《大学物理》课程教学资源（教案讲义）ch9 恒定磁场.doc_大学文库

2 东汉王充《论衡》描述：司南勺⎯最早的指南器具四百年十二世纪已有关于指南针用于航海的记载早期的磁现象包括: (1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡时总是顺着南北指向。指北的一端称为北极或 N 极，指南的一端称为南极或 S 极。同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。 (3)把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总是两极同时存在。 (4)某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁性，这种现象称为磁化安培提出分子电流假设: 磁现象的电本质—运动的电荷产生磁场二、磁感应强度电流或运动电荷之间相互作用的磁力是通过磁场而作用的。故磁力称为磁场力。 1．运动电荷在磁场中受力实验和结果（大量实验结果表明）（1）磁场力方向 F ⊥ (v,B) ，即 F 始终垂直 v 与 B 组成的平面；（2）磁场力大小 F  q, v . F 与 v 的方向有关，但有两种特殊情况： v //B 时，F=0， v ⊥ B 时， F = F⊥ 达到最大值。（3） qv F⊥ 在某点有确定值，即反映该点磁场强弱的性质。图 11-1 洛仑兹力 2．磁场中某点磁感强度 B 的定义（1）方向：+q 电荷的 F v ⊥ 的方向，或者该点处的小磁针 N 极的指向。（2） B 的大小： qv F B ⊥ = . 3．说明（1）B 是描述磁场中各点磁场的强弱和方向的物理量，是矢量点函数，即 B = B(r) . 若场中各点都相同，则称该磁场为匀强磁场。（2）单位特斯拉（T） 1T=1N·S·C -1·m-1 . 高斯（G）1G=11- -4T . （3）常见磁场的磁感应强度大小的数量级。（4）可以用电磁铁来产生磁场，在如图 11-2 所示的电磁铁两极表面之间约 4-11-cm 宽的空气隙中，可以产生 3T 的强磁场。  z x B y v +q O

3 三、磁感（应）线磁感应线（B 线）是为形象描绘磁场空间分布而人为描绘出的一系列曲线族。 1．定义（1）方向：规定磁场中任一磁感应线上某点的切线方向，代表该点磁感应强度 B 的方向。（2）大小：通过垂直于磁感应强度 B 的单位面积上的磁感应线根数等于该处的 B 量值。即磁感应线的疏密程度反映了磁场的强弱。 2．特点（1）由于磁场中某点的磁感强度的方向是确定的，所以磁场中任意两条磁感线不会相交。与电场线一样。图 11-13 磁感线（2）每一条磁感线都是围绕电流的闭合曲线，没有起点，也没有终点。这一特性与电场线完全不同，因为磁场是一种涡旋场。（3）磁感应线与电流 I 的方向关系—右手定则。四、磁通量磁感线稠密的地方，磁感强度大；磁感线稀疏的地方，磁感强度小。 1．定义通过磁场中某一曲面的磁感线数称为通过该曲面的磁通量，用  表示。若磁场是非均匀的，曲面 S 是任意的，则通过面积元 dS 的磁通量为 d = BcosdS = BdS . 而通过有限曲面 S 的磁通量 = d = cos d = B dS S  S   B  S . 2．说明（1）磁感线从闭合曲面内穿出时，   0 ；而当磁感线从闭合曲面外穿入时，   0 . （2）磁通量的单位：韦伯（Wb）1Wb=1T·m2．（3）磁通量的计算公式在后面电磁感应章节将会用到。 C.磁场的高斯定理由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即 d = 0  B S S ，这就是磁场的高斯定理，它反映了磁场是无源场（ B = 0 ）这一重要特性。图 11-2 电磁铁 D 毕奥—萨伐尔定律使用 Biot-Savart Law 如何计算磁场的磁感强度 B ？点电荷→点电荷系(带电体) →  E = dE . 元电流→电流(载流体）→  B = dB . 1．文字表述载流导线上任一电流元 Idl 在真空中某点 P 处产生的磁感强度 dB ，大小 2 d sin d r I l B    ；方向垂直于 Idl 和 r 所组成的平面，并沿矢积 dl r 的方向。 Idl I dB r P  B en  S dS

