m=989nm 295 显然，波长A=9.89m的光是属红外谱线范围。 (2)取红光谱线的波长为6.50×10'm=65.0m,由维恩位移定律，得 260 (3)由斯特藩一玻耳兹曼定律，可得精公式经典物理的困难瑞利金斯用能量均分定理以及电磁理论得出： M(.)=2sc 它只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。M(刀 2.维思公式 ,瑞利琼所维恩根据经典热力学得出：维恩理论值 G=370×10-“焦耳·米2/秒，9=143×10米·开，作 7-1646R 出理论曲线与实验曲线比较 (1) 在低频（长波）部分符合很好：图19.5 (2)在高频（紫外）部分出现巨大分歧。实验指出： v↑.M(v)→0 ,理论得到： v个，Mm)→0（紫外灾难）四、音明量子假设果体辐射公式 (Max Karl E 1858 -1947 德国物理家，量子物理学的开理学史一次巨普朗物理学立变革。从此结了经典 1900年，普朗克抛弃了能量是连续的传统经典物理观念，导出了与实验完全符合的黑体辐射经验公式。在理论上导出这个公式，必须假设物质辐射的能量是不连续的，只能是某一个最小能量的整数倍。普朗克把这最小能量单位称为“能量子”。普朗克的假设解决了黑体辐射的理论困难。图19-6 晋朗克还进一步提出了能量子与频率成正比的观点，并引入了普朗克常数。量子理论现已成为现代理论和实验的不可缺少的基本理论。普朗克由于创立了量子理论而获得了诺贝尔奖金 1,能量量子化假设

（1）温度 T， M(,T) − 曲线峰值对应的波长 m 向短波方向移动；温度 T， M(,T) − 曲线峰值对应的波长 m 向高频方向移动。【例 1】（1）问温度为室温（20℃）的物体，它的辐射能中，辐射强度的峰值所对应的波长是多少？（2）若使一物体单色辐射强度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内，其温度应为多少？（3）上两题中，总辐射能的比率为多少？【解】（1）已知在室温时，物体的绝对温度为 T=293K，故由维恩位移定律，得 9.89 10 m 9.89 m 293 2.898 10 6 8 =  =   = = − − T b m . 显然，波长  = 9.89m 的光是属红外谱线范围。（2）取红光谱线的波长为 6.50 10 m 65.0 m 7  =  − ，由维恩位移定律，得 4.46 10 K 6.50 10 2.898 10 3 7 8 =    = = − − m b T  . （3）由斯特藩—玻耳兹曼定律，可得 4 4 3 4 1 2 1 2 5.37 10 293 4.46 10 =           =         = T T E E . 三、瑞利—金斯公式经典物理的困难 1．瑞利—金斯公式瑞利和金斯用能量均分定理以及电磁理论得出： 0 4 2 ( , )   ckT M T  = . 它只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。 2．维恩公式维恩根据经典热力学得出： T c c M T    2 ( , ) e 5 1 0 − = ， 16 1 3.70 10− c =  焦耳·米 2/秒， 2 2 1.43 10− c =  米·开，作出理论曲线与实验曲线比较：（ 1 ）在低频 ( 长波 ) 部分符合很好；图 19-5 （2）在高频(紫外)部分出现巨大分歧。实验指出： v ,M (v) → 0 ；理论得到： v ,M (v) →  （紫外灾难）. 四、普朗克量子假设黑体辐射公式普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858―1947），德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人，1918 年诺贝尔物理学奖金的获得者。