电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，有限差分法）第5章 时域有限差分法 II 5.1 Beyliss-Turkel吸收边界条件 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件 5.3 廖氏吸收边界条件 5.4 Berenger完全匹配层 5.5 Gedney完全匹配层

计算电磁学（小班研讨课) 966 第5章时域有限差分法Ⅱ 5.1 Beyliss-.Turkelr吸收边界条件 目录 5.2 Engquist-Majdal吸收边界条件 5.3廖氏吸收边界条件 5.4 Berenger?完全匹配层 5.5 Gedneys完全匹配层 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 第5章 时域有限差分法 II 5.1 Beyliss-Turkel吸收边界条件 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件 5.3 廖氏吸收边界条件 5.4 Berenger完全匹配层 5.5 Gedney完全匹配层

计算电磁学 956 第5章时域有限差分法I 吸收边界条件 3

3 第5章 时域有限差分法 II ——吸收边界条件 计算电磁学

吸收边界条件简要回顾 966 ◆ 基于方程 >基于物理方程（波动方程、辐射条件） 1.单向波动方程→Engquist-Majda-Mur ABC √ (3.2.1FDFD)、(5.2FDTD) 2. 辐射条件→Bayliss-Turkel辐射边界条件 (5.1自学) 3.On-Surface辐射边界条件(3.3.2边界积分方程FDFD) >基于数学方程（插值、外推） 4.廖氏吸收边界条件（哈工程，廖振鹏院士）（5.3) √ ◆基于材料 >完全匹配层(PML) 5.1993,J.-P.Berenger,PML (5.4自学)】 6.1996,Gedney,单轴媒质 (5.5自学) 4

4 吸收边界条件简要回顾  基于方程  基于物理方程（波动方程、辐射条件） 1. 单向波动方程Engquist-Majda-Mur ABC  （3.2.1 FDFD）、（5.2 FDTD） 2. 辐射条件Bayliss-Turkel辐射边界条件 （5.1 自学） 3. On-Surface辐射边界条件 （3.3.2边界积分方程FDFD）  基于数学方程（插值、外推） 4. 廖氏吸收边界条件（哈工程，廖振鹏院士）（5.3）   基于材料  完全匹配层（PML） 5. 1993，J.-P. Berenger, PML （5.4 自学） 6. 1996，Gedney，单轴媒质 （5.5 自学）

5.2 Engquist-Majdal吸收边界条件 966 单向波方程 二维情况： a'U aU 1aU dx oy cor > 偏微分算子的因式分解→准确的解析的吸收边界条件 L= +-1=D+D-D: dxOyC201 LU=0→L+LU=0 E=D--:D+;s-Dlc X=0边界：LU=0 >根式√1一s的泰勒级数展开→近似的解析的吸收边界条件 X=0边界： au 1aU =0 -阶近似：V1-s2兰1；ax c ot aU 1aU cOU 二阶近似：V1-s2兰1-0.5s2;0x0ca2+202 =0 5

5 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  单向波方程  二维情况：  偏微分算子的因式分解准确的解析的吸收边界条件 ; LU=0  𝑳 +𝑳 −𝑼 = 𝟎 ; ; x=0边界： 𝑳 −𝑼 = 𝟎  根式 𝟏 − 𝒔 𝟐 的泰勒级数展开  近似的解析的吸收边界条件 x=0边界： 一阶近似： 𝟏 − 𝒔 𝟐 ≅ 𝟏； 二阶近似： 𝟏 − 𝒔 𝟐 ≅ 𝟏 − 𝟎. 5𝒔 𝟐； 2 2 2 2 2 2 2 1 0 U U U x y c t          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 L D D D x y t x y c t c             2 1 t x D L D s c     2 + 1 t x D L D s c    y t D s D c  1 0 U U x c t       2 2 2 2 2 1 0 2 U U c U x t c t y          

5.2 Engquist-Majdal吸收边界条件 单向波方程 三维情况的吸收边界条件，可类似推导出相应的二阶近似解析吸收边界条件 OU 18U coU cOU X=0边界： =0 0xot c 012 2 0y2 2 022 aU 1aU coU cOU x=h边界： =0 Oxot c 012 2 0y2 2 0z2 aU 18U caU cOU y=0边界： =0 Ovot c or2 0x22 022 aU 18U cOU cOU y=h边界： Oyot'c 012 2 0x2 2 022 0 aU 18U coU caU z=0边界： dot c or 2 0x 2 0y2 aU 1aU coU cOU z=h边界： =0 dzot c or2 2 0x2 2 0y2 6

