第七章气体动理论基础 本章主要内容 本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些 气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。 本章主要内容：物质的微观模型、理想气体压强和温度的微观本质、能量均分定理、气体 内能、麦克斯韦气体分子速率分布律、分子平均自由程、碰撞次数。引言：热学的研究对象和 两种研究方法 1.热学是关于温度有关的学问，与我们的日常生活，工农业生产以及各行各业有着密切 关系。 热学是研究热运动的规律对物质宏观性质的影响，以及与物质其他运动形态之间的转化规 律的学科。所谓热运动即组成宏观物体的大量微观粒子的一种永不停总的无规运动。 2.按照研究方法的不同，热学可分为两门学科，即热力学和统计物理学。它们从不同角 度研究热运动，二者相辅相成，彼此联系又互相补充。 3.热力学是研究物质热运动的宏观理论。从基本实验定律出发，通过逻辑推理和数学演 绎，找出物质各种宏观性质的关系，得出宏观过程进行的方向及过程的性质等方面的结论。具 有高度的普适性与可靠性。其缺点是因不涉及物质的微观结构，而将物质视为连续体，故不能 解释物质宏观性质的涨落。 4.统计物理学是研究物质热运动的微观理论。从物质由大量微观粒子组成这一基本事实 出发，运用统计方法，把物质的宏观性质作为大量微观粒子热运动的统计平均结果，找出宏观 量与微观量的关系，进而解释物质的宏观性质。在对物质微观模型进行简化假设后，应用统计 物理可求出具体物质的特性：还可应用到比热力学更为广的领域，如解释涨落现象是研究非 线性科学莫基石。第七章气体动理论就是统计物理学的基础。 5.本章为热力学基础主要内容有： 理想气体物态方程： 功、热量： 热力学第一定律： 等温和绝热过程： 6.1平衡态温度理想气体状态方程 6.1平衡态 一、状态参量一热学系统状态的描述 (1)状态参量：确定热学系统的宏观性质的量称为状态参量。 常用的状态参量有四类： 1.几何参量（如：气体体积）
第七章 气体动理论基础 本章主要内容 本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些 气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。 本章主要内容：物质的微观模型、理想气体压强和温度的微观本质、能量均分定理、气体 内能、麦克斯韦气体分子速率分布律、分子平均自由程、碰撞次数。引言：热学的研究对象和 两种研究方法 1．热学是关于温度有关的学问，与我们的日常生活，工农业生产以及各行各业有着密切 关系。 热学是研究热运动的规律对物质宏观性质的影响，以及与物质其他运动形态之间的转化规 律的学科。所谓热运动即组成宏观物体的大量微观粒子的一种永不停息的无规运动。 2．按照研究方法的不同，热学可分为两门学科，即热力学和统计物理学。它们从不同角 度研究热运动，二者相辅相成，彼此联系又互相补充。 3．热力学是研究物质热运动的宏观理论。从基本实验定律出发，通过逻辑推理和数学演 绎，找出物质各种宏观性质的关系，得出宏观过程进行的方向及过程的性质等方面的结论。具 有高度的普适性与可靠性。其缺点是因不涉及物质的微观结构，而将物质视为连续体，故不能 解释物质宏观性质的涨落。 4．统计物理学是研究物质热运动的微观理论。从物质由大量微观粒子组成这一基本事实 出发，运用统计方法，把物质的宏观性质作为大量微观粒子热运动的统计平均结果，找出宏观 量与微观量的关系，进而解释物质的宏观性质。在对物质微观模型进行简化假设后，应用统计 物理可求出具体物质的特性；还可应用到比热力学更为广阔的领域，如解释涨落现象是研究非 线性科学奠基石。第七章气体动理论就是统计物理学的基础。 5．本章为热力学基础主要内容有： 理想气体物态方程； 功、热量； 热力学第一定律； 等温和绝热过程； 6.1 平衡态 温度 理想气体状态方程 6.1 平衡态 一、状态参量——热学系统状态的描述 （1）状态参量：确定热学系统的宏观性质的量称为状态参量。 常用的状态参量有四类： 1．几何参量（如：气体体积）
2.力学参量（如：气体压强） 3.化学参量（如：混合气体各化学组的质量和摩尔数等） 4.电磁参量（如：电场和磁场强度，电极化和磁化强度等） 5.热学参量（如：温度，熵等） 【注意】 如果在所研究的问题中既不涉及电磁性质又无须考虑与化学成分有关的性质，系统中又不 发生化学反应，则不必引入电磁参量和化学参量。此时只需温度、体积和压强就可确定系统的 状态。 (2)p、V、T的单位 1.体积V 物理意义：热学系统中的物质所能达到的空间范围大小的量度。 单位(S1制)：m3(立方米)，L、ml 2.压强 里意义，作用于室器壁单位面积上的正压力的大小，P=S单位：在制由. 单位为帕斯卡，符号为Pa.常用的单位有标准大气压(atm),1am=1.013×105Pa 3.系统与外界 1.热力学系统（简称系统》 在给定范围内，人们所研究的由大量微观粒子所组成的宏观客体。本课程中主要研究气体 系统。 2.系统的外界（简称外界） 能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体。 二、平衡态准静态过稻 1.热力学平衡态的概念 一个系统在不受外界影响的条件下，如果它的宏观性质不再随时间变化，我们就说这个系 统处于热力学平衡态。 平衡态是系统宏观状态的一种特殊情况。 【思老考】 (1)系统的宏观性质用什么描述？PVT (2)外界对系统的影响可以通过那些途径？*A、Q* 2.热平衡态如图6-1所示，pV图