普朗克的伟大成就，就是创立了量子理论，这是物理学史上的一次巨大变革。从此结束了经典物理学一统天下的局面。 1900 年，普朗克抛弃了能量是连续的传统经典物理观念，导出了与实验完全符合的黑体辐射经验公式。在理论上导出这个公式，必须假设物质辐射的能量是不连续的，只能是某一个最小能量的整数倍。普朗克把这一最小能量单位称为“能量子”。普朗克的假设解决了黑体辐射的理论困难。普朗克还进一步提出了能量子与频率成正比的观点，并引入了普朗克常数 h。量子理论现已成为现代理论和实验的不可缺少的基本理论。普朗克由于创立了量子理论而获得了诺贝尔奖金。 1．能量量子化假设 ( , ) M 0  T  实验值瑞利-琼斯维恩理论值 T=1 646K 图 19-6

黑体空腔壁上带电谐振子(电子)只吸收或辐射 h 的整数倍的能量，即能量的变化不连续。频率为  的谐振子，其能量只能取  = nh 等一系列不连续的值。其中： 34 6.626 10− h =  焦耳，为普朗克常数。 2．普朗克辐射公式普朗克从理论上推导出：在单位时间内，从温度为 T 的黑体单位面积上，频率为  → + d 范围内所辐射的能量为：      d e 1 2 1 ( , )d 2 3 0 −  = KT h c h M T ，也可以表示为：      d e 1 2 1 ( , )d 5 3 0 −  = K T hc hc M T ，这里 k 和 c 分别是玻尔兹曼常数和光速。【例 2】设有一音叉尖端的质量为 0.050kg，将其频率调到  = 480 Hz，振幅 A=1.0mm. 求（1）尖端振动的量子数；（2）当量子数由 n 增加到 n+1 时，振幅的变化是多少？【解】（1）由机械振动的音叉尖端的振动能量为 2 2 2 2 (2 ) 2 1 2 1 E = m A = m  A ，（1）把已知数值代入，得 0.050 (2 480) (1.0 10 ) 0.227 2 1 2 2 2 =      = − E J. 由可得 E = nh ，音叉尖端的能量为 E 时的量子数为 20 36 7.13 10 6.63 10 480 0.227 =    = = − h E n . 可见音叉这个宏观物体振动的量子数是非常之大的，而基元能量 h 又是如此之小，即 34 81 6.63 10 480 3.18 10 − − h =   =  J. （2）上式（1），有 2 2 2 2 2 4 2 2  m E m E A  =  = ，又由 E = nh ，上式为 m nh A 2 2 2 = ，对上式取微分，有 n m h A A d 2 2 d 2   = ，上式两边同除以 2 A ，则得 2 A n h A = ，把已知数据及 n =1 ，代入上式，有 24 3 20 7.10 10 2 1.0 10 7.13 10 1 − − =    A = m，可见音叉尖端振幅的变化是很小的，观察不到，这也表明，在宏观范围内，能量量子化的效应是不明显的，即宏观物体的能量可视为是连续的。上述理论公式与实验曲线符合的很好。普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等等。它成为现代物理理论的重要组成部分。 3．黑体辐射定律的应用。光测高温、光测高温计实验

第二节光电效应光的波粒二象性引言：历史背景（1887 年赫兹发现；905 年，爱恩斯坦提出光子论解释；1916 年，密立根实验验证）。一、光电效应及其实验规律 1．实验装置和相关概念（1）K—阴极，逸出电子；A—阳极，电子从 K→A 在电路中形成光电流。（2）光电效应：金属及其化合物在光照射下发射电子，这个现象称为光电效应（photoelectric effect）；从金属表面逸出的电子称为光电子（photoelectron），光电子运动形成光电流（photocurrent）. （3）遏止电压：电子能从 K→A，说明电子具有动能；加反向电压，当 U=U0 时，检流计 G 中的电流Ｉ光=0，此时 Ekmax=eU0 . （4）饱和光电流：加正向电压,使逸出金属表面的电子全部到达阳极 A，此时光电流为最大值。 