免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 一元一次不等式、整式的乘法 【同步教育信息】 本周教学内容: 预习 元一次不等式、整式的乘法 [学习目标」 掌握解一元一次不等式的方法。 2.了解解一元一不等式组的方法 3.了解幂的运算。 4.了解鍪式乘法。 5.学会用乘法公式 6学会简单的因式分群。 重点、难点 1.学习重点: (1)一元一次不等弌的解法。 (2)幂的运算。 (3)简单的因式分解 2.学习难点: (1)一元一次不等式的解法 (2)因式分解。 【典型例题】 (一)一元一次不等式的解法 1.不等式及不等式的解 用不等号“3,x取2,3,4,…等都可以,因此说2,3,4是不等式2x>3的解。而 1,-1,-2,……则不是不等式的解 2.不等式的解集: 一个不等式的所有解,组成这个不等式解的集合,简称为这个不等式的解集 求一个不等式解集的过程,就是解不等式的过程 3.不等式的简单变形 不等式的性质1:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c。 即不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不改变。 不等式的性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac>bc 不等式的性质3:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc 个即不等式质边以或除以)一个正数,不等号方同不变,不等式两边以(或除以 与解方程一样,解不等式的过程,就是要将不等式变形成为x<a或xa的形式。 例1.解不等式 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一元一次不等式、整式的乘法 【典型例题】 （一）一元一次不等式的解法 1. 不等式及不等式的解： 用不等号“”表示不等关系的式子，叫不等式。如 120x3，x 取 2，3，4，……等都可以，因此说 2，3，4 是不等式 2x>3 的解。而 x=0， 1，-1，-2，……则不是不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。 求一个不等式解集的过程，就是解不等式的过程。 3. 不等式的简单变形： 不等式的性质 1：如果 a>b，那么 a+c>b+c，a-c>b-c。 即不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不改变。 不等式的性质 2：如果 a>b，并且 c>0，那么 ac>bc。 不等式的性质 3：如果 a>b，并且 ca 的形式。 例 1. 解不等式：
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uys168.com 解:(1)不等式两边都加上7,不等号的方向不变。 月灰7F 得x不等式的两边都乘以2,不等号不变向,即: 2×-x>-3×2 得x6 不等式两边都除以-2(即乘以-1),不等号的方向改变。 声人 观察上面例1和例2,例1中不等式两边都加上或减去某一个数(或项),相当于解方 程中移项。例2中不等式两边乘以或除以一个数(或项),相当于将方程中未知数系数化为 1。只是这里如果乘(或除)负数,不等号要改变方向 4.解一元一次不等式 只含一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数次数是1,像这样的不等式叫做 元一次不等式。 例3.解下列不等式,并将其解集在数轴上标出来: 解:一 SEE x4 在数轴上表示如下: 3> 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （1）x−78；（2）3x2x−3 解：（1）不等式两边都加上 7，不等号的方向不变。 所以，x−7+78+7 得：x15 （2）不等式的两边都减去 2x（即加上-2x），不等号的方向不变。 所以，3x−2x2x−3−2x 得：x−3 例 2. 解不等式： 1 − − 1 2 x 3；2 2x6 解：不等式的两边都乘以 2，不等号不变向，即： 2 1 2 x−32 得：x−6 2 − 2 − 1 2 不等式两边都除以 （即乘以 ），不等号的方向改变。 所以，− − − 2 1 2 6 1 2 x 得：x−3 观察上面例 1 和例 2，例 1 中不等式两边都加上或减去某一个数（或项），相当于解方 程中移项。例 2 中不等式两边乘以或除以一个数（或项），相当于将方程中未知数系数化为 1。只是这里如果乘（或除）负数，不等号要改变方向。 4. 解一元一次不等式： 只含一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数次数是 1，像这样的不等式叫做一 元一次不等式。 例 3. 解下列不等式，并将其解集在数轴上标出来： 12x−14x+13 22(5x+3)x−3−3(1−2x) 解： 12x−14x+13 2x−4x+1+13 −2x14 x−7 22(5x+3)x−3−3(1−2x) 10x+6x−3−3+6x −x+10x−6x−633 3x−12 x−4 在数轴上表示如下： -7 -6 -5 -4 -3
