惠州学院：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第44讲 衍射光栅、X射线衍射

第44讲衍射光栅X射线衍射 救学要求： 了解光栅光谱：X射线的衍射：布拉格公式。理解光栅的分辨本领、干涉和衍射的区别 和联系。掌握光栅常量、明纹条件、暗纹条件、缺级。 重点与难点： 重点：光栅常量、明纹条件、缺级。 难点：缺级。 15.4衍射光栅 从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通过单缝时所产生的衍射条纹来测定该 单色光的波长.但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开，条纹既细且明亮.然而对单 缝衍射来说，这两个要求难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度a就要很小，这 样通过单缝的光能量就少，以致条纹不够明亮且难以看清楚：反之，若加大缝宽，虽然观 察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分辨.所以实际上测定光波波长时，往往不是 使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅】 15.4.1光栅衍射现象 由大量等宽、等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为光栅。利用透射光 衍射的光栅称透射光栅。利用反射光衍射的光栅称反射光栅。常用的透射光栅是 在玻璃片上刻出大量等宽、等间距平行刻痕制成，刻痕处相当于毛玻璃为不易透 光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。还有利用两刻痕间的 反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金 属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。如图15-13为透射式光栅实验的示意图，透光缝宽 为a,不透光的刻痕宽为b,则(a+b)=d称为光栅常数。现代用的衍射光栅，在1cm内， 可刻上103→104条缝，所以一般的光橱常数约为10-→106m的数量级。 如图15-13所示，平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线经透镜L后，会聚 于屏幕E上，因而在屏幕上出现平行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹。这些条纹的特点是： 明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。 15.4.2光栅衍射规律

1 第 44 讲 衍射光栅 X 射线衍射 教学要求： 了解光栅光谱；X 射线的衍射；布拉格公式。理解光栅的分辨本领、干涉和衍射的区别 和联系。 掌握光栅常量、明纹条件、暗纹条件、缺级。 重点与难点： 重点：光栅常量、明纹条件、缺级。 难点：缺级。 15.4 衍射光栅 从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通过单缝时所产生的衍射条纹来测定该 单色光的波长.但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开，条纹既细且明亮.然而对单 缝衍射来说，这两个要求难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度 a 就要很小，这 样通过单缝的光能量就少，以致条纹不够明亮且难以看清楚；反之，若加大缝宽 a，虽然观 察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分辨.所以实际上测定光波波长时，往往不是 使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅. 15.4.1 光栅衍射现象 由大量等宽、等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为光栅。利用透射光 衍射的光栅称透射光栅。利用反射光衍射的光栅称反射光栅。常用的透射光栅是 在玻璃片上刻出大量等宽、等间距平行刻痕制成，刻痕处相当于毛玻璃为不易透 光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。还有利用两刻痕间的 反射光衍射的光栅,如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕,两刻痕间的光滑金 属面可以反射光,这种光栅称为反射光栅。如图 15-13 为透射式光栅实验的示意图,透光缝宽 为 a ，不透光的刻痕宽为 b ，则 (a  b)  d 称为光栅常数。现代用的衍射光栅，在 1cm 内， 可刻上 3 4 10 10  条缝，所以一般的光栅常数约为 5 6 10 10 m    的数量级。 如图 15-13 所示，平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线经透镜 L 后，会聚 于屏幕 E 上，因而在屏幕上出现平行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹。这些条纹的特点是： 明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。 15.4.2 光栅衍射规律

