第十章线性常微分方程的级数解法 我们常常会遇到这样的二阶线性常微分方程： y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0p(x),q(x)一方程系数 级数解法：把方程的解表为待定系数的级数，代入方程确定系数。 p(x),q(x)→p(3),9(z) 若zo点是p(小、q()的常点（解析点），解可表成泰勒级数： -2.(x-广 若zo点是p(、q(的奇点，解可表成罗朗级数： 10.1常点邻域的级数解法 例1、在xp=0邻域上求解y+y=0. 解：p(x)=0,(x)=1,x=0(z=0)是方程的解析点
1 第十章 线性常微分方程的级数解法 我们常常会遇到这样的二阶线性常微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " ' y x p x y x q x y x + + = 0 p x q x ( ), ( ) ——方程系数 级数解法：把方程的解表为待定系数的级数，代入方程确定系数。 p x q x p z q z ( ), , ( ) → ( ) ( ) 若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数： ( ) ( ) 0 k k o k y x c x x = = − 若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §10.1 常点邻域的级数解法 例1、在x0 = 0邻域上求解 " y y + = 0. 解：p x q x x z ( ) = = = = 0, 1, 0 0 ( ) ( ) 是方程的解析点
()-2x 带入方程，得： 2-e+2cr=言46-0e+2x 20+20+4+2r=0 2[(k+2k+c+c]x=0 系数递推公式 (k+2(k+1)c+2+C=0 Ck+2 (k+2)(k+1) 实际上，我们只要比较某一幂次项（例如项）的系数，即 可得到系数递推公式，对y(x)求导二次，用ck+2x+2代入求导 后幂次仍为k,对y(x)则用cx代入，则： (k+2)0k+)+c=0→c*=k+20k+)9
2 ( ) 0 k k k y x c x = = 带入方程，得： ( ) 2 0 0 1 0, k k k k k k k k c x c x − = = − + = ( ) 2 2 0 1 0, k k k k k k k k c x c x − = = − + = ( )( ) 2 0 0 2 1 0, k k k k k k k k c x c x + = = + + + = ( )( ) 2 0 2 1 0, k k k k k k c c x + = + + + = ( )( ) 2 2 1 0 k k k k c c + + + = + ( )( ) 2 1 2 1 k k c c k k + = − + + 系数递推公式 实际上，我们只要比较某一幂次项（例如x k项）的系数，即 可得到系数递推公式，对y ’’(x)求导二次，用ck+2x k+2代入求导 后幂次仍为k，对y (x)则用ckx k代入，则： ( )( ) 2 2 1 0 k k k k c c + + + = + ( )( ) 2 1 2 1 k k c c k k + = − + +
C2= 2.1 0= 2,0=43=(-） C3= 3.2 C1= 7:6=( 709, 可从方程中直接求出 Co cosx+c sinx
3 2 0 0 1 1 , 2 1 2! c c c = − = − ( ) 2 4 2 0 1 1 , 4 3 4! c c c = − = − ( ) 3 6 4 0 1 1 , 6 5 6! c c c = − = − ( ) ( ) 2 0 1 , 2 ! k k c c k = − 3 1 1 1 1 , 3 2 3! c c c = − = − ( ) 2 5 3 1 1 1 , 5 4 5! c c c = − = − ( ) 3 7 5 1 1 1 , 7 6 7! c c c = − = − ( ) ( ) 2 1 1 1 , 2 1 ! k k c c k + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 2 ! 2 1 ! k k k k k k y x c x c x k k + = = − − = + + 0 1 = + c x c x cos sin 可从方程中直接求出
例2、在xo=0邻域上求解y”-2y(x)+6y(x)=0. 解：p(x)=-2x,(x)=6,x=0为方程的常点. 2 比较x项的系数： 2(k-3) k+2k+105n-2c,+6c,=0c-k+20k+可 2! -g-。-站a3 4.3 4 6! =er2gse到 (2k)I
4 例2、在x0 = 0邻域上求解 ( ) ( ) " ' y xy x y x − + = 2 6 0. 解： p x x q x ( ) = − = 2 , 6, ( ) x = 0为方程的常点. ( ) 0 k k k y x c x = = 比较x k项的系数： ( )( ) 2 2 1 2 6 0 k k k k k c kc c + + − + = + ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 k k k c c k k + − = + + ( ) ( ) 200 2 3 2 3 , 2 1 2! c c c − − = = ( ) ( )( ) 2 4 0 0 2 1 2 3 1 , 4 3 4! c c c − − − = = ( ) 3 ( )( ) 6 4 0 2 1 3 1 1 2 , 6 5 6! c c c − − = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 0 3 1 1 3 2 5 2 , 2 ! k k k c c k − − + = (k 1)