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 例4 解: XL 3 当mn 5.一元一次不等式组的解法: 将两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组 几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组,通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,再求它们 的公共部分。利用数轴可以帮助求出不等式组的解集。 例5.解下列不等式组: (1「3x-1>2x+1 2x>8 (2) 解:(1)解不等式,得:x>2 解不等式,得:x>4 在同一数轴上表示不等式、的解集: 由上图知所求不等式解集为x>4。 (2)解不等式,得:x<-1 角! 在数轴上表示解集为 而这个不等式组的解无公共部分,所以这个不等式无解 (二)整式乘法 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com -4 -3 -2 -1 0 例 4. 当x取何值时，代数式x+ 3 4与 3x 2−1的值的差大于1？ 解： 据题意，得：x+ x− − 4 3 3 1 2 1 即：2(x+4)−3(3x−1)6 2x+8−9x+36 −7x−5 x 5 7 所以，当x取小于 7 5的任何数时，代数式x+ 3 4与 3x 2−1的值差大于1。 5. 一元一次不等式组的解法： 将两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。 如： 2 3x x 10 3 、 3 2 x x 1 x 0 3等等。 − + 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们 的公共部分。利用数轴可以帮助求出不等式组的解集。 例 5. 解下列不等式组： （ ） ； （ ） 1 3 1 2 1 1 2 8 2 2 2 1 1 1 3 1 2 x x x x x − + + − − 解：（1）解不等式，得：x>2 解不等式，得：x>4 在同一数轴上表示不等式、的解集： 2 4 （1） 由上图知所求不等式解集为 x>4。 （2）解不等式，得：x，得：x2 在数轴上表示解集为： -1 0 2 （2） 而这个不等式组的解无公共部分，所以这个不等式无解。 （二）整式乘法
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 1.幂的运算: (1)同底数幂的乘法 ∈- 例6.计算 解: (2)幂的乘方 )=a4-h"-" 可得:(a")=am(m、n为正整数 即幂的乘方、底数不变,指数相乘。 例7.计算 H(=另=6 解:(0) 一( →699s (3)积的乘方 例8.计算 解:-1) (函 ∈ 4( 2.整式的乘法: (1)单项式乘单项式 规则:单项式和单项式相乘,只要把他们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在 个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例9.计算 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1. 幂的运算： （1）同底数幂的乘法 aa(aaa a)(aa a)aa aa m n mn mn mn = = = + ………… ……+ 个 个 个 例 6. 计算： 1103104 ；2a 3 ；3a 3 a 5 解： 1103104 =103+4 =107 2aa 3 =a 1+3 =a 4 3aa 3 a 5 =a 4 a 5 =a 9 （2）幂的乘方 (a) a a a a a a n m n m m m m mm m n nm = = = …… ++ + 个 …… 个 可得：(a m ) a （m、n为正整数） n mn = 即幂的乘方、底数不变，指数相乘。 例 7. 计算： 1(10)2() 3()() 3 5 ； 3 4 ； 3 2 2 3 b y y 解： ( ) = = 1 10 10 10 3 5 3 5 15 2( 3) = = 4 34 12 b b b 3( 3)()= = y 2 y 2 3 y 6y 6 y 12 （3）积的乘方 (ab)(ab)(ab)(ab) (ab)(aaa a)(bbb)ab n n n n = nn ……=…………= 个 个 个 可得：(ab) n =a nb n（n为正整数） 例 8. 计算： 1(2)2(2)3(−)4(−3) b 3 ；a 3 2 ；a 3 ；x 4 解： 1(2)=2 =8 3 33 3 b b b 2(2 3)=2()=4 a 2 2 a 3 2 a 6 3(−)=(−1) =− 3 3 3 3 a a a 4(−3)=(−3) =81 x 4 4 x 4 x 4 2. 整式的乘法： （1）单项式乘单项式 规则：单项式和单项式相乘，只要把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一 个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例 9. 计算：
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 是(今 解:3x2y(-2xy (￠小y) =63 (须) k刘 Tbc (2)单项式与多项式相乘 规则:单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加。 例10 解:(x)( =(-2a2)3b2+(2)(5b) (3)多项式与多项式相乘 法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 例11.计算 解 x2-x-6 +3-2-1 +X-1 x2+7-3x-2b2 x2+4y-2l2 =6-s+15Xo =62+1l-O2 乘法公式 (1)两数和乘以它们的差 即两数和与它们的差的积,等于这两数的平方差。 例12.