光栅是由许多单缝组成的，光栅中每一条透光缝，由于衍射，都将在屏幕上呈现单 缝衍射图样，如果光栅的总缝数为N这W套衍射条纹将完全重合。例如，各缝中角为零 的衍射光（即垂直透镜入射的平行光）经透镜L后，都会聚在透镜主光轴的焦点上，即图15-13 中的P,点，这就是各单缝衍射的中央明纹的中心位置：另一方面，各单缝的衍射光在屏幕 (a+b)sin P 图15-13光栅衍射 上重叠时，由于各缝发出的衍射光都是相干光，所以还会产生缝与缝之间的干涉效应，其干 涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程差。因此，光栅的衍射条纹是单缝衍射 和多缝干涉的总效果，即N个缝的干涉条纹要受到单缝衍射的调制。 1光栅方程 首先讨论明条纹的位置。当平行单色光垂直照射到光栅时，每个缝均向各方向发出衍 射光，发自各缝具有相同的衍射角0的一组平行光都会聚于屏上同一点，如图1513中的P 点，这些光波叠加彼此产生干涉，称多光束干涉。从图中可以看出，任意两缝射出衍射角为 p的两衍射光到达P点的光程差都是(a+b)sip,如果此值恰好是入射光波长2的整数倍， 则这两衍射光在P点将满足相干加强条件。这时，其它任意相邻两缝相对应点发出的衍射 角？的衍射光，到达P点处的光程差也一定是入的整数倍，于是所有各缝沿该衍射角0方向 射出的衍射光在屏上会聚时，均相互加强，形成明条纹。这时在P点的合振幅是来自一条 缝的光的振幅的N倍，而合光强将是来自一条缝光强的N2倍，所以光栅的明条纹是很亮的。 由此可知，光橱衍射的明条纹位置应满足 (a+b)sinp=±k元 (k=0,1,2,) (15-7) 式(15-7)称为光栅方程。0的正负规定与单缝情形相同。k为明条纹级数。这些明条纹细窄

2 光栅是由许多单缝组成的，光栅中每一条透光缝，由于衍射，都将在屏幕上呈现单 缝衍射图样，如果光栅的总缝数为 N，这 N 套衍射条纹将完全重合。例如，各缝中  角为零 的衍射光（即垂直透镜入射的平行光）经透镜 L 后,都会聚在透镜主光轴的焦点上，即图 15-13 中的 P0 点，这就是各单缝衍射的中央明纹的中心位置；另一方面，各单缝的衍射光在屏幕 图 15-13 光栅衍射 上重叠时，由于各缝发出的衍射光都是相干光，所以还会产生缝与缝之间的干涉效应，其干 涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程差。因此，光栅的衍射条纹是单缝衍射 和多缝干涉的总效果，即 N 个缝的干涉条纹要受到单缝衍射的调制。 1 光栅方程 首先讨论明条纹的位置。当平行单色光垂直照射到光栅时，每个缝均向各方向发出衍 射光，发自各缝具有相同的衍射角  的一组平行光都会聚于屏上同一点，如图 15-13 中的 P 点，这些光波叠加彼此产生干涉，称多光束干涉。从图中可以看出，任意两缝射出衍射角为  的两衍射光到达 P 点的光程差都是 ( )sin a b   ，如果此值恰好是入射光波长  的整数倍， 则这两衍射光在 P 点将满足相干加强条件。这时，其它任意相邻两缝相对应点发出的衍射 角  的衍射光，到达 P 点处的光程差也一定是  的整数倍，于是所有各缝沿该衍射角  方向 射出的衍射光在屏上会聚时，均相互加强，形成明条纹。这时在 P 点的合振幅是来自一条 缝的光的振幅的 N 倍，而合光强将是来自一条缝光强的 2 N 倍，所以光栅的明条纹是很亮的。 由此可知，光栅衍射的明条纹位置应满足 ( )sin a b k      (k  0,1,2, ) （15-7） 式(15-7)称为光栅方程。  的正负规定与单缝情形相同。k 为明条纹级数。这些明条纹细窄

而明亮，通常将明纹称为主极大条纹。0为零级主极大，也称为中央明纹。=1,2，…，称 为第一级主极大、第二级主极大…，其余类推。式(15-7)中的正负号表示各级明条纹对称 分布在中央明纹两侧。从光栅方程可以看出，在波长一定的单色光照射下，光栅常数（α+b) (a) (b) 图15-14平行单色光倾斜地入射 越小，各级明条纹的？角越大，因而相邻两个明条纹分得越开。 以上讨论的是平行单色光垂直照射到光栅上的情况。如果平行单色光倾斜地照射到光栅 上，入射方向与光栅平面法线之间的夹角为日，那么相邻两缝的入射光在入射到光栅之前已 有光程差(a+b)sinO,所以光线斜入射时的光栅方程应为 (a+b)(sinp±sin)=±kz (k=0,12,(15-8) 式中0表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值，当0与0在法线同侧，如图15-14(a) 所示，上式左边括号中取加号，在异侧时取减号，如图15-14(b)所示。 2明条纹 由光栅方程(15-7)可知，相邻两明纹中心的角距离 (k+I)入k元 (15-9) -sin e-sin dd d 在入一定的情况下，d越小，各级明纹的衍射角则越大，即条纹分布越稀疏，而当d一定 时，各主极大的位置不变，从而它们与中心的角距离与无关。 N越大，主极大明条纹则越窄。以中央明条纹为例，它出现在日=0处。在稍稍偏过一 点的△日方向，如果光栅的最上一条缝和最下一条缝发出的光的光程差等于波长入，即 Vdsin△0=±z 时，则光栅上下两半宽度内相应的缝发出的光到达屏上将都是反相的，它们都将相消干涉以 致总光强为零。由于N一段都很大，所以△95m△0=合中央男纹的角定度是 3