2．实验规律（1）对于某种材料制成的金属 K 极，存在一个截止频率  0 ，当外光频率   0 时，无论光强多大、照射时间多长，都不会产生光电效应。如果光源频率   0 ，则出现光电子，并且随着频率增高，光电子逸出的初动能也相应地线性增大。 A K G V R v  im1 im2 i I 2 I 1 -US O U 图 19-7 遏止电势差与频率的关系图 19-8 遏止电势差与频率的关系图 19-9 伏安特性曲线（2）遏止电压（对应光电子的初动能）随入射光频率线性增加,与光的强度无关。表 19-1 各种金属截止频率金属铯钠锌铱铂截止频率  0 （Hz） 4.545 × 1015 4.39 × 1015 8.065 × 1015 1.153 × 1015 1.929 × 1015 （3）只要入射光频率高于截止频率，光电子是即时发射的，驰豫时间  ~ 10-9s，当一定频率的光照射到 K 表面时，真空管内几乎立刻出现光电子，很快形成光电流。（4）当光源频率和外加电压固定时，饱和光电流强度 im 与入射光强度 I 成正比。 3．经典理论的困难（1）认为不存在截止频率  0 ，只要光强足够大，即能发生光电效应。但实验证明：只要   0 ，不管光强多大，都不会有光电子逸出。（2）认为电子吸收能量需要一定的时间积累，但实验发现光电子逸出具有瞬时性。（3）光电子初动能应该与入射光强度成正比，但实验结果是光电子逸出的初动能和照射光频率成正比。二、光子、爱因斯坦方程 1．爱因斯坦光子理论爱因斯坦根据普朗克能量子假说而进一步提出的光量子（light quantum），即光子

(photon)概念，对光电效应的研究做出了决定性的贡献。爱因斯坦光子假说的核心思想是：表面上看起来连续的光波是量子化的。单色光由大量不造线的光子组成：若单色光颜幸为，那么每个光子的能量为5：加，动量为P=吕由爱因斯坦光子假说发展成现代光子论(photon theory)的两个基本点是： ①光是由一质一颗的无子组度的光子流。每个光子的能量为E=加，动量为P号由N个光子组成的光子流，能量为hv (2)光与物质相互作用，即是每个光子与物质中的微观粒子相互作用。 2.爱恩斯坦方程根据能量守恒定律，约束得最不紧的电子在离开金属面时具有最大的初动能，所以对于电子应有： hv=)m2+W 即为光电效应方程，W代表电子脱离金属表面所需要的能量，称为功函数(work function) 3.光电效应的解释 (1)瞬时性极内的电子发生碰撞。电于一次性地吸收个光子后，便获得 h”的能量而立刻从金属表面逸出，没有明显的时间滞后，这也正是光的“粒子性”表现。 2)饱利流与入射光强成正强增和亮黄槽金衣更的光子数增多。只要由光电效应方程=m+ 即可解释 (4)存在截止频率% hr=m2+环可得为发生光电效应，必须r-m+W之M=r ,至此，爱因斯坦不仅完美解释了光电效应，还使人们对光的本性的认识有了质的飞跃波动性兼具粒子性。三、光电效应在近代技术中的应用 1.内、外光电效应的概念 2.应用例子光电流与入射光强成正比的特性，可以制造光电转换器实现光信号空制等诸多方 otoelement) 广泛应用于光功（)）光电控制电路、光电法测转速、光电倍增管、鼠标器等等。四、光的油粒一象性 1.光子的能量、质量和动量 (1)能量s=hv:(2)质量。由相对论质能关系=hv=m，,可得光子的质量为 m=兰无：因为”P元，所以，光子的静止质量为零

