南京大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课件讲稿）预备知识——矢量场论复习（李涛）Preliminary Knowledge - Revise in the Vector Field Theory

第0章 预备知识一矢量场论复习 Preliminary Knowledge- Revise in the Vector Field Theory

——预备知识—矢量场论复习 Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory 第 0 章

本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要 概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三 者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem和Stokes theorem,以及二阶 微分运算和算符： 运算的重要公式

本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要 概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三 者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶 微分运算和算符 运算的重要公式

主要内容 ◆标量场的梯度 又算符 ◆矢量场的散度 高斯定理 ◆矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中V运算的表达式 ◆二阶微分算符 格林定理 ◆张量及其运算

主要内容  标量场的梯度 算符  矢量场的散度 高斯定理  矢量场的旋度 斯托克斯定理  在正交曲线坐标系中 运算的表达式  二阶微分算符 格林定理  张量及其运算

§0-1标量场的梯度，V算符 Gradient of Scalar Field. Operator V

§0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator  

1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场

1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场

2、方向导数Directional Gradient) 方向导数是标量函数()在一点处沿任意方向7 对距离的变化率，它的数值与所取ī的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向， P是这个方向线上给定的一点，P为同一线上邻近的 一点

2、方向导数(Directional Gradient) 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向， P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的 一点。 l  (x)   l  Pl l  l  P1 P2 l 

△1为p2和p之间的距离，从p沿7到p2的增量为 △p=p(p2)-p(p1) 若下列极限 lim △g=lim (P2)-p(p) △1-→0 △1 △1→0 △1 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场()在 p处沿的方向导数。 3、梯度(Gradient) 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 0()在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过

为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在 p1处沿 的方向导数。 3、梯度(Gradient) 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 l  ( ) ( ) 2 1    p   p l p p l l l          ( ) ( ) lim lim 2 1 0 0    l  (x)   Pl l  (x)   l

该点沿某一确定方向取得()在该点的最大方向导 数，则可引进梯度概念。记作 grado=V= 六 On 称之为o()在该点的梯度（grad是gradient缩写)， 它是一个矢量，其大小gdp上需-(，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向，即分 表示。 方向导数与梯度的关系：

该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导 数，则可引进梯度概念。记作 称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系： (x)   n n ˆ grad          (x)   max | grad | ( ) n l         n ˆ 

Po i P P2 等值面 等值面p=C2 0=C1 是等值面p=C1上P点法线方向单位矢量。它指 向0增长的方向。表示过P2点的任一方向。 显见，当pP2→0，pP→0时， PP:=Pto cos0

是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指 向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 显见， n ˆ  l  1   c  . cos 0 , 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0  p p p p p p p p  当   时 p1 p0 p2 n ˆ  l  等值面 等值面 1   c 2   c θ

所以 00 -lim p(P2)-p(P) alR P1P0-→0 P P2 =cos0lim号 (Po)-P(P) PIPo PiPo =c0S0 ap On 即 00 cos0 6o al On

所以 即 1 1 0 1 0 1 cos ( ) ( ) cos lim ( ) ( ) lim 1 0 0 1 1 2 2 1 0 p p p p p P n p p p p p p p p l                   l n        cos