3 而明亮，通常将明纹称为主极大条纹。k=0 为零级主极大，也称为中央明纹。k=1,2,„，称 为第一级主极大、第二级主极大„„，其余类推。式(15-7)中的正负号表示各级明条纹对称 分布在中央明纹两侧。从光栅方程可以看出，在波长一定的单色光照射下，光栅常数 ( ) a b  图 15-14 平行单色光倾斜地入射 越小，各级明条纹的  角越大，因而相邻两个明条纹分得越开。 以上讨论的是平行单色光垂直照射到光栅上的情况。如果平行单色光倾斜地照射到光栅 上，入射方向与光栅平面法线之间的夹角为  ，那么相邻两缝的入射光在入射到光栅之前已 有光程差 ( )sin a b   ，所以光线斜入射时的光栅方程应为 ( )(sin sin ) a b k        (k  0,1,2, ) （15-8） 式中  表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值，当  与  在法线同侧，如图 15-14（a） 所示，上式左边括号中取加号，在异侧时取减号，如图 15-14（b）所示。 2 明条纹 由光栅方程（15-7）可知，相邻两明纹中心的角距离 （15-9） 在  一定的情况下， d 越小，各级明纹的衍射角则越大，即条纹分布越稀疏，而当 d 一定 时，各主极大的位置不变，从而它们与中心的角距离与 N 无关。 N 越大，主极大明条纹则越窄。以中央明条纹为例，它出现在  ＝0 处。在稍稍偏过一 点的  方向，如果光栅的最上一条缝和最下一条缝发出的光的光程差等于波长  ，即 Nd sin   时，则光栅上下两半宽度内相应的缝发出的光到达屏上将都是反相的，它们都将相消干涉以 致总光强为零。由于 N 一般都很大，所以 Nd    sin   ，中央明纹的角宽度是   1 1 1 sin sin k k k k k k d d d                

240=2 。而中央明纹到第一级明条纹的角距离日>sin日=d,A比2△0的 2 倍还大，即中央明条纹宽度要比它和第一级明条纹的间距小得多。 对其它级明条纹的分析结果基本类似，明条纹的宽度总是与N成反比，在N很大的情 况下，比它们的间距小得多。 3暗纹条件 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹。这些暗条纹是由各缝射出的衍 射光因干涉相消而形成的。可以证明，当p角满足下述条件 a+)snp=k+为A k=0,±1，±2，…(15-10) 时，则出现暗条纹。式中，k为主极大级数，N为光栅缝总数，n为正整数，取值为 n=1,2,(N-1)。由上式可知，在相邻两主极大之间分布有(N一1)个暗条纹。显然，在这 (N一1)个暗条纹之间的位置光强不为零，但其强度比各级主极大的强度要小得多，称为次级 明条纹，这些次级明条纹的光强仅为主极大的4%左右。所以，在相邻两主极大之间分布有 (N一1)个暗条纹和(N一2)个光强极弱的次级明条纹，这些明条纹几乎是观察不到的，因此实 图15-15光栅衍射的图象 际上在两个主极大之间是一片连续的暗区。由式(15-10)可知，缝数N愈多，暗条纹也愈 多，因而暗区愈宽，明条纹愈细窄。多光束干涉的结果是：在几乎黑暗的背景上出现了一系 列又细又亮的明条纹，而且光栅总缝数越大，所形成的明条纹也越细越亮。图15-15给出了光 栅衍射图样。 4单缝衍射对光强分布的影响 以上讨论多光束干涉时，并没有考虑各缝（单缝）衍射对屏上条纹强度分布的影响。实际上， 由于单缝衍射，在不同的？方向，衍射光的强度是不同的，所以光栅衍射的不同位置的明条 纹，是来源于不同光强度的衍射光的干涉加强。就是说，多光束干涉形成的光强分布要受到 单缝衍射的调制。单缝衍射光强大的方向明条纹的光强也大，单缝衍射光强小的方向明条纹 的光强也小。图15-16给出了仁4，d=4a的光栅衍射图样的光强分布图。其中图15-16(a)