2 2．力学参量（如：气体压强） 3．化学参量（如：混合气体各化学组的质量和摩尔数等） 4．电磁参量（如：电场和磁场强度，电极化和磁化强度等） 5．热学参量（如：温度，熵等） 【注意】 如果在所研究的问题中既不涉及电磁性质又无须考虑与化学成分有关的性质，系统中又不 发生化学反应，则不必引入电磁参量和化学参量。此时只需温度、体积和压强就可确定系统的 状态。 （2）p、V、T 的单位 1．体积 V 物理意义：热学系统中的物质所能达到的空间范围大小的量度。 单位（SI 制）：m3 （立方米），L、ml . 2．压强 物理意义：作用于容器壁单位面积上的正压力的大小， S F p = 单位：在 SI 制中，压强的 单位为帕斯卡，符号为 Pa . 常用的单位有标准大气压（atm），1atm=1.013×105Pa . 3.系统与外界 1．热力学系统（简称系统） 在给定范围内，人们所研究的由大量微观粒子所组成的宏观客体。本课程中主要研究气体 系统。 2．系统的外界（简称外界） 能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体。 二、平衡态 准静态过程 1．热力学平衡态的概念 一个系统在不受外界影响的条件下，如果它的宏观性质不再随时间变化，我们就说这个系 统处于热力学平衡态。 平衡态是系统宏观状态的一种特殊情况。 【思考】 （1）系统的宏观性质用什么描述？_**PVT** （2）外界对系统的影响可以通过那些途径？_**A、Q** 2．热平衡态如图 6-1 所示，p-V 图
0 V. V、 图6-1p-V图 PV图上的过程曲线上的一个点代表一个平衡态。 【注意】 ()平衡态为一个理想模型： (2)平衡态与稳恒态的区别，稳恒态不随时间变化，但由于有外界的影响，故在系统内 部存在能量流或粒子流。稳恒态是非平衡态。对平衡态的理解应将“无外界影响”与“不随时间 变化”同时考虑，缺一不可： (3)平衡态为热动平衡 平衡态下，组成系统的微观粒子仍处于不停的无规运动之中，只是它们的统计平均效果不 随时间变化，因此热力学平衡态是一种动态平衡，称之为热动平衡。 6.12温度 温度为系统内物质冷热程度的量度： 温标是温度的数值表示方法。 热力学温标，记号：T,单位：开尔文，K: 摄修斯温标，记号：t,单位：℃： 两者关系：T=273.15+1或1=T-273.15注意 温度是热学中特有的物理量，它决定一系统是否与其他系统处于热平衡。处于热平衡的各 系统温度相同。 温度是状态的函数，在实质上反映了组成系统大量微观粒子无规则运动的激烈程度。实验 表明，将几个达到热平衡状态的系统分开之后，并不会改变每个系统的热平衡状态。这说明， 热接触只是为热平衡的建立创造条件，每个系统热平衡时的温度仅决定于系统内部大量微观粒 子无规运动的状态。 6.13理想气体状态方程 1.物态方程
3 V p A O p1 V1 V2 图 6-1 p-V 图 p-V 图上的过程曲线上的一个点代表一个平衡态。 【注意】 （1）平衡态为一个理想模型； （2）平衡态与稳恒态的区别，稳恒态不随时间变化，但由于有外界的影响，故在系统内 部存在能量流或粒子流。稳恒态是非平衡态。对平衡态的理解应将“无外界影响”与“不随时间 变化”同时考虑，缺一不可； （3）平衡态为热动平衡 平衡态下，组成系统的微观粒子仍处于不停的无规运动之中，只是它们的统计平均效果不 随时间变化，因此热力学平衡态是一种动态平衡，称之为热动平衡。 6.1.2 温度 温度为系统内物质冷热程度的量度； 温标是温度的数值表示方法。 热力学温标，记号：T，单位：开尔文， K； 摄修斯温标，记号：t，单位：℃； 两者关系： T = 273.15 +t 或 t = T − 273.15 注意： 温度是热学中特有的物理量，它决定一系统是否与其他系统处于热平衡。处于热平衡的各 系统温度相同。 温度是状态的函数，在实质上反映了组成系统大量微观粒子无规则运动的激烈程度。实验 表明，将几个达到热平衡状态的系统分开之后，并不会改变每个系统的热平衡状态。这说明， 热接触只是为热平衡的建立创造条件，每个系统热平衡时的温度仅决定于系统内部大量微观粒 子无规运动的状态。 6.1.3 理想气体状态方程 1．物态方程