4 2．数学表达式： 2 0 d 4 d r I I r l e l   =  ． 3．说明图 11-3 电流元产生的磁场（1） 7 2 0 4 10 − −  =  N  A ——真空磁导率；（2） r e —沿位置矢量 r 方向的单位矢量；（3） dl r 的方向即由 Idl 经小于 180°的角转向 r 时的右螺旋前进方向；（4）任意载流导线（段）在 P 点处的磁感强度 B 可由下式求得     = = 2 0 d 4 d r I r l e B B  ．二、运动电荷的磁场导体中的电流是大量自由电子的定向运动。因此，电流磁场的本质是这些运动电荷产生的磁场的宏观表现。下面由毕奥—萨伐尔定律推出运动电荷所产生的磁感强度。电流元 Idl 对应的截面积为 S. 设其中单位体积内有 n 个分别带电 q、以速度 v 作定向运动的正电荷，则单位时间通过截面 S 的电量（即电流强度）为 I = qnvS．由毕奥—萨伐尔定律得，并注意到 dl 和 v 的方向一致，可得 3 0 d 4 d r nS lqv r B   =  ．在电流元 Idl 对应的体积内带电粒子数目为 dN = ndV = nSdl．图 11-11- 运动电荷因此每一个以速度 v 运动的电荷，在距它为 r 处所产生的磁感强度为 2 0 3 0 d 4 4 d r q r q N r B v r v e B   =   = =   ．方向为右手螺旋方向。（注意上述公式在 v → c 不适用）【例 4】一半径为 r 的薄圆盘，其电荷面密度为  ，设圆盘以角速度  绕通过盘心垂直盘面的：轴转动，秒圆盘中心的磁感强度。图 11-11 运动电荷产生的磁场【解】设圆盘带正电荷，且绕轴 O 逆时针旋转。在圆盘上取一半径分别为  和  + d 的细环带。此环带的电量为 dq =2d ，考虑到圆盘以角速度  绕轴 O 旋转，即每秒转  = 2  n 圈。于是此环带上的圆电流为       2 d d 2 d d  =  I = n q = . 图 11-12 例 4 图已知圆电流在圆心的磁感应强度的值为 R I B 2 0 = ，其中 I 为圆电流，R 为圆电流半径。因此，圆盘上细环带在盘心 O 的磁感强度的值为      d 2 d 2 d 0 0 B = I = ，于是整个圆盘转动时，在盘心 O 的磁感强度 B 的值为 2 d 2 d 0 r 0 0 r B B       = = =   ．如圆盘 dl I S S I r +q v B  r -q v B   O  r d

