第六章 傅立叶展开 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动. 为了描述周期性的运动方程，数学上是借助某类 函数来描述的.当然这类函数也要体现出周期性， 这类函数称为周期函数， 那么，对于周期函数应采取怎样的分析表示法呢 ?就是本章要讨论的内容
11 第六章 傅立叶展开 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动. 为了描述周期性的运动方程,数学上是借助某类 函数来描述的.当然这类函数也要体现出周期性. 这类函数称为周期函数. 那么,对于周期函数应采取怎样的分析表示法呢 ?就是本章要讨论的内容
傅立叶展开是一种数学工具，是工程数学中的积分 变换.(1)可作频谱分析，模拟各种声音；(2)数理方程 的解往往不能用初等函数表示，多用傅立叶级数的 形式表示；(3)它可进行近似计算，例如计算π
22 傅立叶展开是一种数学工具,是工程数学中的积分 变换. (1)可作频谱分析,模拟各种声音; (2)数理方程 的解往往不能用初等函数表示,多用傅立叶级数的 形式表示; (3)它可进行近似计算,例如计算π
§6.1以2为周期的函数的傅立叶展开 若fx+20=fx),x∈(oo,o),则f)是以T=21为周期的周期 函数。 例如三角西数：om”xa=2)的周期均为4 （+20-=wf+2灯小-w n（(x+2刘=sn(7x+2s7x 我们自然联想到周期为2的函数能否展开为 cas7x咖7x(k=1,2) kπ kπ 的线性迭加
33 §6.1 以2l为周期的函数的傅立叶展开 若 f (x+2l)=f (x)，x(-,)，则f (x) 是以T=2l为周期的周期 函数。 cos , sin , 1,2,. ( ) k k x x k l l 例如三角函数： = 的周期均为2l. ( ) ( ) cos 2 cos 2 cos , sin 2 sin 2 sin , k k k x l x k x l l l k k k x l x k x l l l + = + = + = + = 我们自然联想到周期为2l的函数能否展开为 cos , sin , 1,2,. ( ) k k x x k l l = 的线性迭加
基本函数系（基本函数族）： kπ 2π x,sin x,.si kπ、 构成周期函数的基本函数系。 一因=a+停r4m努 展开的任务在于求系数ao、ak、bk 正交性： ∫1cos ∫1sin"=0 nπ 奇函数对称区 间积分为零
44 基本函数系（基本函数族）： 2 2 1,cos ,cos , cos , ,sin ,sin , sin , k k x x x x x x l l l l l l 构成周期函数的基本函数系。 ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + 展开的任务在于求系数a0、ak、bk . 正交性： 1 cos sin 0, 0 l l l l n l n xdx x n l n l − − = = 1 sin 0 l l n xdx l − = 奇函数对称区 间积分为零
∫1Pk=2弘，(n=0) m≠n 奇函数对称区 间积分为零 s=1+ws2T =(+m (m=0)
55 ( ) 2 1 2 , 0 l l dx l n − = = 1 ( ) ( ) cos cos cos cos 2 l l l l m n m n m n x xdx x x dx l l l l − − − + = + ( ) ( ) ( ) 1 ( ) sin sin 0 2 l l l l m n m n x x m n l m n l − − + = + = − + (m n ) cos sin 0 l l m n x xdx l l − = 奇函数对称区 间积分为零 2 1 2 cos 1 cos 2 l l l l n n xdx x dx l l − − = + 1 2 sin 2 2 l l l n x x l n l − = + = (m n = )
∫，sin xsin mπ nπ xdx on警ff-sjk-4a= 正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之 积在周期范围内积分为零，相同的基本函数之积在 周期范围内积分（模方)不为零。 完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数 ,也不能少一些必要的函数
66 sin sin l l m n x xdx l l − 1 ( ) ( ) cos cos 0, ( ) 2 l l m n m n x x dx m n l l − − + = − = 2 1 2 sin 1 cos , 2 l l l l n n xdx x dx l l l − − = − = (m n = ) 正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之 积在周期范围内积分为零，相同的基本函数之积在 周期范围内积分（模方）不为零。 完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数 ，也不能少一些必要的函数
周期函数展开式代-+号+如行 两边同时乘以1，再积分： e=a1+2a,w1+宫s领1 根据三角函数的正交性： ∫，f(k=a21一a=∫f() 或a,=2∫，f(5)5
77 周期函数展开式： ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + 两边同时乘以1，再积分： ( ) 0 1 1 1 cos 1 sin 1 l l l l k k l l l l k k k k f x dx a dx a dx b dx l l − − − − = = = + + 根据三角函数的正交性： ( ) 0 2 l l f x dx a l − = 或 ( ) 1 2 l o l a f d l − = ( ) 1 2 l o l a f x dx l − =
00 周期函数展开式：f()=a,+ ao7+6s kπ 展开式两边同时乘以c0sx,再积分： re小e=,as贤a 根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 =n时，积分不为零. (cos=41一4=（es7t 8
88 cos n x l 展开式两边同时乘以 ，再积分： ( ) 0 cos cos l l l l n n f x xdx a xdx l l − − = 1 1 cos cos sin cos l l k k l l k k k n k n a xdx b xdx l l l l − − = = + + 根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 k=n时，积分不为零. ( )cos l n l n f x xdx a l l − = ( ) 1 cos l n l n a f x xdx l l − = 周期函数展开式： ( ) 0 1 k k cos sin k k k f x a a x b x l l = = + +
写成：4-（传cs55,(k=123) 同理： 4=f(in经55、k=l2,3） 若fx)是周期为2的周期函数，且满足狄氏条件( 后面叙述)，则可以展成傅立叶级数： -+,+4纤 a=a了5)o牙55 2 A=打，r)轩5店 1
99 写成： ( ) ( ) 1 cos , 1,2,3,. l k l k a f d k l l − = = 同理: ( ) ( ) 1 sin , 1,2,3,. l k l k b f d k l l − = = 若f (x)是周期为2l的周期函数，且满足狄氏条件（ 后面叙述），则可以展成傅立叶级数： ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + ( ) ( ) 1 cos 1 sin l k l k l k l k a f d l l k b f d l l − − = = ( ) ( ) 2 =0 1 0 k k k = 其中
【讨论】 ①若f心)为奇函数，显然=0,M0,则： 心-24经x4=m ②若fx)为偶函数，显然b=0,则： =a+2m4后创o气城 可见，奇函数或偶函数的傅氏展开要比一般函数简 单得多.在解题时，可先画出周期函数的图形，判断 函数的奇偶性后，再进行展开」 10
1010 【讨论】 ① 若f (x)为奇函数，显然a0=0，ak=0，则： ( ) ( ) 0 1 2 sin , sin l k k k k k f x b x b f d l l l = = = ② 若f (x)为偶函数，显然bk=0，则： ( ) ( ) 0 0 1 2 cos , cos l k k k k k k f x a a x a f d l l l = = + = 可见,奇函数或偶函数的傅氏展开要比一般函数简 单得多. 在解题时,可先画出周期函数的图形,判断 函数的奇偶性后,再进行展开