一个热力学系统的平衡态可由四种状态参量确定。平衡态下的热力学系统存在一个状态函 数温度。温度与四种状态参量必然存在一定的关系。所谓状态方程就是温度与状态参量之间的 函数关系式，此定义适合于任何热力学系统 状态方程在热力学中是通过大量实践总结来的。然而应用统计物理学，原则上可根据物质 的微观结构推导出来。 2.理想气体 (1)什么是理想气体？ 同时满足三个气体定律和阿佛加德罗定律的气体。是一个理想模型。实际气体在温度不太 低，压强不太大的情况下可以近似为理想气体。 2)状态方程p-R=27 除了p、V、T以外，其余各物理量为： m,气体的质量：M,气体的mol质量：R,普适气体恒量，在SI制中，R=83Jmol-1K-1 (3)方程的应用：确定物态参量。 例题6-1某种柴油机的气缸容积为0.827x10-3m3。 设压缩前其中空气的温度47℃，压强为 8.5x104Pa。当活塞急剧上升时可把空气压 缩到原体积的1/17，使压强增加到4.2×106Pa, 求这时空气的温度。 如把柴油喷入气缸，将会发生怎样的情况？ (假设空气可看作理想气体。》 解：本题只需考虑空气的初状态和末状态，并且把空气作为理想气体。我们律上一P 已知p1=8.5x104Pa，p2=4.2x106Pa, T T T1=273K+47K=320K 2=7所以T,=坐7=930K 这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入气缸时就会立即槛烧，爱生每炸推动活塞作功。」 例题6-2容器内装有氧气，质量为0.10kg,压强为10x105Pa,温度为470C。因为 容器漏气，经过若干时间后，压强降到原来的58，温度降到270C。 问(1)容器的容积有多大？ (2)漏去了多少氧气？ 解(1)根据理想气体状态方程， DV=M RT M 求得容器的容积V为 MR70.10x8.31×10x273+47m=831×10m2 Mop 0.032×10 若漏气若干时间之后，压强减小到p,温度降到T'。如果用M表示容器中剩余的氧气 的质量，从状态方程求得 Mr-Mp_0032××10x83x10 RT 831x10×273+47)m'=6.67×10kg
4 一个热力学系统的平衡态可由四种状态参量确定。平衡态下的热力学系统存在一个状态函 数温度。温度与四种状态参量必然存在一定的关系。所谓状态方程就是温度与状态参量之间的 函数关系式，此定义适合于任何热力学系统. 状态方程在热力学中是通过大量实践总结来的。然而应用统计物理学，原则上可根据物质 的微观结构推导出来。 2．理想气体 （1）什么是理想气体？ 同时满足三个气体定律和阿佛加德罗定律的气体。是一个理想模型。实际气体在温度不太 低，压强不太大的情况下可以近似为理想气体。 （2）状态方程： RT RT M m pV = = 2 除了 p、V、T 以外，其余各物理量为： m，气体的质量；M，气体的 mol 质量；R，普适气体恒量，在 SI 制中，R=8.31J·mol-1· K-1 . （3）方程的应用；确定物态参量。 例题 6-1 某种柴油机的气缸容积为 0.82710-3m3。 设压缩前其中空气的温度 47ºC，压强为 8.5104 Pa。当活塞急剧上升时可把空气压 缩到原体积的 1/17，使压强增加到 4.2106Pa， 求这时空气的温度。 如把柴油喷入气缸，将会发生怎样 的情况？ （假设空气可看作理想气体。） 解: 本题只需考虑空气的初状态和末状态，并且把空气作为理想气体。我们有 已知 p1=8.5104Pa , p2=4.2106Pa, T1=273K+47K=320K 这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入气缸时就会立即燃烧，发生爆炸推动活塞作功。 例题 6-2 容器内装有氧气，质量为 0.10kg，压强为 10105 Pa ，温度为 470C。因为 容器漏气，经过若干时间后，压强降到原来的 5/8，温 度降到 270C。 问(1)容器的容积有多大？ (2)漏去了多少氧气？ 解:(1)根据理想气体状态方程， 求得容器的容积 V 为 若漏气若干时间之后，压强减小到 p，温度降到 T’。如果用 M 表示容器中剩余的氧气 的质量，从状态方程求得 2 2 2 1 1 1 T p V T pV = ,所以 17 1 1` 2 = V V T K pV p V T 1 930 1 1 2 2 2 = = ( ) 3 5 0.032 10 0.10 8.31 10 273 47 m M p MRT V mol + = − ＝ 3 3 8.31 10 m − = ( ) m k g RT M p V M mol 3 2 5 3 6.67 10 8.31 10 273 47 10 8.31 10 8 5 0.032 − − − = + = ＝ RT M M pV mol =