6 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  单向波方程  三维情况的吸收边界条件，可类似推导出相应的二阶近似解析吸收边界条件 x=0边界： x=h边界： y=0边界： y=h边界： z=0边界： z=h边界： 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U x t c t y z              2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U x t c t y z              2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U y t c t x z              2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U y t c t x z              2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U z t c t x y              2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 U U c U c U z t c t x y             

5.2 Engquist-.Majda吸收边界条件 966 Mur差分格式 近似的数值的吸收边界条件 aU 1aU > x=0边界，一阶近似：x c Ot 0 >展开点：x=△x/2处、t=(n+0.5)△t时刻 >中点差分格式+中点平均近似 "m:m( >Mur的一阶吸收边界条件 )(1)(-U] 7

7 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  Mur差分格式  近似的数值的吸收边界条件  x=0边界， 一阶近似：  展开点：x=x/2处、t=(n+0.5)t 时刻  中点差分格式+中点平均近似 ； ；  Mur的一阶吸收边界条件 1 0 U U x c t       1 1 2 2 1 1 , 2 2 1 (1) (0) n n U x n t U U x x                             1 1 1 , 1 1 1 1 2 2 2 2 n n U x n t U U c t c t                                        U m U m U m n n n     1 2 1 1 2 ( ) U m U m  U m n n n           1 2 1 2 1         1 1 0 1 1 0 n n n n c t x U U U U c t x                     U j 0,  x 1 , 2 U j       y U j 1, 

5.2 Engquist-.Majdal吸收边界条件 966 Mur差分格式 0(0j+1) 0L+1) 近似的数值的吸收边界条件 a'U 18U caU x=0边界，二阶近似：xtca222 =0 >展开点：辅助网格点（0.5△x,j△y)处、t=(n+0.5)△t时刻 >中点差分格式+中点平均近似 U(j-1) >Mur的二阶吸收边界条件（5.46) =-w+,点+w+24,+肌) 0A-2吧，+w5+w-2+wr） (c△t)2△x 十 ■在角点处并不适用，因为其中要用到的某些网格点的数据无法知道，这些网格点位于网格区域之外 >三维情形的Mu吸收边界条件（5.49)，类似推导 8

8 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  Mur差分格式  近似的数值的吸收边界条件  x=0边界， 二阶近似：  展开点：辅助网格点（0.5x，jy) 处、t=(n+0.5)t 时刻  中点差分格式+中点平均近似  Mur的二阶吸收边界条件（5.46）  在角点处并不适用，因为其中要用到的某些网格点的数据无法知道，这些网格点位于网格区域之外  三维情形的Mur吸收边界条件（5.49），类似推导 2 2 2 2 2 1 0 2 U U c U x t c t y                 1 1 1 1 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2 2 0, 1 0, 0, 1 1, 1 1, 1, 1 2 ( ) 2 2 2( ) ( ) n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j j j j j c t x x W W W W W W c t x c t x c t x W W W W W W y c t x                                    

5.2 Engquist-Majdal吸收边界条件 966 Trefethen-Halpern近似展开 >算子方程中的根式√1一s2用泰勒级数展开是近似方案之一 V1-s2也可以用有理函数逼近(Trefethen-Halpern提出)：、 1-s2=P( q,(s) (m,n)型有理逼近：p,m(s)和qn(S)分别是区间[-1,1]上的m阶和n阶多项式 >(2,0)型有理逼近 D V1-32=p,+p,52;s D,c:E=D,-2- LU=0→ aU Poau oU Oxot c0-Pac =0 02 >po和p2的值由所选的插值方法确定，在[-1,1]上最佳地逼近V1-s2 Pade'逼近、最小二乘逼近、Chebyshevi逼近、 >二阶泰勒级数近似：p0=+1、p2=-0.5的(2,0)型逼近，在x=0边界的正入射方向准确地吸收外向波 >改变系数po和p2,将改变准确吸收外向波的角度 9

