电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，有限差分法）第6章 时域有限差分法 III 6.4 应用举例（II）

计算电磁学（小班研讨课 ) 956 目 录 第6章时域有限差分法Ⅲ 6.4应用举例(1) 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 第6章 时域有限差分法 III 6.4 应用举例（II）

计算电磁学 第6章时域有限差分法I 应用 3

3 第6章 时域有限差分法 III ——应用 计算电磁学

6.4应用举例(I) 966 ◆波导元件的高效分析 区域1（三维） 连接区 区域3（三维） k >波导元件含不连续性结 构，相邻不连续性之间 由均匀波导连接 >混合FDTD分析方案 ■不连续性结构：数值 法求解；采用三维 FDTD差分格式 E→VV→E V→EE→V ■均匀波导：用解析模 ↓↑ 区域2（一维） 式展开波导中的电磁 第1个模 场；待定的模式展开 系数用数值法求解， 采用沿传播方向的一 第n个模 k,+1 维差分格式 4

4 6.4 应用举例(II) 波导元件的高效分析  波导元件含不连续性结 构，相邻不连续性之间 由均匀波导连接  混合FDTD分析方案  不连续性结构：数值 法求解；采用三维 FDTD差分格式  均匀波导：用解析模 式展开波导中的电磁 场；待定的模式展开 系数用数值法求解， 采用沿传播方向的一 维差分格式 区 域 1 （ 三 维 ） z 1 1 k 2 k f k 连接区 区域3 （ 三 维 ） z yx E V  V E  V E  E V  区域2（一维） 第1个模 第n个模 1 k 1 k 1 2 k 2 k 1

6.4应用举例(I) 966 >均匀波导区（区域2：k从k1-1到k2+1) 区域1（三维） 连接区 区域3（三维） k ■横向电磁场分量 (6.103)E,(x,y2,)=∑n(,t)e(x,y) (6.104) H,(x.y,=,t)=>1(=,t)h,(x.y) en和h,是正交归一化的模式本征矢量 ■ 电磁场振幅（等效电压Vn和电流In)与场分布的关系 (6.105) V(,t)=E,(x,y,=,t)-e(x.y)dxdy ↓↑ EVV->E (6.106) I(t)=H,y.t)h(x)dxdy 区域2（一维） 第1个模 S是波导的横截面 ■Vn和ln均满足微分方程 8105-k足，=0 第n个模 0z2c602 k。,是第n个模式的本征值，C0是真空中的波速，fn代表第n个模式在z坐标处的时变振幅 5

5 6.4 应用举例(II)  均匀波导区(区域2：k从 k1-1到k2+1)  横向电磁场分量 (6.103) (6.104) 和 是正交归一化的模式本征矢量  电磁场振幅(等效电压Vn和电流In)与场分布的关系 (6.105) (6.106) S是波导的横截面  Vn和In均满足微分方程 是第n个模式的本征值，C0 是真空中的波速，fn代表第n个模式在z坐标处的时变振幅 区域1（三维） z 1 1 k 2 k f k 连接区 区域3（三维） z yx E V  V E  V E  E V  区域2（一维） 第1个模 第n个模 1 k 1 k 1 2 k 2 k 1 ( , , , ) ( , ) ( , ) t n n n E e x y z t V z t x y  ( , , , ) ( , ) ( , ) t n n n H h x y z t I z t x y  n e hn ( , ) ( , , , ) ( , )d d n t n S V z t x y z t x y x y    E e ( , ) ( , , , ) ( , )d d n t n S I z t x y z t x y x y    H h 2 2 2 2 2 2 c 0 1 0 n n n n f f k f z c t        cn k

6.4应用举例(I) 966 >均匀波导区（区域2：k从k1-1到k2+1) 区域1（三维） 连接区 区域3（三维） k ■中心差分格式 ●展开点：z=k△z,t仁l△t (fi-2) 43 -c6△tk3nfh+2f品-f 分别对每一个模式进行简单而快速的一维FDTD分析 EVV>E E ■模式的数量 区域2（一维） ●源的频带范围 第1个模 ●参考平面距不连续性结构的距离 参考平面靠近不连续性 第n个模 →减小三维FDTD分析的范围 →同时却增加了波导段一维分析必须包含的模式数 6