计算: 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 13x 2 y(−2xy 3)；2(−5a 2b 3)(−4b 2c) 解： 1 3 (−2 ) 2 3 x y xy = (−)( )( ) =− 3 2 6 2 3 3 4 x x yy xy 2(−5 )(−4 ) a 2b 3 b 2c =(−5)(−4) () a 2b 3b 2c =202 5 abc （2）单项式与多项式相乘 规则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。 例 10. 计算：(−2)(3−5) a 2 ab2 ab3 解： (−2)(3 −5 ) 2 2 3 a ab ab = (−2 ) 3 + (−2 )(−5 ) 2 2 2 3 a ab a ab =−6a 3b 2+10a 3b 3 （3）多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 例 11. 计算： ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + − − + − + + − 1 2 3 23121 3 3 7 42532 x x x x xyxy xyxy ； ； ； 解： 1(x+2)(x−3) = − + − = − − x x x x x 2 2 3 2 6 6 2(3x−1)(2x+1) = + − − = + − 6 3 2 1 6 1 2 2 x x x x x 3(x−3y)(x+7y) = + − − = + − x xy yx y x xy y 2 2 2 2 7 3 21 4 21 4(2x+5y)(3x−2y) = − + − = + − 6 4 15 10 6 11 10 2 2 2 2 x xy yx y x xy y 3. 乘法公式 （1）两数和乘以它们的差： (a+b)(a−b)=a 2−b 2 即两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。 例 12. 计算：
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 解 =(2)2-(3b) (2)两数和的平方: ∈u∈ TEE 这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上它们乘积的2倍 ∈白是 这就是说,两数差的平方,等于它们的平方和减去它们乘积的2倍 例13.计算: K沙= 解: 享 4.因式分解 将一个多项式化为几个整式的乘积的形式,这就是因式分解 多项式ma+mb+mc中的每一个项都含有一个相同的因式m,称之为公因式。而多项式 ma+mb+mc可以分解成为两个因式m和(a+b+c)的乘积的方法叫做提公因式法。 例14.将下列各多项式分解因式 解:领量 之DE 例15.把下列各式分解因式 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1(a+3)(a−3)；2(a+3b)(2a−3b)；3(1+2c)(1−2c) 解： 1(a+3)(a−3) = − = − a a 2 2 2 3 9 2(2a+3b)(2a−3b) =( ) −( ) = − 2 3 4 9 2 2 2 2 a b a b 3(1+2c)(1−2c) = − ( ) = − 1 2 1 4 2 2 2 c c （2）两数和的平方： (a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2+2ab+b 2 这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的 2 倍。 (a−b) 2 =(a−b)(a−b)=a 2−2ab+b 2 这就是说，两数差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的 2 倍。 例 13. 计算： （1）(23)；（2）2 ；（）( ) 2 323 2 2 2 ab a b + + xy − 解： （1）(2a+3b) 2 =(2a) 2 +2a3b+(3b) 2 =4a 2+12ab+9b 2 （2）2 () 2 2 22 22 4 2 4 2 2 2 2 2 a b a a bb a ab + b = + + = ++ （3）(2x−3y) 2 =(2x) 2 +(3y) 2−2x3y=4x 2−12xy+9y 2 4. 因式分解 将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这就是因式分解。 多项式 ma +mb+mc 中的每一个项都含有一个相同的因式 m，称之为公因式。而多项式 ma+mb+mc 可以分解成为两个因式 m 和(a+b+c)的乘积的方法叫做提公因式法。 例 而用 14. a 将下列各多项式分解因式： 2−b 2 =(a+b)(a−b)、a 22ab+b 2 =(ab) 2的方法分解因式叫做公式法。 （1）−5a 2+25a；（2）3a 2−9ab；（3）25x 2−16y 2；（4）x 2+4xy+4y 2 解： （1）5 25 5(5) −a 2+a=−aa− （2）3 9 3( 3) a 2−ab=aa−b （3）252162(5)(4)(54)(54) x−y=x 2−y 2 =x+yx−y （4）244 2222(2)(2) x+xy+y=x+xyy 2 xy 2 +=+ 例 15. 把下列各式分解因式： （1）4x 3y+4x 2 y 2+xy 3；（2）3x 3−12xy 2 解： （1）4x 3y+4x 2 y 2+xy 3 =xy(4x 2+4xy+y 2)=xy(2x+y) 2