4 Nd   2 2  。而中央明纹到第一级明条纹的角距离 1  sin1   d ，1 比 2 的 2 N 倍还大，即中央明条纹宽度要比它和第一级明条纹的间距小得多。 对其它级明条纹的分析结果基本类似,明条纹的宽度总是与 N 成反比，在 N 很大的情 况下，比它们的间距小得多。 3 暗纹条件 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹。这些暗条纹是由各缝射出的衍 射光因干涉相消而形成的。可以证明，当  角满足下述条件 ( )sin ( ) n a b k N      k    0, 1, 2, （15-10） 时，则出现暗条纹。式中， k 为主极大级数， N 为光栅缝总数， n 为正整数，取值为 n N   1,2, ( 1) 。由上式可知，在相邻两主极大之间分布有(N－1)个暗条纹。显然，在这 (N－1)个暗条纹之间的位置光强不为零，但其强度比各级主极大的强度要小得多，称为次级 明条纹，这些次级明条纹的光强仅为主极大的 4%左右。所以，在相邻两主极大之间分布有 (N－1)个暗条纹和(N－2)个光强极弱的次级明条纹，这些明条纹几乎是观察不到的，因此实 际上在两个主极大之间是一片连续的暗区。由式（15-10）可知，缝数 N 愈多，暗条纹也愈 多，因而暗区愈宽，明条纹愈细窄。多光束干涉的结果是:在几乎黑暗的背景上出现了一系 列又细又亮的明条纹,而且光栅总缝数越大,所形成的明条纹也越细越亮。图 15-15 给出了光 栅衍射图样。 4 单缝衍射对光强分布的影响 以上讨论多光束干涉时，并没有考虑各缝（单缝）衍射对屏上条纹强度分布的影响。实际上， 由于单缝衍射，在不同的  方向，衍射光的强度是不同的，所以光栅衍射的不同位置的明条 纹，是来源于不同光强度的衍射光的干涉加强。就是说，多光束干涉形成的光强分布要受到 单缝衍射的调制。单缝衍射光强大的方向明条纹的光强也大，单缝衍射光强小的方向明条纹 的光强也小。图 15-16 给出了 N=4, d a  4 的光栅衍射图样的光强分布图。其中图 15-16（a） 图 15-15 光栅衍射的图象

给出缝宽为α的单缝图样的光强分布图，图15-16(b)给出了多缝干涉图样的光强分布图， 多缝干涉和单缝干涉共同决定的光栅衍射的总光强如图15-16(c)所示。 如果光栅缝数很多，每条缝的宽度很小，则单缝衍射的中央明纹区域变得很宽，我们 通常观察到的光栅衍射图样，就是各缝的衍射光束在单缝中央明纹区域内的干涉条纹。 sing a (a)单缝衍射 -5子-4-3-2-音 0子23 5a (b)多缝干涉 -3 -22 A A -a 立2 3a45 sine (c)光栅衍射 图15-16光栅衍射的光强分布图 5缺级现象 5

5 给出缝宽为 a 的单缝图样的光强分布图，图 15-16（b）给出了多缝干涉图样的光强分布图， 多缝干涉和单缝干涉共同决定的光栅衍射的总光强如图 15-16(c)所示。 如果光栅缝数很多，每条缝的宽度很小，则单缝衍射的中央明纹区域变得很宽，我们 通常观察到的光栅衍射图样，就是各缝的衍射光束在单缝中央明纹区域内的干涉条纹。 5 缺级现象 (a) 单缝衍射 (b) 多缝干涉 (c) 光栅衍射 图 15-16 光栅衍射的光强分布图