9 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  Trefethen-Halpern近似展开  算子方程中的根式 𝟏 − 𝒔 𝟐 用泰勒级数展开是近似方案之一  𝟏 − 𝒔 𝟐 也可以用有理函数逼近（Trefethen-Halpern提出）： （m, n) 型有理逼近: 和 分别是区间[-1, 1]上的m阶和n阶多项式  (2, 0)型有理逼近 ； ；   p0和p2的值由所选的插值方法确定，在[-1, 1]上最佳地逼近 𝟏 − 𝒔 𝟐 Pade’逼近、最小二乘逼近、Chebyshev逼近、……  二阶泰勒级数近似：p0=+1、p2=-0.5的(2，0)型逼近，在x=0边界的正入射方向准确地吸收外向波  改变系数p0和p2，将改变准确吸收外向波的角度 1 2  s  r s  p s q s m n ( ) ( ) ( ) pm (s) q s n ( ) 1 2 0 2 2  s  p  p s y t D s D c  2 1 t x D L D s c     L U   0 2 2 2 0 2 2 2 0 U U U p p c x t c t y          

5.2 Engquist-Majdal吸收边界条件 956 Higdon算子 >准确吸收以某些角度传播的平面波 以速度c向x=0边界传播的平面波的线性组合（相对于-x轴以角度士01、，，士0p对称地入射) Ux,y)=fct+店)+g,(c+房 =f(ct+xcosa+ysin)+... +xcosap+ysin)） +g (ct+xcosa-ysina)+... +xcosap-ysinp >Higdon湮灭算子（x=0处的吸收边界条件)： >p=1 aU aU c0s0% at ax =0,在边界×=0处，将完全吸收以速度c、相对于-×轴角度为士01传播的平面波； 01=0时，退化为一阶泰勒级数展开近似吸收边界条件式 10

10 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  Higdon算子  准确吸收以某些角度传播的平面波  以速度c向x=0边界传播的平面波的线性组合（相对于-x轴以角度1、，p 对称地入射）  Higdon湮灭算子（x=0 处的吸收边界条件）:  p=1 ，在边界x=0处，将完全吸收以速度c、相对于-x轴角度为1传播的平面波； 1=0时，退化为一阶泰勒级数展开近似吸收边界条件式             * 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ( , , ) ˆ ˆ cos sin cos sin cos sin cos sin p p j j j j j j p p p p p p U x y t f ct g ct f ct x y f ct x y g ct x y g ct x y                                 k r k r cos     j j p t c x  U                1 0 1 cos 0 U U c t x       

5.2 Engquist-Majda吸收边界条件 ◆ Higdon算子 >p=2 aU -0→cos4,csa2-d(cosa+os）月 a'U -C 2 Ot +C1 ar? =0 ax 8t 在边界x=0处，将完全吸收以速度c、相对于-x轴角度为士01和士02传播的平面波 >Higdons算子特性 ■ 以角度C)传播的平面波的任意组合将在X=0处被完全吸收 cosa,-cos0 ■以入射角传播的平面波，在x=0处的反射系数理论值为： R=-Π cosa;+cos0 ■对于任一给定的湮灭阶数p和给定问题，可以选择准确吸收角度0来优化网格外边界处的总体传输特性 ■执行Higdon算子数据取样所需网格点位于垂直于边界的一维方向上，实现得到简化，尤其在角点处 ■Engquist-Majdai和Trefethen-Halpern吸收边界条件都可以看作Higdon算子的特例 >在推导Engquist-Majda、Trefethen-Halpern、Higdonl吸收边界条件中假设了均匀波速c,存在 由伪反射引起的边界数值反射下界，通常在0.1%~1%量级，即使采用高阶吸收边界条件也是如此 11

11 5.2 Engquist-Majda吸收边界条件  Higdon算子  p=2  在边界x=0处，将完全吸收以速度c、相对于-x轴角度为1和2传播的平面波  Higdon算子特性  以角度j 传播的平面波的任意组合将在x=0处被完全吸收  以入射角传播的平面波，在x=0处的反射系数理论值为：  对于任一给定的湮灭阶数p和给定问题，可以选择准确吸收角度j来优化网格外边界处的总体传输特性  执行Higdon算子数据取样所需网格点位于垂直于边界的一维方向上，实现得到简化，尤其在角点处  Engquist-Majda和Trefethen-Halpern吸收边界条件都可以看作Higdon算子的特例  在推导Engquist-Majda、Trefethen-Halpern、Higdon吸收边界条件中假设了均匀波速c，存在 由伪反射引起的边界数值反射下界，通常在0.1%~1%量级，即使采用高阶吸收边界条件也是如此 2 1 cos cos 0 U U U U c c t x t x                         2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 cos cos cos cos 0 U U U c c t x t x                cos cos cos cos j j R                 