电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，有限差分法）第7章 无条件稳定的FDTD方法 7.1 ADI-FDTD法

计算电磁学 (小班研讨课) 目录 第7章无条件稳定的FDTD方法 7.1ADI-FDTD法 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 第7章 无条件稳定的FDTD方法 7.1 ADI-FDTD法

计算电磁学 966 第7章无条件稳定的FDTD方法 3

3 第7章 无条件稳定的FDTD方法 计算电磁学

7.1ADI-FDTD法 966 ◆传统的FDTD法 >显式差分方法 >解的过程必须满足稳定性条件：△X、△y、△z-→△t >应用受限→例如：微细结构 ■△x、△y、△z:(1)1/10~1/20波长；(2)结构的最小几何特征尺寸，极小，与(1)有数量级差异 ■△t极小→计算所需的时间步进数极大 ◆隐式差分格式 >无条件稳定；时间步长仅受数值误差的限制 >需要矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大 ◆交变隐式差分方向(alternating-direction implicit,.ADl)FDTD法 >隐式差分格式的无条件稳定性+显式差分格式计算相对简单 >基本思想？ 4

4 7.1 ADI-FDTD法 传统的FDTD法  显式差分方法  解的过程必须满足稳定性条件：x、y、zt  应用受限例如：微细结构  x、y、z：（1）1/10~1/20波长；（2）结构的最小几何特征尺寸，极小，与（1）有数量级差异  t极小计算所需的时间步进数极大 隐式差分格式  无条件稳定；时间步长仅受数值误差的限制  需要矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大 交变隐式差分方向(alternating-direction implicit，ADI)FDTD法  隐式差分格式的无条件稳定性+显式差分格式计算相对简单  基本思想？

7.1ADI-FDTD法 966 ◆交变隐式差分方向(alternating-direction implicit,ADl)FDTD法 >隐式差分格式的无条件稳定性+显式差分格式计算相对简单 >基本思想 ■空间变量为多维的偏微分方程，例如两个空间变量（仪，y) ■首先，选取任一变量方向按隐式差分格式处理，而余下的变量方向按显式差分格式处理 ■然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向 ■每一步的解仍然是条件稳定的，计算相对简单 两步复合的结果使得解是无条件稳定的 ◆ADI-FDTD差分格式 识+eH,= 1(OH. OH, >麦克斯韦旋度方程 e 1 OH, 5

5 7.1 ADI-FDTD法 交变隐式差分方向(alternating-direction implicit，ADI)FDTD法  隐式差分格式的无条件稳定性+显式差分格式计算相对简单  基本思想  空间变量为多维的偏微分方程，例如两个空间变量 (x, y)  首先，选取任一变量方向按隐式差分格式处理，而余下的变量方向按显式差分格式处理  然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向  每一步的解仍然是条件稳定的，计算相对简单  两步复合的结果使得解是无条件稳定的  ADI-FDTD差分格式  麦克斯韦旋度方程

7.1AD-FDTD法 966 ◆AD-FDTD差分格式 >差分方案 ■Yee的矩形差分网格 OE E+1-E ■左边第一项：时间偏微分项采用中心差分格式。 例如： 8t △t ■左边第二项：采用（时间）半步长前向近似格式。 例如： E ■右边两项的时间离散化处理：包含两个交替过程 >过程一（时间展开点n+1/2) 6

6 7.1 ADI-FDTD法  ADI-FDTD差分格式  差分方案  Yee的矩形差分网格  左边第一项：时间偏微分项采用中心差分格式。 例如：  左边第二项：采用（时间）半步长前向近似格式。例如：  右边两项的时间离散化处理：包含两个交替过程  过程一（时间展开点n+1/2） n n n 1/2 1 E E E x x x t t        n n 1/2 1 E E x x       

7.1ADI-FDTD法 过程一（时间展开点n+1/2) 右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式 叶小.- g…4tu字-u到 (7.8) oovf到 (7.9) 7

7 7.1 ADI-FDTD法  过程一（时间展开点n+1/2） 右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式 （7.7） (7.8) (7.9) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n z z y y n n x x H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k y z                                                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n x x z z n n y y H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k z x                                                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n y y x x n n z z H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k x y                                                                            

7.1ADI-FDTD法 过程一（时间展开点n+1/2) 右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式 学m △ 0…千 n 以 55y5叫u (7.12) 8

8 7.1 ADI-FDTD法  过程一（时间展开点n+1/2） 右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式 （7.10） (7.11) (7.12) 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 , , , , , 1, 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n y y z z n n x x E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k z y                                                                               1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n z z x x n n y y E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k x z                                                                               1 1 1 1 1 1 1 , 1, , , , , 1, , 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n x x y y n n z z E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k y x                                                                              

7.1ADI-FDTD法 96 >过程二（时间展开点n+3/2) 右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式 小f (7.13) 6小 (7.14) ktetstig.s (7.15)

9 7.1 ADI-FDTD法  过程二（时间展开点n+3/2） 右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式 （7.13） (7.14) (7.15) 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n z z y y n n x x H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k y z                                                                                1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n x x z z n n y y H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k z x                                                                                1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 n n n n y y x x n n z z H i j k H i j k H i j k H i j k t t E i j k E i j k x y                                                                               

7.1ADI-FDTD法 > 过程二（时间展开点n+3/2) 右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式 7.16) 传w学e以。 学o小fw a18 10

10 7.1 ADI-FDTD法  过程二（时间展开点n+3/2） 右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式 （7.16） (7.17) (7.18) 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 , , 1 , , , , , 1, 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n y y z z n n x x E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k z y                                                                                  1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n z z x x n n y y E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k x z                                                                                  1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 , 1, , , , , 1, , 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n x x y y n n z z E i j k E i j k E i j k E i j k t t H i j k H i j k y x                                                                                 

7.1ADI-FDTD法 》过程一的执行 ■ 将磁场公式分别代入电场公式右边的隐式项(+1时刻项) 2△ △t j-1 jj+l (7.19) 号小兰[+引-+++r+小 -ugu-刘 △t n+1 … F N,个元素列向量 11

11 7.1 ADI-FDTD法  过程一的执行  将磁场公式分别代入电场公式右边的隐式项（n+1时刻项） （7.19） 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 , 1, 1 , , , 1, 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 2 2 2 2 2 n n n x x x n n n x y y t t t y y y t E i j k E i j k E i j k t t t t t E i j k H i j k H i j k z                                                                                                       2 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1, , , , 1, , , , 2 2 2 2 1 n n z z n n n n y y y y y H i j k H i j k t ty x E i j k E i j k E i j k E i j k t                                                                              j 1 j j 1