6 6.4 应用举例(II)  均匀波导区(区域2：k从 k1-1到k2+1)  中心差分格式  展开点：z=kz, t=lt 分别对每一个模式进行简单而快速的一维FDTD分析  模式的数量  源的频带范围  参考平面距不连续性结构的距离 参考平面靠近不连续性  减小三维FDTD分析的范围  同时却增加了波导段一维分析必须包含的模式数区域1（三维） z 1 1 k 2 k f k 连接区 区域3（三维） z yx E V  V E  V E  E V  区域2（一维） 第1个模 第n个模 1 k 1 k 1 2 k 2 k 1   2 2 1 0 , , 1 , , 1 2 2 2 2 1 0 c , , , 2 2 l l l l n k n k n k n k l l l n n k n k n k c t f f f f z c t k f f f             

6.4应用举例() 966 不连续性结构区 区域1（三维） 连接区 区域3（三维） (区域1：k从1到k1;区域3：k从k2到kf) ■应用普通的三维FDTD分析 ■连接区（交叠区） ●实现三维FDTD分析与一维FDTD分析信 息交换 ●区域边界无法用FDTD方程，缺界外信息 E-V V→E V>E ■连接条件 区域2（一维） ●在k1处应用(6.103)和(6.104)，由波导 第1个模 内的电压和电流振幅可算出不连续性区域 端面上的场分布(V→E) 在k1-1处应用(6.105)和(6.106)，将不 第n个模 ,+ 连续性区域内的场分布转换为波导端面的 电压和电流振幅(E→V) 7

7 6.4 应用举例(II)  不连续性结构区 （区域 1 ： k 从 1 到 k 1; 区域 3 ： k 从 k 2 到 k f )  应用普通的三维FDTD分析  连接区（交叠区）  实现三维FDTD分析与一维FDTD分析信 息交换  区域边界无法用FDTD方程，缺界外信息  连接条件  在k1处应用(6.103 ) 和(6.104 ) ，由波导 内的电压和电流振幅可算出不连续性区域 端面上的场分布（ V  E ）  在 k 1 - 1 处应用 (6.105) 和(6.106 )，将不 连续性区域内的场分布转换为波导端面的 电压和电流振幅（ E  V ） 区 域 1 （ 三 维 ） z 1 1 k 2 k f k 连接区 区域3 （ 三 维 ） z yx E V  V E  V E  E V  区域2（一维） 第1个模 第n个模 1 k 1 k 1 2 k 2 k 1

6.4应用举例(I) 966 >混合FDTD仿真步骤 区城1（三推） 连接区 区域3（三维） ■对t循环的每一步， 步骤1k=)~k-2 和k=k+ -k2 刷新H场分量 (三维) 步骤2 应用H的边界条件 步骤3 k=2~k-1和k=k2+1~k,-1 区2（一）↑ 刷新E场分量 (三维) 第1个模 步骤4 k=k~k, 刷新电压Vn(对n个模式均要进行) (一维) 第m个模 k-1 步骤5 V(k)→E(k),V(k2)→E(k)(分区边界点计算) 与普通FDTD分析过程的区别在步骤4~6 步骤6 E(k-1)→V(k-1),E(k+1)→V(k+1) ■ 将波导段的n模一维时间步进嵌入整体三 (分区边界点计算) 维FDTD之中 波导区的计算只用到电压振幅，也可只用 步骤7应用E的边界条件 电流振幅进行 8

8 6.4 应用举例(II)  混合FDTD仿真步骤  对 t 循环的每一步， 步骤1 刷新H场分量 (三维) 步骤2 应用H的边界条件 步骤3 刷新E场分量 (三维) 步骤4 刷新电压Vn（对n个模式均要进行） (一维) 步骤5 (分区边界点计算) 步骤6 (分区边界点计算) 步骤7 应用E的边界条件  与普通FDTD分析过程的区别在步骤4～6  将波导段的n模一维时间步进嵌入整体三 维FDTD之中  波导区的计算只用到电压振幅，也可只用 电流振幅进行 区域1（三维） z 1 1 k 2 k f k 连接区 区域3（三维） z yx E V  V E  V E  E V  区域2（一维） 第1个模 第n个模 1 k 1 k 1 2 k 2 k 1 1 2 1 1 1 1 ~ + ~ 2 2 2 2 f k k k k k     和 1 2 2 ~ 1 1 ~ 1 f k k k k k      和 k k k  1 2 ~ 1 1 2 2 V k E k V k E k ( ) ( ), ( ) ( )   1 1 2 2 E k V k E k V k ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)      