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 本课小结] 本课先研究了一元一次不等式(组)的解法,实际上,解一元一次不等式的过程与解 元一次方程类似。不等式的变形要注意与方程的变形相对照 2.将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,可以加深对一元一次不等式和一元一次 不等式组的理解,因此同学们应首先掌握这种表示方法 3.在整式的乘法中主要应掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法及因式分解。因 式分解是以后解一元一次方程的基础。因此应理解,掌握因式分解的技巧、方法。 【模拟试题】 1.解下列不等式: (2)sHs三 (3)1∈ (4)(1-2 解下列不等式组: x+1) (1) x+2>4 (3)2 2x-6 1x+2 5 3.计算: (1)(39(4 (2)(2)(a) (3)￠x9 美与 (5) (6) (7)(22)(y)+2 (8)(e 4.因式分解 (1)am 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）3x 3−12xy 2 =3x( 2−4y 2)=3x(+2y)(x−2y) ［本课小结］ 1. 本课先研究了一元一次不等式（组）的解法，实际上，解一元一次不等式的过程与解 一元一次方程类似。不等式的变形要注意与方程的变形相对照。 2. 将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以加深对一元一次不等式和一元一次 不等式组的理解，因此同学们应首先掌握这种表示方法。 3. 在整式的乘法中主要应掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法及因式分解。因 式分解是以后解一元一次方程的基础。因此应理解，掌握因式分解的技巧、方法。 【模拟试题】 1. 解下列不等式： （1） 3x0 ； （2） 8x+15x−3 ； （3） 3(x+2)−15−2(x−2) ； （4） ( ) 1 ( ) 3 1 2 32 1 2 − − x x 2. 解下列不等式组： （1） 2( 1) 0 1 2 1 0 2 x x + − （2） 2 3 1 2 4 2 x x x + （3） 1 2 1 2 1 1 3 7 1 2 x x + − − （4） 2 6 3 1 2 5 1 4 0 2 x x x x − + − − 3. 计算： （1） (−3xy)(−4yz) （2） (−2 ) (−5 ) 2 2 3 a a （3） (x−2)(x−6) （4） (2x−1)(3x+2) （5） (−m+n)(m−n) （6） 2 3 3 4 2 x + y （7） (− )(−)+ − 2 3 1 1 3 2 x y xy x （8） (−6 ) +(−3) 2 2 3 x x x 4. 因式分解： （1） am−an+ap （2） x x 3−25
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com (3)25x2+20x+4y2 (4)3k 5.化简求值 (1)∈嗲国自其中8b=6 (2)32(2a2-4a+3)-2a(3+4),其中a=-2 6.(1)【最晶 (2)【最三 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （3） 25 20 4 2 2 x + xy + y （4） x x x 3 2 +4 +4 5. 化简求值： （1） (a−3b)+(3a+b)−(a+5b)+(a−5b) 2 2 2 2 ，其中 a=−8，b=−6 （2） 3 (2 4 3) 2 (3 4) 2 2 2 a a − a + − a a + ，其中a = − 6. （1） 已知：a+b=3，ab=2，求a 2+b 2 （2） 已知：a−b=1，a 2+b 2 =25，求ab
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 【试题答案】 1.(1)x<O (2)x≤ (3)x2 (4) 2.11 3.(1)12xy2 (2)Q (4)+2 (5)经位x(6)42+y2+s (7)x2 4.(1)n1 (2)x3-25x=x(2-25)=×(x+5(x-5) (3)(5x+2y)2 5.(1)化简后得:← (2)化简后得:他 6.(1)是最∈ 254 (2) ∈司1 解压密码联系qq1139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【试题答案】 1. （1） x0 （2） x − 4 3 （3） x 4 5 （4） x 1 2 2. （1）由1得：x−1；由2得：x 2 1，故x−1 （ （ 3 2）由）由 1 1 得：得：x x 1 0；由；由 2 2 得：得：x x 2 2，故，故无解x1 （4）由1得：x−6；由2得：x13，故−6x13 3. （1） 12 2 xy z （2） 10 7 a （3） x x 2−8+12 （4） 6 2 2 x +x− （5） −m 2+2mn−n 2 （6） 4 9 9 16 2 2 x + y +xy （7） x y xy 2 +3 （8） 9 4 x 4. （1） a(m−n+p) （2） x x x(x ) x(x )(x ) 3 2 − 25 = − 25 = + 5 − 5 （3） (5 2 ) 2 x+ y （4） x(x + 2) 2 5. （1）化简后得： 10a 2+10b 2−20ab=10(a−b) 2 =10−8(6) 2 =40 （2）化简后得： −20a 2+9a=−204+9(−2)=−98 6. （1） a 2 b 2 (ab) ab 2 +=+ −2=9−4=5 （2） ab=− 1(a−b)−(a+b)=−−= 2 1 2 2 2 2 12512