电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，矩量法）第10章 积分方程 10.1 积分方程和格林函数

计算电磁学 (小班研讨课) 966 目录 第十章积分方程 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 第十章 积分方程

10.1积分方程和格林函数 1966 10.1.1积分方程的推导 >有源区域，媒质均匀且各向同性，频域Maxwell7方程 V×E=-joB-M V×H=joD+J (1) V.D=ge V.B=gm Q1:Maxwell7方程组各方程的来历？哪一项是Maxwell的贡献？ Q2:自然界不存在磁流和磁荷，采用广义Maxwell7方程组的好孜处？ Q3:四个方程是否都是独立的？ Q4:直角坐标系下，(1)中有多少个方程，多少个未知数？是否能够求解？ 3

3 10.1 积分方程和格林函数 10.1.1 积分方程的推导 ➢ 有源区域，媒质均匀且各向同性，频域Maxwell方程 Q1：Maxwell方程组各方程的来历？哪一项是Maxwell的贡献？ Q2：自然界不存在磁流和磁荷，采用广义Maxwell方程组的好处？ Q3：四个方程是否都是独立的？ Q4：直角坐标系下，(1)中有多少个方程，多少个未知数？是否能够求解？ (1)   = − − E B M j   = + H D J j e   = D q m   = B q

10.1积分方程和格林函数 >电流（磁流） 连续性定理 V.J=-jage (2) V.M=-j0gm >本构关系 D=8E B=uH (3) >边界条件 -nx(E2-E)=M、 媒质2 nx (H2H=J 777777777777 (4) 媒质1 n.(D2-D)=qe n-(B2-B)=9m Q:理想导体的边界条件是什么？ 4

4 (2) 10.1 积分方程和格林函数 ➢ 电流（磁流）连续性定理 e   = − J jq m   = − M jq ➢ 本构关系 D E =  (3) B H =  ➢ 边界条件 -n E E M  − = ( 2 1 s ) n H H J  − = ( 2 1 s ) 媒质 n 2 媒质1 n D D  − = ( 2 1 e ) q n B B  − = ( 2 1 m ) q (4) Q：理想导体的边界条件是什么？

10.1积分方程和格林函数 966 理想导体的边界条件 -n×E,=0 媒质2 n×H2=Js (5) 媒质1-理想导体(PEC) n.D2=ge nB2=0 积分方程又称为辐射公式 辐射问题 散射（二次辐射）问题 5

5 10.1 积分方程和格林函数 媒质 n 2 媒质1- 理想导体（PEC） 2 - 0 n E = n H J  =2 s 2 e n D = q 2 n B = 0 理想导体的边界条件 (5) 积分方程又称为辐射公式 辐射问题 J M 散射（二次辐射）问题 J M J0 M0

10.1积分方程和格林函数 966 只考虑电流源和电荷的存在，式(1-1)两边分别取旋度，并代入式(1-2)，得 VxVxE-0'ugE=-jouJ (6) 由矢量恒等式VxV×A=V(仅·A)-VA,得 V(7·E)-V2E-k2E=-joJ 其中，波数k=o√G 由式(1-3)，有7(V.E)=Vq./s,代入上式得 VE+kE=joul+Vd 再由式(2-1)，得到矢量亥姆霍兹方程 VE+kE=jouJ-V(V-J) (7) 10E Q:亥姆霍兹方程和波动方程的区别？ 6

6 10.1 积分方程和格林函数 只考虑电流源和电荷的存在，式(1-1)两边分别取旋度，并代入式(1-2)，得 2    − = − E E J    j (6) 由矢量恒等式  =   −  A A A ( ) 2 ，得 ( ) 2 2   − − = − E E E J k j 其中，波数 k =  由式(1-3)，有   =  ( E) qe  ，代入上式得 2 2 e j q k     + = + E E J 再由式(2-1)，得到矢量亥姆霍兹方程 ( ) 2 2 j j k      + = − J E E J (7) Q：亥姆霍兹方程和波动方程的区别？

10.1积分方程和格林函数 1966 当已知电流源J求解电场E时，不易直接求解方程(7)。 >J是点源的叠加 >如果点源的解已知，原问题的解就是在一定空间范围内对点源的响应进行积分 引入格林(Green)函数G,其满足标量亥姆赫兹方程 V2G(,r)+k2G(,=-6(r,r） 点源的场 源点场点 点源 问题转换成如何求解G 如果G已知，可得到电场积分方程 Eo=-jo则GrJr)+是vJ)d (8) 同理 =-joecrrMr)+vM)d (9) 7

