例 目录 第十一章矩量法应用 2
2 目 录 第十一章 矩量法应用
11.2二维金属目标的散射 11.2.1二维金属薄条带的散射 H 一个任意电磁场可以表示为一 个TM波和一个TE波之和 H TM(垂直极化) TE(平行极化) > 条带的EFIE(TM极化) 具有单位幅度的入射电场： E(p)= p H p =c'+snp） ysino E 均匀平面波 xcoSO Q:为什么指数项没有“-”号？ 3
3 11.2 二维金属目标的散射 11.2.1 二维金属薄条带的散射 一个任意电磁场可以表示为一 个TM波和一个TE波之和 E H k TM（垂直极化） E H k TE（平行极化） ➢ 条带的EFIE（TM极化） z y x i E i H i ρ ˆ i s ρ ˆ s L 具有单位幅度的入射电场： ( ) ( ) i i i i j ˆ j cos sin e ˆ e ˆ k k x y + = = ρ ρ E ρ z z 均匀平面波 x y xcosφ i ysinφ i Q：为什么指数项没有“-”号？
11.2二维金属目标的散射 966 对应的入射磁场为：H(p)=-pxE 波阻抗n=√μ/e 7 sincc 1)入射电场E只有向分量，故表面感应电流密度也只有向分量； 2)条带非常薄，场量函数只沿x变化，由 aEo)=i(-f.ct.r)+vJ例小 (10-21) ou 得 国-jcpe)er 因为V,A A,A,OA. 0
4 11.2 二维金属目标的散射 对应的入射磁场为： ( ) ( ) ( ) i i i i i - j cos sin i i ˆ 1 sin cos e ˆ ˆ k x y + = − = − + E H ρ ρ x y 波阻抗 = 1）入射电场Ei只有z向分量，故表面感应电流密度J也只有z向分量； 2）条带非常薄，场量函数只沿x变化，由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 2 j 1 ˆ ˆ , ' ' ' ' ' d ' S G k − = + n r E r n r r r J r J r r (10-21) 得 ( ) ( ) ( ) ( ) i 2 0 1 j , ' ' ' ' ' d ' ˆ L E x G J x J x x z z z k = + ρ ρ z =0 = x y z A A A x y z + + 因为 A
11.2二维金属目标的散射 1966 E:(x)=j@uJG(p.p).(x)dx y=0 由二维格林函数G(p,p)=-H(x-x0,得 年-1e-0 (9) y=0 用矩量法求解出了J后，散射场可以写为： E(p)=-婴J.(x)9(-x0d 大宗量近似 (r→∞) 0-omgG6ekor如 5
5 11.2 二维金属目标的散射 ( ) ( ) ( ) i 0 j , ' ' d ' L E x G J x x z z = ρ ρ ( ) ( ) ( ) 2 0 j , ' ' 4 由二维格林函数 G H k x x ρ ρ = − − ，得 ( ) ( ) ( ) i j cos 2 0 0 4 e ' ' d ' L kx z J x H k x x x = − (9) y = 0 y = 0 用矩量法求解出了Jz后，散射场可以写为： ( ) ( ) ( ) ( ) s 2 0 0 ' ' d ' 4 L E J x H k x x x z z = − − ρ 大宗量近似 （r→∞） ( ) ( ) s j s j 'cos 0 j e ' e d ' 8 k L kx E J x x z z k − = − ρ
11.2二维金属目标的散射 966 MoM求解 一脉冲基函数和点匹配法 金属条带在x方向分为N,每段△x=L/N，基函数采用脉冲基函数、权函数采 用点匹配法，由式(9)得 源点x和匹配点xm都位于各分段的中点 4 b= 1)当x,和x,m不重合时，近似处理积分 三m=Hg2(kxm-x)Ax 6
6 11.2 二维金属目标的散射 一 脉冲基函数和点匹配法 MoM求解 金属条带在x方向分为N，每段 ，基函数采用脉冲基函数、权函数采 用点匹配法，由式(9) 得 = x L N ( ) ( ) 2 2 0 2 ' d ' n n x x mn m x x z H k x x x + − = − 源点xn和匹配点xm都位于各分段的中点 i 4 j cos e kxm m b = 1）当xn和xm不重合时，近似处理积分 ( ) ( ) 2 mn m n 0 z H k x x x = −
11.2二维金属目标的散射 1956 2)当x,和x,m重合时，利用Hankel函数的小宗量近似(r→oo) (a)1-2n巡 2 2 y=1.781 二mm中的积分可以写成 11- x=△x/2 -引u(】 7
7 11.2 二维金属目标的散射 2）当xn和xm重合时，利用Hankel函数的小宗量近似（r→∞） ( ) ( ) 2 0 2 1 j ln 2 kx H kx − γ = 1.781 zmn中的积分可以写成 0 2 ' 1 j ln d ' 2 2 j ln ln 2e x k x x I x x x x x x k x x x − = − − = − + − x x = 2 2 1 j ln 4e mm k x z x = −