（photon）概念，对光电效应的研究做出了决定性的贡献。爱因斯坦光子假说的核心思想是：表面上看起来连续的光波是量子化的。单色光由大量不连续的光子组成。若单色光频率为  ，那么每个光子的能量为 E = h , 动量为 c E p = . 由爱因斯坦光子假说发展成现代光子论（photon theory）的两个基本点是：（1）光是由一颗一颗的光子组成的光子流。每个光子的能量为 E = h ，动量为 c E p = . 由 N 个光子组成的光子流，能量为 Nh . （2）光与物质相互作用，即是每个光子与物质中的微观粒子相互作用。 2．爱恩斯坦方程根据能量守恒定律，约束得最不紧的电子在离开金属面时具有最大的初动能，所以对于电子应有： h = mv +W 2 m ax 2 1  ，即为光电效应方程，W 代表电子脱离金属表面所需要的能量，称为功函数（work function）. 3．光电效应的解释（1）瞬时性按照爱因斯坦光子理论：光照射到金属 K 极，实际上是单个光子能量为 h 的光子束入射到 K 极，光子与 K 极内的电子发生碰撞。当电子一次性地吸收了一个光子后，便获得了 h 的能量而立刻从金属表面逸出，没有明显的时间滞后，这也正是光的“粒子性”表现。（2）饱和光电流与入射光强成正比当外来光频率和电压固定时，光强增大，意味着撞击金属表面的光子数增多。只要，被撞击出来的光电子数目就按比例增大，饱和光电流也就越来越大。（3）电子的初动能和照射光频率成正比由光电效应方程 h = mv +W 2 m ax 2 1  即可解释。（4）存在截止频率  0 h = mv +W 2 m ax 2 1  可得为发生光电效应，必须 h = mv +W  M = h 2 m ax 2 1 ，至此，爱因斯坦不仅完美解释了光电效应，还使人们对光的本性的认识有了质的飞跃; 波动性兼具粒子性。三、光电效应在近代技术中的应用 1．内、外光电效应的概念 2．应用例子（1）概述利用光电效应中光电流与入射光强成正比的特性,可以制造光电转换器——实现光信号与电信号之间的相互转换。这些光电转换器如光电管（photoelement）等，广泛应用于光功率测量、光信号记录、电影、电视和自动控制等诸多方面。（2）实例光电控制电路、光电法测转速、光电倍增管、鼠标器等等。四、光的波粒二象性 1．光子的能量、质量和动量（1）能量  = h ；（2）质量。由相对论质能关系 2  = h = mc ，可得光子的质量为 c h c h m   = = 2 ；因为 2 2 0 1 v / c m m − = ，所以，光子的静止质量为零

（3）动量光子的动量为 p = mc ，  h p = ， = h . 2．光的本质和光的量子行为密立根 1916 年的实验，证实了光子论的正确性，并求得 34 6.57 10− h =  焦耳·秒。光的波动性（p）和粒子性（  ）是通过普朗克常数联系在一起的。上世纪 70 年代的单光子干涉实验，证明光本质上服从量子力学的规律，比波粒二象性进一步阐明了光的本性。【例 1】波长为 450nm 的单色光照射到纯钠的表面上，求（1）这种光的光子的能量和动量；（2）光电子逸出钠表面时的动能；（3）若光子的能量为 2.40eV，其波长为多少？【解】（1）已知光的波长与频率的关系为   c = ，所以光子的能量为 = = =   c E h h 4.42 ×10-10J. 如以电子伏为能量单位，则 E=2.76eV . 光子的动量为 = = = c h E p  1.47×10-27kg·m·s-1 . （2）由爱因斯坦方程，得 Ek = E −W = 2.76 − 2.28 = 0.48 eV . （3）光子的能量为 2.40eＶ时，其波长为 7 / 5.20 10−  = hc E =  m=520nm. 【例2】设有一半径为1.0×10-3m的薄圆片，它距光源为1m，此光源的功率为1W（1J·s），发射波长为 589.0nm 的单色光，试计算在单位时间内落在薄圆片上的光子数。假定光源向各个方向发射的能量是相同的。【解】从题意知，圆片的面积 S 为 6 10−  m2，由于光源发射出来的能量在各个方向是相同的，故单位时间内落在圆片上的能量为 /(4 ) 2 R = PS r ，其中 r 为光源到圆片的距离，即 r=1m；P 为光源的功率，即 P=1J·s . 