2(-2)。2 C3= 2(k-3) 32 C1=- 3 en(k+2)0k+0 C5=0,→C7=Cg=C1=.=0 )=6+2+23。+23-1+ 2! 41 6 (2k)1 例3、在x。=0邻域上求勒让德方程的解 勒让德方程(1-x)y(x)-2y()+2y(x)=0.为常数 解，p-):子x=0为方程的解折点 y(x)=∑cx 比较x*项的系数：(k+2(k+)cx+2-k(k-1)c-2kc,+Cx=0
5 ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 k k k c c k k + − = + + ( ) 3 1 1 2 2 2 , 3 2 3 c c c − = = − 5 c = 0, 7 9 11 c c c = = = = 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 6 0 4 2 3 2 3 1 2 3 1 1 [1 2! 4! 6! y x c x c x − − − − − = + + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 1 3 2 5 2 2 ] 2 ! 3 k k k x c x x k − − + + + + − 例3、在x0= 0邻域上求勒让德方程的解. 勒让德方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 " ' 1 2 0. − − + = x y x xy x y x 为常数 解： ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 x p x q x x x = − = − − x = 0 为方程的解析点. ( ) 0 k k k y x c x = = 比较x k项的系数：( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 0, k k k k k k c k k c kc c + + − − − + = +
k(k-1)+2k-九。k(k+1)-元 Ck+2= (k+2(k+1) (k+2)(k+1) y(x)=(x)+(x): 可以证明y、Jy2(x)在x=±1时，级数发散.（证明从略） 对于本征值问题： -)岛y=。只能取定值时，级数才能收数 =有界 若孔=1(1+1)（1=0,1,2，.) ,-k飞+-+.-0-0+k+0 6+24+)6,= (k+2(k+1) 6
6 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k c c c k k k k + − + − + − = = + + + + 2 2 1 1 2 2 2 1 0 0 , k k k k k k y c x y c x + + = = = = ( ) ( ) ( ) 1 2 y x y x y x = + . 可以证明y1 (x)、y2 (x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题： ( ) 2 1 1 0 x d dy x y dx dx y = − + = = 有界 只能取一定值时，级数才能收敛. 若 = + = l l l ( 1 0,1,2, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 1 2 1 k k k k k l l l k l k c c c k k k k + + − + − + + = = − + + + +
当k=I时， (1-k)(1+k+1) C+2=0,→C44=C46=.=0 Ck+2= (k+2)(k+1) I为偶数时，y)退化为次的多项式，y2c)在x=±1发散，故 应该排除y2x)； 为奇数时，y2()退化为次的多项式，y4(X)在x=±1发散，故 应该排除y(). (1-k)(1+k+1) (k+2)(k+) (1-k+2(1+k-1） k(k-1) k(k-1) 1(1-1) k=l: 2(21-1) C1, k=1-2:9-4=- 0 4(21-3)
7 ( )( ) ( )( ) 2 1 2 1 k k l k l k c c k k + − + + = − + + 当 k l = 时， 2 4 6 0, 0 l l l c c c + + + = → = = = l为偶数时，y1 (x)退化为l次的多项式，y2 (x)在x = 1发散，故 应该排除y2 (x); l为奇数时，y2 (x)退化为l次的多项式，y1 (x)在x = 1发散，故 应该排除y1 (x). ( )( ) ( )( ) 2 1 . 2 1 k k l k l k c c k k + − + + = − + + ( )( ) ( ) 2 2 1 , 1 k k l k l k c c k k − − + + − = − − ( ) ( )( ) 2 1 , 2 1 k k k k c c l k l k − − = − − + + − k l = : ( ) ( ) 2 1 , 2 2 1 l l l l c c l − − = − − k l = − 2 : ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 4 2 2 3 1 2 3 2 , 4 2 3 2 4 2 1 2 3 l l l l l l l l l c c c l l l − − − − − − − = − = − − − −
