电子科技大学：《高等电磁场理论 Advanced Electromagnetic Field Theory》课程教学资源（课件讲稿）第6章 球坐标系中的场与波 Spherical Wave Functions

Time-Harmonic Electromagnetic Fields 4 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 3a6 958 Chapter 6 Spherical Wave Functions 球坐标系中的场与波 梁锋 物理学院应用物理研究所 办公室：清水河校区物理楼443# 邮箱：fengliang(@uestc..edu.cn 1

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 1 梁锋 物理学院应用物理研究所 办公室：清水河校区物理楼443# 邮箱：fengliang@uestc.edu.cn Chapter 6 Spherical Wave Functions Time-Harmonic Electromagnetic Fields 球坐标系中的场与波

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /958 6.1波函数 6.1.1球坐标系下的分离变量法 将标量Helmholtz方程在球坐标系下分离变量 72y+k2w=0→ sin +w=0 令w=R(r)H()①()代入上述方程得 2

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4 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab 968 +[(kr)2-(n+1)mR=0 球Bessel方程 1 sin0 do g(coino an )(i 连带勒让德方程 d2Φ +m2Φ=0 谐方程 dΦ 三个方程对应的解为 R)→球Bewd函数(a),么()=无R（) H(0)→连带勒让德函数L”(cosO), I (cos0)-p(cos0),O(cos0) 3

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 3 球Bessel方程 连带勒让德方程 谐方程

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab /956 Φ()→谐函数h(m) h(m)~sin(mo),cos(mo),eme,e-m p方向的周期特性h(mp)=hm(+2π)]要求m为整数。 由此得到球坐标系下的基本波函数 Vmn=b (kr)Im (cose)h(mo) 6.1.2波函数的讨论 波函数的线性组合（级数或积分）构成原亥姆霍兹方程的解 y=∑∑Cmnb(kr)L(cos0)h(mp) m n

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 4 ϕ方向的周期特性 h ( m ϕ)= h [ m ( ϕ+2 π)]要求 m为整数

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab 968 针对实际物理意义对基本波函数中各项作具体讨论 ①h(mp）)~sin(mp),cos(mp),em,em 若场与无关，即沿φ方向旋转对称，则0，h(mp)=1 ②L(cos9),若波函数在O取0到π之间为有限值， 则L”(cos0)P"(cos0)且n为整数， 而2(cos0)在0=0,0=π时有奇异性 (无穷大值)》 (P468图E-2) 故绝大部分实际问题均取P"(cos)，n为整数 5

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 5 若场与 ϕ无关，即沿 ϕ方向旋转对称，则 m=0, h ( m ϕ)=1

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /958 P"(cos)=0,m>n,故通常取m≤n。 当m=0时意味着关于中对称，此时 P(cos0)记作Pn(cos)。 ③b()对实数k,jn(r和nn()为驻波， h,(m）为内行波，h2(）为外行波。 特别的，当n=0时()=兰 9, -cos() 花， j 6

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电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab 1958 若要求在r=0处为有限值，bn(r)应取jn(r)。 例1：球内有限场ymn=jn(kr)P,"(cos)em,m,n为整数 例2：球外有限场ymn=hn2(kr)P(cos0)em,m,n为整数 7

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电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab /958 6.1.3球坐标系下解的构造 方法1：以z方向的波函数w作为势函数 A=iw=iiw cos0-iwsin0,TM. F=iy=i,w cos0-iowsine,TE. 72w+k2w=0→ wm.n=b(kr)Pm(cose)h(mo) w=∑∑Cmb(ar)Pm(cosB)h(mo) 8

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 8  ,     cos    m mn n n b kr P h m     ,   cos     m mn n n m n C b kr P h m

E=-VxF+-1VxVxA j08 立用团队，CEMLAB /956 H=Vxd+-1 VxVxF jou 可以进一步求解各场分量（习题6-1）TM,模A=,F=0 E=-0wco0s0+太品[99品）-，s0品 sin) Ee-jwut sin jwer0 1 a [cos 0 d 9r20r 2w-,sin] r sin 0 00 1 cos 0 a E=jwer sin H,= 1 ov ra中 cot 0 ay He TM模 ·0b h。=,[sin0品w)+g0coso]

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电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab /956 方法2：以r方向的波函数作为势函数（更常用） A=i,A(TM模)，F=i,F,(TE,模) 4和E满足标量Helmholtz方程 (+)）2=0 2+=0 其解为 A or F=>CB,(kr)p"(cose)h(m) m.n 其中 庄=b（-空8) Riccati-Besseli函数 (黎卡提Besseli函数) 10

电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 10 Riccati-Bessel函数 (黎卡提Bessel函数） , , ˆ or (cos )   n ( )  ( )  m r r mn n m n AF C P h B kr m 1 2 ˆ () () () 2 n n n kr B kr krb kr B kr     其解为 其中   2 2  r 0， A k r 2 2 ( )0 Fr k r    （更常用）