于是有 7 2.5 10− R =  J·s-1，故单位时间内落在圆片上的光子数则为 11 N = R/ h = R /(hc) = 7.410 s-1 . 第三节康普顿效应一、实验装置二、实验结果 X 射线通过物质散射时，波长发生变化，散射后的波长有两个峰值，一个与原来波长相同，而另一个 ' 与散射角有关。三、对康普顿效应的解释 1．经典解释单色电磁波作用于比波长尺寸小的带电粒子上时，引起受迫振动，向各方向辐射同频率的电磁波。对于的存在经典理论不能作出合理解释！ 2．光子理论的解释（1）定性说明光子与电子的弹性碰撞，光子传递一部分能量给电子，光子的能量减少，波长变长。（2）定量计算如图图 19-12 所示，电子的相对论质量： 2 2 0 1 v / c m m − = ， 0.0709nm '= 0.0731nm '= 0.0749nm '= 0.0715nm 0° 45° 90°   反冲电子 mv 入射光子散射光子 0 0 n  h n  h

系统能量守恒： 2 2 h 0 m c h mc  + e =  + ，图 19-12 可得 2 0 2 mc h( ) m c =  − + e ，系统动量守恒： n n mv c h c h = +   0 0 ，可得 (1 cos ) 0    − = − m c c c h e ，即有： 2 2 sin 2 sin 2 2 2 0      e e m c h − = = ，可见  与散射物质无关。这里 = = 0.002 43 m c h e e nm 叫做康普顿波长。图 19-11 康普顿Ｘ射线散射实验结果 3．讨论（1）康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒两象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。（2）为什么还有原波长的峰值？光子与束缚电子碰撞，是与整个原子碰撞，失去能量较少，散射后频率几乎不变。（3）反冲电子的运动方向。 ★第四节氢原子的玻尔（Bohr）理论引言 1．研究原子结构的两种方法利用高能粒子轰击原子—轰出未知粒子来研究（高能物理）；通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光谱分析。 2．光谱 3．光谱的获得及其分类（1）摄谱仪（2）发射光谱：连续光谱：炽热固体、液体、黑体；线状光谱（原子）：彼此分立亮线，气体放电、火花电弧等。（3）吸收光谱。连续谱通过物质时，有些谱线被吸收形成的暗线。两者都能反映物质特性及其内部组成结构－特征谱线最简单的原子发射光谱是氢原子光谱。图 19-13 摄谱装置一、氢原子光谱的规律性 1．原子光谱及其规律（1）线状谱，特征谱；（2）形成线系； 2．氢原子光谱规律（1）巴尔末（Balmer）公式 1885 年，瑞士中学教师巴尔末发现氢原子光谱的可见光部分的波长可以用如下公式表示： , 3, 4, 5, 6, 2 2 2 2 = − = n n n  B ，这里 B=364.56nm . 图 19-14 氢光谱（2）波数及  ~ 其物理意义（3）里德伯（Rydberg，瑞典人）公式 I L3 S L1 L2 P

将巴尔末公式中的波长改为波数，可得： ), 3, 4, 5, 1 2 1 ( ~ 1 2 2 = = − n = n RH   ，这里 7 2 1.096 775 8 10 2 = =  B RH 米-1 称为氢原子的里德伯常数。（4）其他线系 ) 1 1 ( ~ 1 2 2 nj ni = = R −   ， nj = 1, 2, 3,  , ni = nj +1, nj + 2, ， nj = 1 ，赖曼（Lyman）线系，1916 年发现； nj = 3 ，帕邢（Packen）线系，1908 年发现； nj = 4 ，布喇开（Brackett）线系，1922 年发现； n j = 5 ，普丰德（Pfund）线系，1924 年发现。