7 10.1 积分方程和格林函数 当已知电流源 J 求解电场 E 时，不易直接求解方程(7)。 ➢ J是点源的叠加 ➢ 如果点源的解已知，原问题的解就是在一定空间范围内对点源的响应进行积分 引入格林（Green）函数G，其满足标量亥姆赫兹方程 ( ) ( ) ( ) 2 2  + = − G k G r r r r r r , ' , ' , '  点源的场 源点 场点 点源 如果G已知，可得到电场积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 j , ' ' ' ' ' d ' V G k    = − +         E r r r J r J r r 同理 (8) ( ) ( ) ( ) ( ) (9) 2 1 j , ' ' ' ' ' d ' V G k    = − +        H r r r M r M r r  问题转换成如何求解G

10.1积分方程和格林函数 966 10.1.2三维格林函数 目标：求解标量亥姆霍兹方程 V2G(r,r)+k2G(r,r)=-6(r,r) (10) 三维球坐标系(1，p,)下，点源产生的场为球对称，与坐标0和无关 apce算子：vc={r) d'G 2dG Q:场与坐标0和无关，数 dr2r dr 学运算上表现是什么？ 又因为 d'G,2dG r dr vG=ld'(rG) r dr2 代入(10)的齐次方程中，得 d'(rG) dr2 +k2(G)=0 P

8 10.1.2 三维格林函数 10.1 积分方程和格林函数 目标：求解标量亥姆霍兹方程 ( ) ( ) ( ) 2 2  + = − G k G r r r r r r , ' , ' , '  (10) 三维球坐标系(r, φ, θ)下，点源产生的场为球对称，与坐标φ和θ无关 2 2 2 2 2 1 d d d 2 d d d d d G G G G r r r r r r r    = = +     Laplace算子： ( ) 2 2 2 2 1 1 d d d 2 d d d d d d d rG G G G r G r r r r r r r r   = + = +     又因为 ( ) 2 2 2 1 d d rG G r r  = ( ) ( ) 2 2 2 d 0 d rG k rG r + = 代入(10)的齐次方程中，得 Q：场与坐标φ和θ无关，数 学运算上表现是什么？

10.1积分方程和格林函数 966 该齐次方程的通解可以表示为 外向波 ·内向波（舍去） G=A r=r-r' G=A- (11) 利用边界条件，可以确定格林函数的唯一解，即求得4。 >r→o时，G满足趋于0（数学上和物理上都成立） >r0时，G也要成立 下面以此边界条件来推导A 9

9 10.1 积分方程和格林函数 该齐次方程的通解可以表示为 j j e e kr kr G A B r r − = + 外向波 内向波（舍去） r = −r r' j e kr G A r − = 利用边界条件，可以确定格林函数的唯一解，即求得A。 (11) ➢ r →∞ 时，G 满足趋于0 （数学上和物理上都成立） ➢ r →0 时， G 也要成立 下面以此边界条件来推导A

10.1积分方程和格林函数 96 将式(11)代入方程(10)，并且两边取体积分，得 dv=S[-6(r,r)]dv (12) 点源 第1项 第2项 =-1 对第1项：利用散度定理∫7·AdW=∮，nAdS,得 v）r-u,s Q:散度定理的物理意义是 什么？ n即径向r a很小，对dS的积分即为球的面积 =4πa 10

10 10.1 积分方程和格林函数 a n 点源 将式(11)代入方程(10)，并且两边取体积分，得 ( ) j j e e 2 d , ' d kr kr V V A k V V r r  − −      + = −              r r 第1项 第2项 = -1 对第1项：利用散度定理 V   AdV =  S n AdS ，得 j j j j 2 e e d d e d e 4 kr kr V S kr S kr r a V S r r S r r a r r  − − − − =       =             =           =             n Q：散度定理的物理意义是 什么？ n 即径向 r a 很小，对dS 的积分即为球的面积 (12)

10.1积分方程和格林函数 966 a→0时，得 a->0 [】- =Lim(-4πa-4π） a→0 =-4π 对第2项： dV=4πr2d d zkredr 查积分表 lim o redr=lime (h-或=0 ej而 11

11 10.1 积分方程和格林函数 a →0时，得 ( ) j j j 2 2 2 0 0 0 e j e e Lim 4 Lim 4 Lim 4 4 4 kr kr kr a a r a a kr a a r r r a      − − − → → = →    − −         =          = − − = − 1 a 2 1 a 对第2项： j j 2 2 2 0 2 j 0 e e d 4 d 4 e d kr kr a V a kr k V k r r r r k r r   − − − = =    2 d 4 d V r r =  ( ) ( ) j j 2 0 0 0 0 e lim e d lim j 1 0 j kr a a kr a a r r kr k − − → → = − − = − 查积分表  r dr