第二章复变函数的积分 ·§2.1复变函数的积分 。§2.2科希定理 ·§2.3科希公式
1 第二章 复变函数的积分 • §2.1 复变函数的积分 • §2.2 科希定理 • §2.3 科希公式
§2.1复变函数的积分 复变积分是复数平面上的线积分，设C是复平面上的曲线， 函数f(z)在C上有定义，把曲线c任意分割为n段，分点为： 30=A,z1,2,乙n=B &n=B k为zk1→k段的任意点，作和数： 2n-1 ∑f)e-6-）=2fG4 k=1 C 若n→oo,使得Ml△zk→0时， 此和数存在，且与的选取无关，则 52 2 称此极限值为函数f()沿曲线C的 21 积分，记为： 0=A 人re)d lim f(Sk)△k. max-0台
2 §2.1 复变函数的积分 复变积分是复数平面上的线积分，设C是复平面上的曲线， 函数f (z)在C上有定义，把曲线C任意分割为n段，分点为： z0= A, z1 , z2 , ., zn =B k为zk-1→zk段的任意点，作和数： 若n →，使得Max|zk | →0时， 此和数存在，且与的选取无关，则 称此极限值为函数f (z)沿曲线C的 积分，记为：
一个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合： f()d=-(u+iv)(dr+id)=(udr-vd)+i(odz+udy) 如果C是分段光滑曲线，f(z)是C上的连续函数，则复变积 分一定存在 复变积分的基本性质： 1、如果积分ie人.人 都存在，则： L[ne)++n)ds+d++h)ds 2、若C=C+C2+.+Cn,则： fed+fe)ds+.+人fe)d=fe)d: 3、fe)d=-f)d其中C表示C的逆向； 4、afe)d=afed, 其中a为常数；
3 一个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合： 如果C是分段光滑曲线，f (z)是C上的连续函数，则复变积 分一定存在. 1、如果积分 都存在，则： 2、若C=C1+C2+.+Cn，则： 3、 其中C-表示C的逆向； 4、 其中a为常数； 复变积分的基本性质：
5、lf(a)ds∫If(a)l川l 6、If(e)d≤M其中M为V在C上的上界，为C的长度. 显然复变积分的数值依赖于：被积函数、端点位置，即积分 的上下限、积分的路径.对于给定一个被积函数，当端点固 定时，不同的积分路径，积分值一般不同 例1.求∫Rez.C为(0沿实轴由0→1，再平行于虚轴1→1+i5 (训)沿虚轴由0→i,再平行于实轴i→1+i,(i训沿直线0→1+i. 解：f(z)=Rez→u=x,v=0. 根据∫cfz)k=c(uc-)+c+u. (训 Re:d:= [rdr- (i0)直线方程为x=y,dx=dy
4 显然复变积分的数值依赖于：被积函数、端点位置，即积分 的上下限、积分的路径.对于给定一个被积函数，当端点固 定时，不同的积分路径，积分值一般不同. 例1. 求 . C为(i) 沿实轴由0→1，再平行于虚轴1 →1+i; (ii) 沿虚轴由0 →i，再平行于实轴i→1+i; (iii) 沿直线0 →1+i. Re C zdz (ii) x y o 1 i (1, )i ( )i ( ) ii ( ) iii 解： f z z ( ) Re = u x v = = , 0. 根据 ( ) ( ) . C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + + (i) (iii)直线方程为x=y，dx=dy. 5 | | | || | ( ) ( ) C C f z dz f z dz 、 6、 | | f z dz Ml ( ) 其中M为|f (z)|在C上的上界，l为C的长度.
∫Rec=jt+e=ja+0c=+) §2.2科希定理 科希定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系. 区别两种区域： 单连通区域：在区域中作任何简单 闭合围道，其内的点都属于该区域 复连通区域：在区域内只要有一条闭 合围道，其内有不属于G的点。 (a) 一、单连通区域的科希定理 如果函数f(z)在单连通区域G中解 析，沿G内中任何一个分段光滑的 闭合围道有： ∮fz)k=0 C也可以是G边界
5 1 0 1 Re (1 ) (1 ) C C C 2 zdz xdx i xdx i xdx i = + = + = + §2.2 科希定理 科希定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系. 区别两种区域： 单连通区域：在区域中作任何简单 闭合围道，其内的点都属于该区域 .复连通区域：在区域内只要有一条闭 合围道，其内有不属于G的点。 一、单连通区域的科希定理 G G 如果函数f (z)在单连通区域 中解 析，沿 内中任何一个分段光滑的 闭合围道有： ( ) 0 C f z dz = C也可以是G 边界
证明：根据数学分析中的格林公式： ∮.[P(x,)+(x)]=八 dxdy 复函积分∮f(a)dk=∮[ud-vady]+ic[dk+ud] f.(k-v)=-八 dxdy au av au Ov axoy' ∮.（(k+dy=八 dxdy C-R条件 ∮。fz)b=0 格林公式要求， 容连续，即1连续。实际上， Ou Ov 若在G上解析，则@存在且连续，因此然， ax'Oy 也连续
6 ( , , ) ( ) C S Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y + = − 证明：根据数学分析中的格林公式： 复函积分 ( ) C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + + ( ) ( ) C S C S v u udx vdy dxdy x y u v vdx udy dxdy x y − = − + + = − , u v u v x y y x = = − C-R条件 ( ) 0 C f z dz = 格林公式要求 , , , 连续，即 连续。实际上， u u v v x y x y f z '( ) , , , u u v v x y x y 若f (z)在G上解析，则 存在且连续，因此 也连续。 f z '( )