6 2 0 2 0 d 4 d sin90 4 d r I l r I l B  =  =    ．方向如图 11-2（b） dB ⊥ (rIdl) ，所有 dB 形成锥面。将 dB 进行正交分解： dB = dB// + dB⊥ ，则由对称性分析得 = dB = 0 B⊥  ⊥ ，所以有    B = B// = dB// = dB = dBsin ．因为 r R sin = ，r=常量，所以 3 2 0 2 3 0 4 d 4 r IR l r IR B  R  =  =    . 因为 2 2 2 r = x + R ， 2 S = R . 所以， 2 2 3/ 2 0 3 2 0 2 2 (R x ) IS r IR B  + = =   . 方向：沿 x 轴正方向，与电流成右螺旋关系。【讨论】（1）圆心处的磁场：x=0 ， R I B 2 0 = . （2）当 x>>R 即 P 点远离圆环电流时，P 点的磁感应强度为 3 0 2 x IS B  =  . 三、磁偶极矩 1．定义圆电流的磁矩 n m = ISe ，如果电流回路为 N 匝线圈，则载流线圈的总磁矩为 NIS n m = e ． 2．磁偶极子及磁偶极磁场当圆电流的半径很小或讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称为磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。磁偶极子磁矩为 n m = ISe ．图 11-7 磁偶极子磁偶极矩磁场为 n x m x e m B 3 0 3 0 2 2 =  =   ．分子、原子、电子、质子等都可以等效为圆电流（具有磁矩）．地球可以等效为大磁偶极子，磁矩大小为 22 | m |= 8.010 A·m2 ．【例 3】载流直螺线管的磁场。设有一密绕直螺线管，半径为 R ，通电流 I . 总长度 L，总匝数 N（单位长度绕有 n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。【解】建立坐标系，在距 P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为 x L N dN = ndx = d ．电流为 dI = IdN = Indx . 其相当于一个圆电流，它在 P 点的磁感应强度为 2 2 3/ 2 2 0 2 2 3/ 2 2 0 ( ) d ( ) 2 d 2 d R x R nI x R x R I B + = + =   . 因为螺线管各小段在 P 点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在 P 点的磁感应强度的大小为图 11-8 例 3 图 2 2 3/ 2 2 0 ( ) d 2 d R x R nI x B B + = =    ．因为 x = Rcot , d csc d 2 x = −R ,  2 2 2 2 2 R + x = r = R csc 代入上式得   = = − 2 1 2 1 sin d ( csc ) 2 csc d 2 0 3 2 2 0            nI R nI R R B ． m I en x dx x 1   2 r R P L

7 (cos cos ) 2 2 1 0    = − nI B . 【讨论】（1）管内轴线上中点的磁场 2 2 1/ 2 0 0 2 2 ( / 4 ) cos L R nI l B nI + = =    . （2）当 L>>R 时，为无限长螺线管。此时 1 =  ，  2 = 0 ，管内磁场 B nI = 0 . 即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。（3）半无限长螺线管左端面（或右端面），此时 2 1   = ,  2 = 0 （或1 = ， 2 2   = ），因此 B nI 0 2 1 =  ，即其端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半。图 11-9 例 3 磁场曲线 9.2 安培环路定理一、稳恒磁场的高斯定理由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即 d = 0  B S S ，这就是磁场的高斯定理，它反映了磁场是无源场（ B = 0 ）这一重要特性。图 11-2 电磁铁静电场：  d = 0  E l L 、  = =  = n b l l S e q 0 1 d   E S 为有源无旋场保守场。磁场：  d = 0  B S S ，无源场，  d = 0  B l L . 二、安培环路定理 1．表述   = 0 ( ) L B dl  I 内 . 真空中的磁场中，沿任何闭合路径 L 一周的 B 矢量的线积分（即 B 的环流），等于闭合路径内所包围并穿过的电流的代数和的  0 倍，而与路径的形状大小无关。 2．验证（1）如图 11-3 所示，设在真空中有一电流强度为 I 的无限长直导线，方向如图，在垂直于电流 I 的平面上任取闭合路径 L 为积分路径，磁感应强度 B 的环流为 B l L L d cosd   B l = ．因为 cosdl = rd ， r I B  = 2 0 ，所以 B 的环流为 r I r I B L 0 2 0 0 d 2 d    =   =    l . （2）若闭合路径上某处 dl 不在上述平面内，则 dl 可以正交分解为平行于上述平面的分量 d // l 和垂直于上述平面的分量 ⊥ dl ，即 = + ⊥ dl dl dl // ，这时 r I e I L L L L 0 2 0 0 // // d 2 d (d d ) cos90 d cos d 0     =   =  + = + = +       ⊥ ⊥ B l B l l B l B l  ，（3）若 I 在 L 外（L 未包围 I）则图 11-14       +   =       +   =  +  =                 0 0 0 0 0 d d 2 d 2 d 2 d d d 1 2 1 2 r I r r I r r I L L L L L B l B l B l  ( ) 0 2 d 0 + − =   =     r I L B l . nI 0 2 1  nI  0 2 l 2 l x B d r+dr r dl I L  P I  L1 L2 N L M