南京大学：《大学物理》课程教学资源（PPT讲座）Beam, beam, beam——无衍射光束的产生与调控

版 Nanjing University CEAS Beam,beam,Beam 无衍射光束的产生与调控 Tao Li(李涛) taoli@nju.edu.cn National Laboratory of Microstructures, College of Engineering and Applied Sciences, Nanjing University,China Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao Tao Li (李涛) taoli@nju.edu.cn National Laboratory of Microstructures, College of Engineering and Applied Sciences, Nanjing University, China Beam, beam, Beam

成 Nanjing University CEAS UNIVE Outline ▣Helmholtz Equation ▣Gaussian beam ▣Bessel beam Nondiffracting beams ▣Airy beam Mathieu and Weber beam 1 I Plasmonic counterpart 1 1 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao  Helmholtz Equation  Gaussian beam  Bessel beam  Airy beam  Mathieu and Weber beam  Plasmonic counterpart Nondiffracting beams

Nanjing University CEAS Helmholtz Equation 电磁波波动方程 72B、 1∂B 182E =0 0 c20t2 ▣代入时谐电磁场 E(,t)=E()exp(-iot) B(,t)=B()exp(-iot) ▣可得赫姆霍兹方程 V2u+k2u=0 最简单的解是：E()=E。ek 平面电磁波 平面波传播波形不改变，但它只是wave,不是beam Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.niu.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao  电磁波波动方程  代入时谐电磁场  可得 赫姆霍兹方程： 2 2 2 2 1 0 B B c t      2 2 2 2 1 0 E E c t      ( , ) ( )exp( ) ( , ) ( )exp( ) E x t E x i t B x t B x i t       2 2    u k u 0 最简单的解是：   0 ik x E x E e   平面电磁波 平面波传播波形不改变，但它只是wave，不是beam

Nanjing University CEAS (1)Gaussian beam 亥姆霍兹方程的波束解 考虑波束能量分布具有轴对称性，中间场强最大 靠近边缘强度迅速衰减。在横载面上具有这种分 布性质的最简单函数就是高斯函数： 参数w表示光束的宽度 波束宽度通常还是z的函数 波幅通常也是z的函数，我们以(xy,z)代表电磁 场任意直角分量，它可以具有如下形式 u(x,y,z)=g(z)ete Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.niu.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 考虑波束能量分布具有轴对称性，中间场强最大， 靠近边缘强度迅速衰减。在横截面上具有这种分 布性质的最简单函数就是高斯函数： 亥姆霍兹方程的波束解 2 2 2 x y w e   参数w表示光束的宽度 波束宽度通常还是z的函数 波幅通常也是z的函数，我们以u(x,y,z)代表电磁 场任意直角分量，它可以具有如下形式 2 2 ( )( ) ( , , ) ( ) f z x y ikz u x y z g z e e   

Nanjing University CEAS u(x,y,z)=g(z)e-r(=Xx'+y)e 式中e表示以来与z的主要因子，剩下的因子中 还有对z的缓变函数g(z)和z), 因子fr+)是限制波束的空间宽度的因子。 因子g(z)主要表示波的振幅，同时也含有传播因 子中与纯平面因子e偏离的部分。令 (x,y,2)=8(z)ef(er+y2) 它满足z的缓变振幅近似。 因此它对z的展开式中 的高次项可以忽略。 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 式中 表示以来不z的主要因子，剩下的因子中 还有对z的缓变函数g(z)和f(z)， 因子 是限制波束的空间宽度的因子。 因子g(z)主要表示波的振幅，同时也含有传播因 子中与纯平面因子 偏离的部分。令 2 2 ( )( ) ( , , ) ( ) f z x y  x y z g z e    2 2 ( )( ) ( , , ) ( ) f z x y ikz u x y z g z e e    ikz e 2 2 f z x y ( )( ) e   ikz e 它满足z的缓变振幅近似。因此它对z的展开式中 的高次项可以忽略

Nanjing University CEAS 根据亥姆霍兹方程 V2u+k2u O 将 (x,y,z)=(x,y,z)e代入 得到 忽略对z求导的高次项得到 十 +2ik =0 0y2 0z 傍轴波动方程 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao ( , , ) ( , , ) ikz u x y z x y z e   2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0 ik k k x y z z                     根据亥姆霍兹方程 将 代入 得到： 2 2    u k u 0 忽略对z求导的高次项得到 2 2 2 2 2 0 ik x y z             傍轴波动方程

Nanjing University CEAS 将的试探解形式代入 (x2+y2)[2g2-ikg]-[2g-ig]=0 上式要对任意xy都成立，必须两括号内都为零 2f2=f (1) 2.fg ikg (2) 上式（1)的解形式为 f(z)= 2i 4+ k Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 2 2 2 ( )[2 '] [2 '] 0 x y gf ikgf fg ikg      2 2 ' (1) 2 ' (2) f ikf fg ikg      将的试探解形式代入 上式要对任意x,y都成立，必须两括号内都为零 上式（1）的解形式为 1 ( ) 2 f z i A z k  

版 Nanjing University CEAS 对比(1)（2)式，可以看出g(☑)=z)x常数 8()= 40 2i 1+ kA 将孔☑)变换，得到 2i f(z)= (A- 4z2 k 令 A=wo A0+ +=-(忌】 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 对比（1）（2）式，可以看出g(z)=f(z)常数 将f(z)变换，得到 0 ( ) 2 1 u g z i z kA   2 2 2 1 2 ( ) ( ) 4 (1 ) i f z A z z k A k A    令 2 A w 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 2 ( ) (1 ) [1 ( ) ] z z w z A w k A kw    

Nanjing University CEAS 2iz 则： f(2)= 1 w）l- 那么高斯函数变为 exp 同样（☑可以写为 8(a)= 46 e-io 三o Wo e-io 22 W 1+( 其中 arctan( Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 则： 那么高斯函数变为 同样g(z) 可以写为 2 2 0 1 2 ( ) (1 ) ( ) iz f z w z kw   2 2 2 2 ( )( ) 2 2 0 2 exp (1 ) ( ) f z x y x y iz e w z kw             0 0 0 2 2 0 ( ) 2 1 ( ) u w i i g z e u e z w kw        2 0 2 arctan( ) z kw 其中  

成到 Nanjing University CEAS UNIVE 最终得到光束场强函数 x2+y2 Woe (x,y,z)=4o e W 其中 Φ=kz+- k(x2+y2) D 】 w心日=wi+(表r Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 最终得到光束场强函数 其中 2 2 2 0 0 ( , , ) x y w w i u x y z u e e w      2 2 2 0 2 ( ) 2 1 ( ) 2 k x y kz kw z z              2 2 2 0 2 0 2 ( ) [1 ( ) ] z w z w kw  