推论：若fz在单连通区域G中解析，则复变积分J。f(z). 与路径无关 ∮fz)=0 →fet+nfet=0 →f,fek-fek=0→ft=,fet 奇点：若复函f(z)在某一点不解析，该点叫 作f)的奇点. 孤立奇点：若f(z)在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇 点)是解析函数，该点为孤立奇点.如a点为f=11(a-)的 孤立奇点. 讨论： 1、若f()为G内的连续函数，且是G内任意闭合围道，均 有∮。f(z):=0,则f(a)在G内解析
7 推论：若f(z)在单连通区域 中解析，则复变积分 与路径无关. ( ) C f z dz G ( ) 0 C = f z dz 2 l 1 l 2 l − 0 z z 1 2 ( ) ( ) 0 l l f z dz f z dz − + = 1 2 ( ) ( ) l l f z dz f z dz = 1 2 ( ) ( ) 0 l l f z dz f z dz − = 奇点：若复函f (z)在某一点不解析，该点叫 作f (z)的奇点. 孤立奇点：若f (z)在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇 点）是解析函数，该点为孤立奇点. 如a点为f (z)=1/(z-a)的 孤立奇点. 讨论： 1、若f (z)为G内的连续函数，且l是G内任意闭合围道，均 有 ( ) 0，则f (z)在G内解析. C f z dz =
2、若f()为G内的连续函数，且1是G内特定闭合围道，有 ∮f(z)=0,则不能推出fz)在G内解析. 3、若f(z)为G内的连续函数，f(z)在G内某一闭合回路所包 围区域内有奇点，少f(z)k一般不为零.应该代之复连通区域 的科希定理 二、复连通区域的科希定理 如果f(z)是复连通区域G中的单值解析函数，则： 重。fat=2f。f八e地， 其中Co,C1,C2,Cn是构成区域G 的边界的各个分段光滑闭合曲线， C1,C2,Cn都包含在Co的内部， 而 且所有的积分路径走向相同. (a)
8 2、若f (z)为G内的连续函数，且l是G内特定闭合围道，有 ( ) 0 ，则不能推出f(z)在G内解析. C f z dz = 3、若f (z)为G内的连续函数，f (z)在G内某一闭合回路l所包 围区域内有奇点， 一般不为零. 应该代之复连通区域 的科希定理. ( ) C f z dz 二、复连通区域的科希定理 如果f (z)是复连通区域 G 中的单值解析函数，则： 0 1 ( ) ( ) , i n C C i f z dz f z dz = = 其中C0 , C1 , C2 , ., Cn是构成区域 的边界的各个分段光滑闭合曲线， C1 , C2 , ., Cn都包含在C0的内部，而 且所有的积分路径走向相同. G
证明：取Co,C1,C2,Cn均为逆时针方向. 作适当的割线把C1,C2,Cn和Co连接起来， 从而得到一个单连通区域·z)在单连通区 域内是解析的，因而可以应用单连通区域 的科希定理 ∮fa+fa)k+∮fz)k+∫fe)k+fa)k+fje)d +∫fz)k++∫fz)+∮cfz)k+∫fz)=0 由于f(2)在G内单值，故沿同一割线两岸的积分相互抵消，即： ["f(=)d=+f(=)d-=0 因此∮。fek+2∮ft=0, 复连通区域 ∮fek=立∮fek, 的科希定理
9 证明：取C0 , C1 , C2 , ., Cn均为逆时针方向. 作适当的割线把C1 , C2 , ., Cn和C0连接起来， 从而得到一个单连通区域 . f (z)在单连通区 域 内是解析的，因而可以应用单连通区域 的科希定理. ' G ' G 1 1 2 0 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n n n n b a b C a C b a C a b a b a C b f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz − − − + + + + + + + + + + = 由于f (z)在 G ' 内单值，故沿同一割线两岸的积分相互抵消，即： ( ) ( ) 0 i i i i b a a b f z dz f z dz + = 0 1 ( ) ( ) , i n C C i f z dz f z dz = = 0 1 ( ) ( ) 0, i n C C i f z dz f z dz − = 因此 + = 复连通区域 的科希定理
例1求积分 (在所包围 的区域内) 解：当n≤0时，)= a-a)"在全平面 解析，根据单连通区的科西定理，有： 当n>0时，z=a为f(z)= 的孤立奇点。 (z-a) 以z=为圆心、r为半径作一圆，将z=点挖去，根据复 连通区的科西定理，有： 手e'o-fe-p-,产gao e-i(n-1)9 2 =0; r-i(n-1)
10 例1 求积分 （a在l所包围 的区域内） 1 ( )n l dz z a − 解：当n 0时， 在全平面 解析，根据单连通区的科西定理，有： 1 ( ) ( )n f z z a = − 1 0 ( )n l dz z a = − 当n > 0时，z = a为 的孤立奇点。 1 ( ) ( )n f z z a = − 以z = a为圆心、r为半径作一圆，将z = a点挖去，根据复 连通区的科西定理，有： 1 1 ( ) ( ) a n n l C dz dz z a z a = − − 2 2 ( 1) 1 0 0 ( ) i i n i n n ire i d e d re r − − − = = 2 ( 1) 1 1 0 0; ( 1) i n n n i e r i n − − − = = − − Ca l