前面讨论光栅方程(a+b)sinp=±k入时，只是从多光束干涉的角度说明了叠加光强最 大而产生明条纹的必要条件，但当这一？角位置同时也满足单缝衍射暗纹条件 asip=±k1,可将这一位置看成是光强度为零的“干涉加强”。所以从光栅方程看来应出 现某k级明条纹的位置，实际上却是暗条纹，即k级明条纹不出现，这种现象称为光栅的缺 级现象。将上述两式相比可知缺级条件为 k=a+bk=1,2, (15-11) 0 且满足k为整数，即(a+b)/a为整数比（如2：1,3：2等等）。如d=4a时，k=4,8,…, 缺级，图15-16(c)就是这种情形。 15.4.3光栅光谱 从光栅方程可知，在光栅常数一定时，明条纹衍射角？的大小与入射光的波长入有关。 因此当用白光照射到光栅上，各种不同波长的光将产生各自分开的主极大明条纹。不同波长 的同一级明纹的角位置是不同的，并按波长由短到长的次序自中央向外侧依次分开排列。屏 幕上除中央明纹由各种波长的光混合仍为白色外，其两侧将形成各级由紫到红对称排列的彩 色光带，这些光带的整体称为光栅光谱。如图15-17所示。对于同一级的条纹由于波长短 图15-17光栅光谱 的光衍射角小，波长长的光衍射角大，所以光谱中紫光靠近零级主极大，红光远离零级主极 大。光谱之间有可能发生重叠，级数愈高，重叠情况愈复杂。 物质的光谱可用于研究物质结构，原子、分子的光谱则是了解原子、分子及其运动规律 的重要依据。光谱分析是现代物理学研究的重要手段，在工程技术中，也广泛地应用于分析、 鉴定等方面。 例15-5使波长为480m的单色光垂直入射到每毫米有250条狭缝的光栅上，光栅常数为一条缝宽 的3倍。(1)求第一级谱线的角位置：(2)总共可以观察到几条光谱线？ 6

6 前面讨论光栅方程 ( )sin a b k      时，只是从多光束干涉的角度说明了叠加光强最 大而产生明条纹的必要条件，但当这一  角位置同时也满足单缝衍射暗纹条件 ' a k sin    ，可将这一位置看成是光强度为零的“干涉加强”。所以从光栅方程看来应出 现某 k 级明条纹的位置，实际上却是暗条纹，即 k 级明条纹不出现，这种现象称为光栅的缺 级现象。将上述两式相比可知缺级条件为 ' ( 1,2, ) a b k k k a     （15-11） 且满足 k 为整数，即 ( ) a b a  为整数比（如 2：1，3：2 等等）。如 d  4a 时，k=4,8，„, 缺级，图 15-16 (c)就是这种情形。 15.4.3 光栅光谱 从光栅方程可知，在光栅常数一定时，明条纹衍射角  的大小与入射光的波长  有关。 因此当用白光照射到光栅上，各种不同波长的光将产生各自分开的主极大明条纹。不同波长 的同一级明纹的角位置是不同的，并按波长由短到长的次序自中央向外侧依次分开排列。屏 幕上除中央明纹由各种波长的光混合仍为白色外，其两侧将形成各级由紫到红对称排列的彩 色光带，这些光带的整体称为光栅光谱。如图 15-17 所示。对于同一级的条纹由于波长短 图 15-17 光栅光谱 的光衍射角小，波长长的光衍射角大，所以光谱中紫光靠近零级主极大，红光远离零级主极 大。光谱之间有可能发生重叠，级数愈高，重叠情况愈复杂。 物质的光谱可用于研究物质结构，原子、分子的光谱则是了解原子、分子及其运动规律 的重要依据。光谱分析是现代物理学研究的重要手段，在工程技术中，也广泛地应用于分析、 鉴定等方面。 例 15-5 使波长为 480nm 的单色光垂直入射到每毫米有 250 条狭缝的光栅上，光栅常数为一条缝宽 的 3 倍。（1）求第一级谱线的角位置；（2）总共可以观察到几条光谱线？