11.2二维金属目标的散射 966 3)处理相邻的小段时，直接计算也会产生奇异性，对矩阵元素的精度有较大 的影响。因此，对于m-n=1的情况，采用和计算zmm相同的方法，有 m Ar-jAx 2 Toeplitz矩阵 4 例金属薄条带宽度L=3,其上划分300个网格。 20 12 15 p∈[0°，90°] p=90° 10 10 8 0. 6 .10 0.0 0.5 1.01.52.02.53.0 0 20 40 6080100120140160180 位置（波长） Phi() 8
8 11.2 二维金属目标的散射 3）处理相邻的小段时，直接计算也会产生奇异性，对矩阵元素的精度有较大 的影响。因此，对于|m – n| = 1的情况，采用和计算zmm相同的方法，有 3 j 3ln ln 2 4 4 mn x k x k x z x = − − − Toeplitz矩阵 例 金属薄条带宽度L = 3λ，其上划分300个网格。 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4 6 8 10 12 14 电流密度 (mA/m) 位置 (波长) i o = 90 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -10 -5 0 5 10 15 20 RCS (dBsm) Phi (o) i o o 0 ,90
11.2二维金属目标的散射 966 二分域三角基函数和Galerkin法 由上图可知，感应电流在条带两端不为零。因此可将条带分为N-1段，每一段长 度△x=L/(N-1),共有N个三角基函数，其中完整三角N-2个、半三角2个 XXX /XX XI X2 X3 XN-2 XN-1 XN 1)当源点和场点不重合且不相邻时(m-n>1) ()f()x)dx'd 采用M点的高斯求积公式展开上式 求积节点 求积系数 之∑(，)(，)H(。-x) 9
9 11.2 二维金属目标的散射 二 分域三角基函数和Galerkin法 由上图可知，感应电流在条带两端不为零。因此可将条带分为N-1段，每一段长 度 = − x L N( 1) ，共有N个三角基函数，其中完整三角N-2个、半三角2个 1）当源点和场点不重合且不相邻时（|m – n| > 1） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ' ' d 'd m n mn m n f f z f x f x H k x x x x = − x3 x1 x2 …… xN xN-1 xN-2 采用M点的高斯求积公式展开上式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 M M mn m p m p n q n q p q p q z w x f x w x f x H k x x = = = − 求积节点 求积系数
11.2二维金属目标的散射 956 数值求积公式：∫心fx)=∑AfK)+RLfI k=0/ 求积系数 求积节点 梯形公式： [fes22a+fo= 代数精度：1 梯形公式 辛普森公式： rx≈。2fo)+4f1+f1=s 代数精度：3 高斯公式：指定求积节点，构造出更高精度的求积公式 代数精度：2n-1 复化求积公式：将求积区间分成若干小区间，应用低阶求积公式，再求和 10
10 11.2 二维金属目标的散射 ( ) ( ) [ ] 0 f x dx A f x R f n k k k b a = + = 数值求积公式： ( ) [ ( ) ( )] ( ) a b 2 b a b a f x dx f a f b T f − + = 梯形公式： 辛普森公式： ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] ( ) 6 2 b a b a a b f x dx f a f f b S f − + + + = 梯形公式 高斯公式：指定求积节点，构造出更高精度的求积公式 代数精度：1 代数精度：3 代数精度：2n-1 求积系数 求积节点 复化求积公式：将求积区间分成若干小区间，应用低阶求积公式，再求和
11.2二维金属目标的散射 956 2) 当源点和场点重合或相邻时(m-m≤1)，基函数的三角形完全重合或部 分重合，Hankel函数存在奇异性。利用小宗量近似，内层积分可以表示为 对三角形的上升部分叩，有1()太 I= Ar. j 2 2△x△x-xp 下降部分”相对于上升部分“”对称，所以上式可以计算整个三角形 “八”。将存在奇异性的矩阵元素P写为 P=f(,,) 11
11 11.2 二维金属目标的散射 2）当源点和场点重合或相邻时（|m – n| ≤ 1），基函数的三角形完全重合或部 分重合，Hankel函数存在奇异性。利用小宗量近似，内层积分可以表示为 ( ) 0 2 ' ' 1 j ln d ' 2 x p n k x x I f x x − = − 对三角形的上升部分“/”，有 ( ) ' ' n x f x x = ( ) 2 2 j ln ln 2 2 2 2 2 4 p p p p p x x x x x x k x x I x x x − = − + − − − 下降部分“\”相对于上升部分“/”对称，所以上式可以计算整个三角形 “/\”。将存在奇异性的矩阵元素P写为 ( ) ( ) 1 M m p p p P x f x I x = =