所以漏去的氧气的质量为 △M=M-M=(0.10-6.67×102)kg=3.33×10-2kg 6.2理想气体的压强公式 引语：为什么必须采用统计方法？ 一、理想气体的微观模型 包括物质运动理论的三个基本观点和以下几个假设 (1)分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略不计，即理想气体分子可看作 无体积大小的质点。 (2)除战墙景间外，分子之间以及分子与器壁之间相五作用可以忽路 (3)分子之间以及分子与器之间的碰撞是完全弹性的，即碰撞前后气体分子动能守恒。 实际气体在压强不太大，温度不太低时可以近似为理想气体。 二、理想气体压强公式 1.推导过程（注意在何处应用统计方法？） 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。 d p=dr.dA (1) d为大量分子在dt时间内施加在器壁d面上的平均冲量。 设在体积为V的容器中储有N个质量为的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重 力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 (23 为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为ⅵ（严格说在ⅵ附近）分子数为 Ni,分子数密度为ni=NiV,并有 n=m+2+.n=∑n (3) 平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积A, 计算其所受的压强如图71所示。 单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为2mvix t时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为 2 m nivix 2 dt da 关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA 为底，以vix dt为高，以vi为轴线的柱体内的分子。分子数为ni vixdt dA.因此，dt时间内
5 所以漏去的氧气的质量为 6.2 理想气体的压强公式 引语：为什么必须采用统计方法？ 一、理想气体的微观模型 包括物质运动理论的三个基本观点和以下几个假设 （1） 分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略不计，即理想气体分子可看作 无体积大小的质点。 （2） 除碰撞瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间相互作用可以忽略。 （3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即碰撞前后气体分子动能守恒。 实际气体在压强不太大，温度不太低时可以近似为理想气体。 二、理想气体压强公式 1．推导过程（注意在何处应用统计方法？） 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。 有 t A I p d d d = ， （1） dI 为大量分子在 dt 时间内施加在器壁 dA 面上的平均冲量。 设在体积为 V 的容器中储有 N 个质量为 m 的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重 力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 Na N n = ， （2） 为讨论方便，将分子按速度分组，第 i 组分子的速度为 vi（严格说在 vi 附近）分子数为 Ni,分子数密度为 ni=Ni/V，并有 n = n1 + n2 +ni =ni . （3） 平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于 x 轴的器壁上任取一小面积 dA, 计算其所受的压强如图 7-1 所示。 单个分子在对 dA 的一次碰撞中施于 dA 的冲量为 2mvix . dt 时间内，碰到 dA 面的第 i 组分子施于 dA 的冲量为 2 m ni vix 2 dt dA . 关键在于：在全部速度为 vi 的分子中，在 dt 时间内，能与 dA 相碰的只是那些位于以 dA 为底，以 vix dt 为高，以 vi 为轴线的柱体内的分子。分子数为 ni vix dt dA . 因此，dt 时间内， M M M ( ) kg kg 2 2 0.10 6.67 10 3.33 10 − − = − = − =
与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为 dI=>2mnvidt-dA (4) 注意：v<0的分子不能与dA碰撞。容器中气体无整体运动，平均来讲vix心0的分子 数等于vx<0的分子数。因此 d山=∑2mm2ddM=∑2mmv2dd4 (5) 将(5)代入(1)可得容器壁的压强为： p=dh.dm∑g d (6) 定义x方向均方速度： ∑n层 = n (7) 则 p=mv (8) 平衡态下，分子速谜度按方向的分布是均匀的，有：平=号=号，因为”=++ =+可+，可知 7=== (9) 所以， p=mnv (10) 或者 (1) 为气体分子平均动能。 2.讨论 (1)理想气体压强公式(11)式显示了宏观量与微观量的关系。 (2)理想气体压强公式(11)式是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。 （3)注意到气体的密度P=m,因此，（）式也可以改写为 6