解(1)由光栅方程，第一级谱线的角位置为 480×10-9 0=arcsin(/d)=arcsin 10-3/250 =arcsin(0.12)≈0.12(rad)=6.32° (2)谱线的最大角位置为π/2，由光栅方程可知级次的最大值为 dsin(/) 2 480×10-9 由于k只能取整数，所以kx=8。 由于d=3a,所以k=3,6的级次为缺级，故可能观察到的谱线数为kx×2+1-2×2=13。 例156用白光垂直照射在每厘米中有6500条刻线的平面光栅上，求第三级光谱张角。（白光的波长 范围为4000A~7600A) 解光栅常数 d=_1 cm=1.54×104A 6500 由光栅方程，第3级光谱中 emnin arcsin- in=arcsin 3×4000 d 1.54×104 =5125 6ax =arcsin 3=arcsin 3×7600 arcsin1.48 d .54×104 说明不存在第3级完整光谱，即第三级光谱只能出现一部分光谱，这一部分光谱的张角是 △0=90°-0nm=38.74 设第3级光谱中所能出现的最大波长为入，则有 1 -×108 "-dsin90_6500D=5130(A(绿光) 3 即第3级光谱中只能出现紫、蓝、青、绿等色的光，波长大于5130A大的黄、橙、红等色光则看不到。 例15-7在垂直入射于光栅的平行光中，有入和乙两种波长，已知入的第3级光谱线与乙的第4 级光谱线恰好重合在离中央明条纹为5m处，而入=486.1m,并发现入的第5级光谱线缺级，透镜的 焦距为f=50cm,试求(1)入1为多少，光栅常数(a+b)为多少？(2)光栅的最小缝宽a为多少？ 解(1)由光栅方程(a+b)sinp=k和题意得 (a+b)sino=kk2

7 解 （1）由光栅方程，第一级谱线的角位置为 9 0 1 3 480 10 arcsin( ) arcsin( ) arcsin(0.12) 0.12(rad) 6.32 10 / 250   d         （2）谱线的最大角位置为 π 2 ，由光栅方程可知级次的最大值为   3 max 9 sin π 2 (10 / 250) 1 8.3 480 10 d k         由于 k 只能取整数，所以 kmax  8 。 由于 d  3a ，所以 k  3,6 的级次为缺级，故可能观察到的谱线数为 kmax  2 1 2 2 13 。 例 15-6 用白光垂直照射在每厘米中有 6500 条刻线的平面光栅上，求第三级光谱张角。（白光的波长 范围为 4000   ～7600   ） 解 光栅常数 ° 1 4 cm 1.54 10 A 6500 d    由光栅方程，第 3 级光谱中       51.25 1.54 10 3 4000 arcsin 3 arcsin 4 min min d   arcsin1.48 1.54 10 3 7600 arcsin 3 arcsin 4 max max      d   说明不存在第 3 级完整光谱，即第三级光谱只能出现一部分光谱，这一部分光谱的张角是 min       90 38.74 设第 3 级光谱中所能出现的最大波长为 '  ，则有 8 o 1 10 sin 90 6500 5130(A) 3 3 d        （绿光） 即第 3 级光谱中只能出现紫、蓝、青、绿等色的光，波长大于 5130   大的黄、橙、红等色光则看不到。 例 15-7 在垂直入射于光栅的平行光中，有 1 和 2 两种波长，已知 1 的第 3 级光谱线与 2 的第 4 级光谱线恰好重合在离中央明条纹为 5mm 处，而 2=486.1nm,并发现 1 的第 5 级光谱线缺级，透镜的 焦距为 f＝50cm，试求（1） 1 为多少，光栅常数 ( ) a b  为多少?(2)光栅的最小缝宽 a 为多少？ 解 （1）由光栅方程 ( )sin a b k     和题意得 1 1 2 2 ( )sin =k a b k     

k21 1 4 ×486.1=648.1nm k 3 又 =tanp≈sing f a+b= k2=k2 sinp x 05×4×486.1×10=1.94×10-m 5×10-3 当第k级缺级时满足(a+b)sinp=k入及asin o=k'元 ' 故 a="(a+b) a-LX194x10=38×10-m 5 例15-8一个每毫米均匀刻有200条刻线的光栅，用白光照射，在光栅后放一焦距为f=500cm的透 镜，在透镜的焦平面处有一个屏幕，如果在屏幕上开一个△x=1mm宽的细缝，细缝的内侧边缘离中央极大 中心5.0mm,如图15-18所示.试求什么波长范围的可见光可通过细缝？ 解光栅常数为 a+b=1x10-3 5.0×10-6m 200 巳和0，都很小，所以sinB≈tanB,根据光栅方程 Ar 自 光 图15-18例15-8图 m4经月 sin8=4、x+Ar a+b f 2=a+b)=50x10x50x10=50x10”m=500m 8