6.4应用举例(I) ◆传输线问题的降维处理 >有耗传输线中的电磁场分量 E.EE.(x.y.=)=fesee.(x.y.t)em HH.H.(x.y.=t)=(hhh (x.y.t)e ■ae→-(a+j）:(a+jB)~o;与特定的a+j)相对应，ey-(x,y,t）~ex-(x,y)eom ■仁x,ey,e:,h,h,h}随时间的变化为稳态振荡，即随时间步进这些场分量的振幅保持为常数 >横向二维麦克斯韦方程（σ是传输线导体的电导率) de=1h+(a+jp)h,-oe. a+】 (a+jp)e. 8t Ox ohs-ce. Oy OL 9

9 6.4 应用举例(II) 传输线问题的降维处理  有耗传输线中的电磁场分量  ； ；与特定的(+j)相对应，  随时间的变化为稳态振荡，即随时间步进这些场分量的振幅保持为常数  横向二维麦克斯韦方程（是传输线导体的电导率）        j  , , , , , , , , , z E E E x y z t e e e x y t e x y z x y z              j  , , , , , , , , , z H H H x y z t h h h x y t e x y z x y z            z j        j  ~   , ,   , , , , ~ , j t x y z x y z e x y t e x y e  ex , ey , ez , hx , hy , hz    1 j x z y x e h h e t y                     1 j y z x y e h h e t x                    z 1 y x z e h h e t x y                    1 j x z y h e e t y                    1 j y z x h e e t x                               x e y e t hz x y  1

6.4应用举例(I) ◆传输线问题的降维处理 (i+1,) (i+L,j+1) e e >横向二维FDTD方程 ■二维FDTD差分网格（三维Yee网格向x-y平面垂直投影） ■ 差分方程（其它四个差分方程可以类似地得到） (i,) (0,j+1) △i (+分+》-(+3-】 +e+jp)g(+分J 28 +2 28 uto母ar号】 10

10 6.4 应用举例(II) 传输线问题的降维处理  横向二维FDTD方程  二维FDTD差分网格（三维Yee网格向x-y平面垂直投影）  差分方程（其它四个差分方程可以类似地得到）   1 1 2 2 1 1 2 1 , 2 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 , , 2 2 2 2 1 1 2 2 , , 2 2 1 1 , , 2 2 j 1 1 1 1 2 , 2 , 2 2 n n z z n n x x n y i j t t h i j h i j i j i j e i j e i j y i j t i j t h i i j i j                                                                                                           1 , 2 j                   1 1 2 2 1 1 1 , 1 , , , j , 2 2 2 1 , 2 n n n n n z z x x y t e i j e i j h i j h i j e i j y i j                                                x e y h x e y h x h y e y e x h z e z h z e z e z e ( , ) i j ( , 1) i j  ( 1, ) i j  ( 1, 1) i j  

6.4应用举例(I) 956 ◆传输线问题的降维处理 >有耗平行板传输线 ■导体导电率为。，导体间距为d,导体之间的介质为（￡0,40） 有耗导体(Cu) ■a/ay=0,横向二维FDTD算法退化为横向一维FDTD算法(x) 4%,6o,0=5.6×10'(2m) ■对主模，电磁场只有EX、Ez和Hy三个分量 自由空间 ■一维麦克斯韦方程 4,60 [(a+j)h,-oe,] e.(i+1) 有耗导体(Cu) 8t 4,60,0=5.6×10'(2m) e-1「h, -Ge: △x=δmn/9 Ot 8 Ox 6mn=0.67um h1[ fins =10GHz at +(@+jp)e. d=60△x nmax =120 一维FDTD差分网格→ e.(i e.(nmx+1)=e.(nnas） 11

11 6.4 应用举例(II) 传输线问题的降维处理  有耗平行板传输线  导体导电率为，导体间距为d，导体之间的介质为  𝝏 𝝏𝒚 = 𝟎,横向二维FDTD算法退化为横向一维FDTD算法(x)  对主模，电磁场只有Ex、Ez和Hy三个分量  一维麦克斯韦方程  一维FDTD差分网格  ( , ) 0 0    1 j x y x e h e t              z 1 y z e h e t x                 1 j y z x h e e t x                 z x d i E 有耗导体(Cu) 7 1 0 0    , , 5.6 10 ( m)    有耗导体(Cu) 7 1 0 0    , , 5.6 10 ( m)    自由空间 0 0  , 1 2 x e i        1 2 y h i        e i z  1 e i z   max f 10GHz min    0.67 m d  60x 120 nmax      max max e n 1 e n z   z x   min / 9