6 与 dA 相碰撞的所有分子施与 dA 的冲量为 I mnv t A ix i v d 2 i ixd d ( 0) 2 = ， （4） 注意： vix 0 的分子 数等于 vix< 0 的分子数。因此 I mnv t A mnv t A i i i x i [ 2 i i xd d ] 2 d d 2 1 d 2 2 = = . （5） 将（5）代入（1）可得容器壁的压强为： = = i i ix m n v t A I p 2 d d d ， （6） 定义 x 方向均方速度： n n v v i i ix x = 2 2 ， （7） 则 2 x p = mnv . （8） 平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有： 2 2 2 x y z v = v = v ，因为 2 2 2 2 x y z v = v + v + v ， 2 2 2 2 x y z v = v + v + v ，可知 2 2 2 2 3 1 v v v v x = y = z = ， （9） 所以， 2 3 1 p = mnv ， （10） 或者 n t p n mv 3 2 ) 2 1 ( 3 2 2 = = ， （11） 这就是理想气体压强公式。其中 2 2 1 mv t = 为气体分子平均动能。 2．讨论 （1）理想气体压强公式（11）式显示了宏观量与微观量的关系。 （2）理想气体压强公式（11）式是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。 （3）注意到气体的密度 = mn ，因此，（11）式也可以改写为
p-i0 6.3温度的统计解释 1、理想气体状态方程的分子形式 由第六章（理想气体状态方程）有 pV=nRT. 若知分子总数N,则有 定义玻尔兹曼常数 R k= =1.38×10-23JK- N 则pV=Nk,或p=kT,这就是理想气体状态方程的分子形式。 2、温度的微观意义 2 比较p四nkT和PG ,有 (12) 由表征分子无规则运动激烈程度，可知温度标志若物体内部分子无规则运动的激烈程 度。课本给出了6数量级大小的讨论。 四、气体分子的方均根速率 ,可得 所以， 要哥 我们将V厅称为方均根建率(root meaurd）记为 -m 3kT 3RT 可见在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律
7 2 3 1 p = v . 6.3 温度的统计解释 1、理想气体状态方程的分子形式 由第六章（理想气体状态方程）有 pV=nRT. 若知分子总数 N，则有 RT N N pV A = . 定义玻尔兹曼常数 23 1 1.38 10 J K − − = = NA R k . 则 pV=Nk，或 p=nkT，这就是理想气体状态方程的分子形式。 2、温度的微观意义 比较 p=nkT 和 p n t 3 2 = ，有 t kT 2 3 = ， （12） 由 t 表征分子无规则运动激烈程度，可知温度标志着物体内部分子无规则运动的激烈程 度。课本给出了 t 数量级大小的讨论。 四、气体分子的方均根速率 由气体分子的平均平动动能： mv kT 2 3 2 1 2 = ，可得 v kT 2 2 3 = ， 所以， M RT m kT v 2 3 3 = = . 我们将 2 v 称为方均根速率（root mean square speed）记为 M RT m kT v v rms 2 3 3 = = = ， 可见在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律
6.4能量均分定理理想气体的内能 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子 气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。为用统计方法计算分子 动能，首先介绍自由度的概念 一、自由度 1.刚性分子的自由度 ()自由度的概念 力学中，自由度是指确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。 对于刚性理想气体分子，平动自由度=3 (2)平动自由度1 由理想气体分子的平均平动动能公式 =m=m++)=k 以及 居=元-0- 可得 m-mg-m-切 kT 可见对于每一个平动自由度，贡献的平均动能为2 (3)刚性双原子分子和转动自由度 考虑刚性双原子理想气体分子，还必须考虑原子围绕分子质心的转动，转动能量为 云=，+2网 可见加上三个平动项，刚性双原子理想气体分子的能量表达式中有5项独立的完全平方 项。称为有5个自由度(=3，=2) (4)刚性双原子分子 这时 ++ ，=3,=3 列表如下： 分子种类 平动自由度t 转动自由度r 总自由度i 单原子分子 3 双原子分子 3 2 5