8 2 1 2 1 4 = = 486.1=648.1nm 3 k k    又 tan sin x f     2 2 2 2 9 4 3 sin 0.5 4 486.1 10 1.94 10 5 10 k f a b k x m                 当第 k 级缺级时满足 ( )sin a b k     及 a k sin     故   k a a b k    4 5 min 1 1.94 10 3.88 10 5 a m        例 15-8 一个每毫米均匀刻有 200 条刻线的光栅，用白光照射，在光栅后放一焦距为 f＝500cm 的透 镜，在透镜的焦平面处有一个屏幕，如果在屏幕上开一个 Δx＝1mm 宽的细缝，细缝的内侧边缘离中央极大 中心 5.0mm，如图 15-18 所示.试求什么波长范围的可见光可通过细缝？ 解 光栅常数为 3 1 10 6 5.0 10 200 a b m        1 和  2 都很小，所以 sin tan    ，根据光栅方程 图 15-18 例 15-8 图 1 1 1 sin k x a b f      2 2 2 sin k x x a b f          3 6 9 1 1 5.0 10 5.0 10 5.0 10 500 5 x k a b m nm f             

飞2=x+A(a+b=50+01）x10x50x10=51x10m=510m f 可通过细缝的可见光波波长范围为 500m≤λ≤510mm 15.5X射线衍射 X射线又称伦琴射线，是伦琴于1895年发现的（由于发现X射线，伦琴获1901年诺贝 尔物理学奖)，它是由高压加速的电子撞击金属时辐射出的一种射线。X射线是一种人眼看 不见的具有很强穿透能力的波长很短的电磁波，波长在0.01nm到10nm之间。图15-19所 x射线(0.01~10nm) 冷却液 E 图15-19X射线管 示为X射线管的结构示意图。K是发射电子的热阴极，A是阳极，两极间加数万伏高压， 阴极发射的电子在强电场作用下加速，高速电子撞击阳极而产生X射线。 X射线既然是一种电磁波，也应该和可见光一样有正常的衍射现象。但由于它的波长太短， 用普通光栅观察不到X射线的衍射现象，而且也无法用机械方法制造出光栅常数与X射线波 长相近的光栅。1912年德国物理学家劳厄想到晶体内的原子是有规则排列的，天然晶体实 际上就是光栅常数很小的天然三维空间光栅。利用晶体作为光栅，劳厄成功地进行了X射线 衍射实验。他让一束X射线穿过铅板上的小孔照射到晶体上，如图15-20所示，结果晶片后 面的感光胶片上形成一定规则分布的斑点，称为劳厄斑点。实验的成功既证明了X射线的波 动性质，也证明了晶体内原子是按一定的间隔、规则排列的。从此，开始广泛利用X射线作 晶体结构分析。 1913年，英国物理学家布拉格父子提出了另一种研究x射线衍射的方法，他们把晶体 看成是由一系列互相平行的原子层（或晶面）所组成，各层之间的距离（晶面间距）为d, 9