图 19-15 α粒子散射二、卢瑟福核式结构模型 1．历史背景（1）葡萄干面包模型（2）α粒子散射实验及其结果绝大多数α粒子经过金属箔后与原运动方向偏离不多，只有少数子粒子发生大角度散射。 2．原子的有核模型图 19-16 葡萄干面包式散射模型卢瑟福根据α粒子散射实验的结果，提出了原子的有核模型。在原子序数为 Z 的元素的原子内包含一个正电荷为 Ze 的原子核，原子的质量几乎全部集中于核上，核半径的数量级为 10-14 米，位于原子中央，核外有 Z 个电子，分别绕核旋转。 3．原子的有核模型与经典物理学的矛盾卢瑟福提出的有核模型有充分的实验基础。但由经典电磁理论，绕核运动的电子既然在作变速运动，必将不断地以电磁波的形式辐射能量，辐射频率等于电子绕核转动的频率。于是，整个原子系统的能量就会不断减少，频率也将逐渐改变，所发光谱应是连续的。这与原子线状光谱的实验事实不符。同时，由于电子不断辐射能量，最终会落在核上。因此，按经典理论，卢瑟福的有核模型就不可能是稳定的系统。这样看来，经典理论在处理原子内电子的运动时遇到了不可克服的困难。 +e O r r 0 Fe -e v -e 电子核图 19-17 三、玻尔氢原子理论为了克服经典理论的困难，1913 年玻尔在卢瑟福的核式结构的基础上，将普朗克的能量子概念和爱因斯坦的光子概念应用于原子系统，提出三个基本假设作为他的氢原子理论的出发点，使氢光谱的规律得到较好的解释。正电荷电子  P T F O S R

1．三个基本假设（1）定态假设电子的轨道和能量是量子化的，即它们只能取一系列不连续的值，处于这些状态的电子不辐射电磁能量称为定态。（2）轨道角动量量子化处于定态的电子，其绕核的轨道角动量 L 等于 2 h 的整数倍  = 2 h L n 称主量子数（量子化条件〕（3）量子跃迁假设当原子从较高的定态 En 跃迁到另一个较低的定态 Ek 时，才会有辐射产生，发出光子 h = En − Ek . *说明：这些假设的地位和意义。 2．氢原子的电子轨道半径和能级（1）轨道量子化由上式三个假设，根据牛顿定律和库仑定律  = 2 h mvr n ， r v m r e 2 2 2 4 =    ，得 ( 2 ) 2 1 , 1, 2, 3, 2 2 0 = =  = n r n me h rn n  ，其中 11 2 2 0 1 5.29 10− =   = me h r  m 称为玻尔半径，数量级和实验相符。结论，电子轨道是量子化的。（2）氢原子的能级假设原子核不动，则原子的能量等于电子的动能与以及它与原子核组成系的统的势能之和，即 ) , 1, 2, 3, 8 ( 1 2 4 8 1 2 1 2 0 4 2 0 2 0 2 2 = − = =  = −  = − n n E h me r n e r e E mv n n n    ，这里 2 2 0 4 1 8 h me E  = − =-13.6eV 为主量子数 n=1 时即氢原子的最低能级（称为基态能级）。n>1 的各态则称为激发态。可见氢原子的能级也是量子化的。 3．对光谱规律解释（1）里德伯常数的理论值由能级公式及玻尔的第三假设（跃迁定则）， h = En − Ek ，可得电子由高能态 En 跃迁到低能态 Ek 时，放出的光子的频率为： ) 1 1 ( 8 ( )/ 2 3 2 2 0 4 h k n me = En − Ek h = −   ，光谱线的波数为 ) 1 1 ( 8 ~ 2 3 2 2 0 4 h c k n me c = = −    ，与氢原子光谱谱线波数的经验公式（粒德伯公式）比较得： 7 2 3 0 4 H 1.097 373 1 10 8 = =  h c me R  理论值 m-1. 而实验值 R=1.096 775 8×107m-1，两者符合得非常好。这样，玻尔用半经典（电子的轨道运动）、半量子化（定态）的方法成功地解释了氢原子的光谱所呈现的规律性