8 6.4 能量均分定理 理想气体的内能 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子 气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。为用统计方法计算分子 动能，首先介绍自由度的概念 一、自由度 1．刚性分子的自由度 （1）自由度的概念 力学中，自由度是指确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。 对于刚性理想气体分子，平动自由度 t=3 . （2） 平动自由度 t 由理想气体分子的平均平动动能公式 t mv m vx vy vz k T 2 3 ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 = = + + = . 以及 2 2 2 2 3 1 v v v v x = y = z = . 可得 mvx mvy mvz kT 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = = = . 可见对于每一个平动自由度，贡献的平均动能为 2 kT . （3）刚性双原子分子和转动自由度 r 考虑刚性双原子理想气体分子，还必须考虑原子围绕分子质心的转动，转动能量为 2 2 2 1 2 1 r y y zwz = J w + J ， 可见加上三个平动项，刚性双原子理想气体分子的能量表达式中有 5 项独立的完全平方 项。称为有 5 个自由度（t=3，r=2）. （4）刚性双原子分子 这时 2 2 2 2 1 2 1 2 1 r x x y y zwz = J w + J w + J ，t=3，r=3 . 列表如下： 分子种类 平动自由度 t 转动自由度 r 总自由度 i 单原子分子 3 0 3 双原子分子 3 2 5
多原子分子3 3 6 2.非刚性双原子分子的自由度振动自由度s 振动能量 6,=m+ 因此振动自由度s=2 二、能量按自由度均分定理 每个平动自由度的-m-灯 ，推广到转动等其它运动 形式，得能量均分定理。 玻尔兹曼假设：在温度为T的平衡态下，物质分子的每一个自由度具有相同的平均动能， 其大小都等于智 ，这就是能量按自由度均分定理。 这样，每个理想气体分子的平均能量为： ,其中：曰+r+s分子的总自由度数目。 注意： (1)是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 (2)是气体分子无规则碰撞的结果。 (3)经典统计物理可给出严格证明。 三、理想气体的内能摩尔热容 1.理想气体的内能 我们用i表示一个分子的总自由度，N表示气体分子的总数，表示气体总摩尔数。则有： 每个分于的平约能量5 理组气体的内能8=饭号MT-子灯 可见理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比。此结论在与室温相差不大 的温度范围内与实验近似相符。 2.理想气体的摩尔热容 (1)理论值 由第六章第四节中我们学习过的等体摩尔热容的定义 以及5-台7，易得：
9 多原子分子 3 3 6 2．非刚性双原子分子的自由度 振动自由度 s 振动能量 2 2 2 1 2 1 v k x r = c + ， 因此振动自由度 s=2 . 二、能量按自由度均分定理 每个平动自由度的平均动能 mvx mvy mvz kT 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = = = ，推广到转动等其它运动 形式，得能量均分定理。 玻尔兹曼假设：在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个自由度具有相同的平均动能， 其大小都等于 2 kT ，这就是能量按自由度均分定理。 这样，每个理想气体分子的平均能量为： kT 2 1 = ，其中：i=t+r+s 分子的总自由度数目。 注意： （1）是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 （2）是气体分子无规则碰撞的结果。 （3）经典统计物理可给出严格证明。 三、理想气体的内能 摩尔热容 1．理想气体的内能 我们用 i 表示一个分子的总自由度，N 表示气体分子的总数，n 表示气体总摩尔数。则有： 每个分子的平均能量 kT i 2 = ； 理想气体的内能 RT i NkT i E N k 2 2 = = = ， 可见理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比。此结论在与室温相差不大 的温度范围内与实验近似相符。 2．理想气体的摩尔热容 （1）理论值 由第六章第四节中我们学习过的等体摩尔热容的定义 T E T E m M CV m d 1 d d d , = = ， 以及 RT i E 2 = ，易得：