9     3 6 9 2 2 5.0 0.1 10 5.0 10 5.1 10 510 5 x x k a b m nm f                 可通过细缝的可见光波波长范围为 500 510 nm nm    * 15.5 X 射线衍射 X 射线又称伦琴射线，是伦琴于 1895 年发现的(由于发现 X 射线，伦琴获 1901 年诺贝 尔物理学奖)，它是由高压加速的电子撞击金属时辐射出的一种射线。X 射线是一种人眼看 不见的具有很强穿透能力的波长很短的电磁波，波长在 0.01nm 到 10nm 之间。图 15-19 所 图 15-19 X 射线管 示为 X 射线管的结构示意图。 K 是发射电子的热阴极， A 是阳极，两极间加数万伏高压， 阴极发射的电子在强电场作用下加速，高速电子撞击阳极而产生 X 射线。 X 射线既然是一种电磁波，也应该和可见光一样有正常的衍射现象。但由于它的波长太短， 用普通光栅观察不到 X 射线的衍射现象，而且也无法用机械方法制造出光栅常数与 X 射线波 长相近的光栅。1912 年德国物理学家劳厄想到晶体内的原子是有规则排列的，天然晶体实 际上就是光栅常数很小的天然三维空间光栅。利用晶体作为光栅，劳厄成功地进行了 X 射线 衍射实验。他让一束 X 射线穿过铅板上的小孔照射到晶体上，如图 15-20 所示，结果晶片后 面的感光胶片上形成一定规则分布的斑点，称为劳厄斑点。实验的成功既证明了 X 射线的波 动性质，也证明了晶体内原子是按一定的间隔、规则排列的。从此，开始广泛利用 X 射线作 晶体结构分析。 1913 年，英国物理学家布拉格父子提出了另一种研究 x 射线衍射的方法，他们把晶体 看成是由一系列互相平行的原子层（或晶面）所组成，各层之间的距离（晶面间距）为 d

晶片 铅挡板 劳厄斑点 图15-20劳厄实验 如图15-21，小圆点表示晶体点阵中的原子（或离子）。当一束单色的、平行的、波长为2的 x射线以掠射角日投射在晶体上，一部分为表面层原子反射，其余部分进入晶体内部，被内 部各原子所散射。在各原子层所散射的射线中只有按反射定律的反射线的强度为最大。 由图15-21可见，上下两原子层所发出的反射线的光程差为 △=ACC&2dsin0 法线 显然各层反射线互相加强而形成亮点的条件是 2sin0=k2(e1,2,…) (15-12) d 此式称为布拉格方程。 由布拉格方程看出，如果晶体结构（晶面间距 为d为已知，则可测定x射线的波长。反之，如 果x射线波长入为已知，在晶体上衍射，则可测出 图15-21布拉格反射 晶面间距d,从而可推出晶体结构。这种研究已经 发展为一门独立的学科，叫做x射线结构分析。 例159我们比较两条单色的X射线的谱线时注意到，谱线A在与一个晶体的光滑面成30°的掠射角 处给出第1级反射极大.已知谱线B的波长为0.097m,这谱线B在与同一晶体的同一光滑面成60°的掠射 角处，给出第3级反射极大，试求谱线A的波长 解根据布喇格公式 2dsin0=kA 对波长入，的X射线有 2dsin30°=元4 对波长入B的X射线有 2dsin60°=3g 10

10 图 15-20 劳厄实验 如图 15-21，小圆点表示晶体点阵中的原子（或离子）。当一束单色的、平行的、波长为  的 x 射线以掠射角  投射在晶体上，一部分为表面层原子反射，其余部分进入晶体内部，被内 部各原子所散射。在各原子层所散射的射线中只有按反射定律的反射线的强度为最大。 由图 15-21 可见，上下两原子层所发出的反射线的光程差为   AC+CB=2dsin  显然各层反射线互相加强而形成亮点的条件是 2dsin  =k  (k=1,2，„) （15-12） 此式称为布拉格方程。 由布拉格方程看出，如果晶体结构（晶面间距 为 d）为已知，则可测定 x 射线的波长。反之，如 果 x 射线波长  为已知，在晶体上衍射，则可测出 晶面间距 d，从而可推出晶体结构。这种研究已经 发展为一门独立的学科，叫做 x 射线结构分析。 例 15-9 我们比较两条单色的 X 射线的谱线时注意到，谱线 A 在与一个晶体的光滑面成 30°的掠射角 处给出第 1 级反射极大.已知谱线 B 的波长为 0.097nm，这谱线 B 在与同一晶体的同一光滑面成 60°的掠射 角处，给出第 3 级反射极大.试求谱线 A 的波长. 解 根据布喇格公式 2 sin d k    对波长  A 的 X 射线有 2 sin30 d  A 对波长  B 的 X 射线有 2 sin 60 3 B d   d A B 法线 C 图 15-21 布拉格反射    