k=l-4: s=-《-。-yg=02-2000g 6(21-5) 246(21-1(21-3)(21-5) 1(1-).(1-2k+) c=（-24（2h)-(2-i021-3(21-2k+0 =(-) 11-).(1-2k+1(1-2k)(21-2k-1)H 2k(21-1)21-3）(21-2k+)2-2k-1)r(1-2k):7 I(21-2k-1)(21-2k)H 2*k(21-1)(21-2k)H(1-2k)1 =(-) I:(21-2k)(2I）H 2*k(21-1)H(2）2-*(（I-k)(1-2k)H =( （21-2k)日 1214 2Yk(1-k)(1-2k): (2)1
8 k l = − 4 : ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) 3 6 4 4 5 1 2 3 4 5 , 6 2 5 2 4 6 2 1 2 3 2 5 l l l l l l l l l l l c c c l l l l − − − − − − − − − = − = − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 4 2 2 1 2 3 2 2 1 k l k l l l l k c c k l l l k − − − + = − − − − + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 ! 2 2 1 !! 2 ! 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 !! 2 ! k k l l l l k l k l k c k l l l k l k l k − − + − − − = − − − − + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 2 2 1 !! 2 2 !! 2 ! 2 1 !! 2 2 !! 2 ! k k l l l k l k c k l l k l k − − − = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 2 2 ! 2 !! 2 ! 2 1 !! 2 !!2 ! 2 !! k k l k l l l k l c k l l l k l k − − = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ! !2 ! 2 ! ! 2 ! 2 ! l k l l l k l l c k l k l k l − = − − −
= (21-2k)1 2'(2 2'k:(1-K)1-2K):(2I)月 (2) (21-2k) 2'(9 一c-)700- 内a爱瑞4-a内-名V22 1-2k 1+1 为奇数时，k=0,12,2, (+1)/2 (21-2k)月 ()=三F)2k-k)-2 (2I-2k)! 阶勒让德多项式 21
9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ! 2 ! 2 ! ! 2 ! 2 ! l k l l l k l c k l k l k l − = − − − ( ) ( ) 2 2 ! 2 ! l l l c l 令 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ! 2 ! ! 2 ! k l k l l k c k l k l k − − = − − − l为偶数时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 2 1 0 2 2 ! 0,1,2, , , 2 2 ! ! 2 ! l k l k l k l l k k y x x k l k l k − = − = = − − − l为奇数时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 / 2 ) 2 2 0 2 2 ! 2 ! ! 2 ! l k l k l k l k y x x k l k l k + − = − = − − − 1 0,1,2, , , 2 l k + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 ! 2 ! ! 2 ! l k l k l l k l k P x x k l k l k − = − == − − − l阶勒让德多项式
问-222 (21-2k)1 2 (1=偶) r-2,N= 21 1+1 (1=奇) 综上： -]= 本征值问题. y儿=有界 =(1+1)(1=0,1,2,. 本征值. -a (21-2k月 本征函数 y(x)=cP(x)
10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 ! 2 , 2 ! ! 2 ! 1 , 2 N k l k l l k l l l k P x x N k l k l k l l − = = − == − = − − + = ， 偶 奇 综上： ( ) 2 1 1 0 x d dy x y dx dx y = − + = = 有界 = l l l ( + = 1 0,1,2, . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 ! 2 ! ! 2 ! l k l k l l k l k P x x k l k l k − = − == − − − ( ) ( ) l y x cP x = —— 本征值问题. —— 本征值. —— 本征函数