C.=号R 此外由9=C.+R,可得 C-2 6.5麦克斯韦气体分子速率分布律 0、引言 分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动 一毅气体分子热运动的概念： 分子的密度3x1019个分子1cm3=3千亿个分子cm3: 分子之间有一定的间隙，有一定的作用力： 分子热运动的平均速度约v=500ms: 分子的平均碰撞次数约z=1010次/秒 布郎运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮其中的微粒引起的。 分子热运动的基本特征是水恒的运动与频繁的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故 不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。 (1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的：各个分子之间的运动也不相同，即无序性： 这正是热运动与机械运动的本质区别。 (2)统计性 但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性， 例如： 在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）是均匀的。（分子运动是永恒的） 可作假设：气体分子向各个方向运动的机会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均 分子数应相等且分子速度在各个方向的分量的统计平均值也相等。对大量分子体系的热平衡 态，它是成立的。 宏观量：表征大量分子的整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中能测得的量 微观量：表征大量分子的整体中个别分子特征的物理量。如某个分子的质量、速度、能量 等，在现代实验条件下是不能直接测得的量。 (3)统计方法 分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来 解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。 统计方法同时伴随着起伏现象
10 R i CV m 2 , = . 此外由 Cp,m = CV ,m + R ，可得 R i Cp m 2 2 , + = . 6.5 麦克斯韦气体分子速率分布律 0、引言 分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动 一般气体分子热运动的概念： 分子的密度 31019 个分子/cm3 = 3 千 亿个分子/cm3 ； 分子之间有一定的间隙，有一定的作用力； 分子热运动的平均速度约 v = 500m/s ； 分子的平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒。 布郎运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮其中的微粒引起的。 分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故 不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。 (1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性； 这正是热运动与机械运动的本质区别。 (2)统计性 但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。 例如： 在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）是均匀的。（分子运动是永恒的） 可作假设：气体分子向各个方向运动的机会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均 分子数应相等且分子速度在各个方向的分量的统计平均值也相等。对大量分子体系的热平衡 态，它是成立的。 宏观量：表征大量分子的整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中能测得的量。 微观量：表征大量分子的整体中个别分子特征的物理量。如某个分子的质量、速度、能量 等，在现代实验条件下是不能直接测得的量。 (3)统计方法 分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来 解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。 统计方法同时伴随着起伏现象