Time-Harmonic Electromagnetic Fields 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab /958 Chapter 4.Plane Wave Functions 直角坐标系中的场与波 梁锋 物理学院应用物理研究所 办公室：清水河校区物理学院楼443# 邮箱：fengliang(@uestc..edu.cn 1
1 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 1 梁锋 物理学院应用物理研究所 办公室：清水河校区物理学院楼443# 邮箱：fengliang@uestc.edu.cn Chapter 4. Plane Wave Functions 直角坐标系中的场与波 Time-Harmonic Electromagnetic Fields
电磁场问题解析解的一般求解方法 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab /95B 借助辅助势函数A和疗，Maxwell方程可以简化为 V2A+k2A=-J 矢量Helmholtz方程 7F+k2F=- 后=-V×方-auA+(仅.A利 i-xi-af+v.f列 要求解Maxwell方程组转化为求解矢量Helmholtz方程， 但依然不易求解。 2
2 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 2 电磁场问题解析解的一般求解方法 借助辅助势函数 和 ， A Maxwell方程可以简化为 F ( ) 1 H AjF F j we wm = ´ - + ⋅ ( ) 1 E FjA A j wm we = -´ - + ⋅ 2 2 i + =- A kA J 2 2 i + =- F kF M 矢量Helmholtz方程 要求解Maxwell方程组转化为求解矢量Helmholtz方程， 但依然不易求解
电磁场问题解析解的一般求解方法 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 上述矢量Helmholtz方程仍然不易直接求解，需想办法化 为标量Helmholtz方程。 根据场的模式叠加原理，任何场均可表示为TE模和TM模 的叠加。令s为任意坐标分量s=x,,,r,p,8,p TE,模(E,=0)对应F=,F，A=0,只需求解标量 Helmholtz方程 2F +k2F=0 (考虑无源) TM,模H,=0)对应A=u,A,户=0，只需求解标量 Helmholtz方程 V2A.+k2A=0 (考虑无源) 3
3 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 3 上述矢量Helmholtz方程仍然不易直接求解，需想办法化 为标量Helmholtz方程。 根据场的模式叠加原理，任何场均可表示为TE模和TM 模 的叠加。令 s为任意坐标分量 s xyzr = ,,,,,, fqr A = 0 ˆ F uF = s s TE s 模 (Es = 0)对应 ， ，只需求解标量 Helmholtz方程 （考虑无源） 2 2 0 s s + = F kF Helmholtz方程 (考虑无源 ) ˆ , A uA = s s TM s 模 (Hs = 0)对应 ， ，只需求解标量 F = 0 2 2 0 + = A kA s s 电磁场问题解析解的一般求解方法
电磁场问题解析解的一般求解方法 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 958 上述两个标量Helmholt忆方程形式一样，可统一记为： Vψ+k2ψ=0 称为无源标量Helmholtz方程，也称为波动方程。其中称 为波函数，可代表电场或磁场的某一个分量（无源问题）， 也可代表辅助位函数的某一个分量（有源、无源问题均可）。 采用分离变量法，并结合电磁场边界条件可解析解出心的表 达式，进而得到电场和磁场的表达式。 4
4 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 4 上述两个标量Helmholtz方程形式一样，可统一记为： 2 2 + = y y k 0 称为无源标量Helmholtz方程，也称为波动方程。其中 称 为波函数，可代表电场或磁场的某一个分量（无源问题）， 也可代表辅助位函数的某一个分量（有源、无源问题均可） 。 采用分离变量法，并结合电磁场边界条件可解析解出 的表 达式，进而得到电场和磁场的表达式。 y y 电磁场问题解析解的一般求解方法
B=-VxF-jwpA+-V(V.A 月=v×A-wcF+1V(仅 Jwp 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB ab 例如直接坐标系下任何电磁场可分解为TE,和TM,模的 叠加，TM,和TE,模的场表达式见教材第130页的(3-86)和 (3-89)式。 TM,模 TE,模 A=u中F=0 F=u2中A=0 E,= 1∂2业 H:= 业 B=- y 1 02y 可x2 ∂y ay H.=2∂xa2 1a2 1a2 E,=百y8z H,=一 av 0配 E, ax Hy= 乏∂y∂z (品+ 1/2 H:=0 E2=0 H.= 102 5
5 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 5 例如直接坐标系下任何电磁场可分解为TE z 和TM z模的 叠加，TM z 和TE z模的场表达式见教材第130页的（3-86）和 （3-89）式。 TM z 模 TE z 模 ( ) 1 H AjF F j we wm = ´ - + ⋅ ( ) 1 E FjA A j wm we = -´ - + ⋅
第4章直角坐标系中的场与波 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /958 分离变量法 （教材4-1节) 在直角坐标系下，标量Helmholtz方程可写为 ∂2b, +8 2ψ 0x2 +k2少=0 z2 令中=X(z)Y(Z(z)代入上式整理得 182X,1∂2Y,102Z +z∂2 +k2=0 X∂x2Y∂2 等号左边第1项仅是x的函数，第2项仅是的函数，第3项 仅是的函数，且方程对任意x,y,均应成立，故只能每项 均为常数。 6
6 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 6 分离变量法 在直角坐标系下，标量Helmholtz方程可写为 222 2 222 k 0 xyz yyy y ¶¶¶ + + += ¶¶¶ 令 代入上式整理得 y = X xY yZ z ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 1 11 0 XY Z k Xx Yy Zz ¶ ¶¶ + + += ¶¶¶ 等号左边第 1项仅是 x的函数，第 2项仅是y的函数，第 3 项 仅是 z的函数，且方程对任意 x, y, z均应成立，故只能每项 均为常数。 （教材4-1节） 第4章 直角坐标系中的场与波
4 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /956 即 1∂X 1∂Y =-k2, 102Z X O22 =-k2 Y∂y Z Ox' =-k,2 从而得到三个方向的波动方程（谐方程) ∂2X +k2X=0 解为X=e±，x或sin(kc)或cos(kc) 0x2 ∂2Y +飞，Y=0Y,Z的解类似可得 ∂y 8'Z 0z2 +kZ=0 k2+k2+2=k2（色散关系) 7
7 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 7 即 从而得到三个方向的波动方程（谐方程 ） 2 2 2 1 , x X k X x ¶ = - ¶ 2 2 2 y 0 Y k Y y ¶ + = ¶ 2 2 2 z 0 Z k Z z ¶ + = ¶ 2 2 2 0 x X k X x ¶ + = ¶ 2 2 22 xyz kkkk ++= （色散关系） x jk x X e = sin( ) x k x cos( ) x 解为 或 或 k x Y，Z的解类似可得 2 2 2 1 , y Y k Y y ¶ = - ¶ 2 2 2 1 z Z k Z z ¶ = - ¶
电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /85a 谐函数（掌握表4-1内容，特别注意k的不同取值对应的物理解释） sin(k),cos(k) 于是，波动方程的解为 =hk)h(,)h() 称为基本波函数。基本波函数的线性组合仍然是波动方程的 解， b=∑∑B=∑∑Bhk,xhk,hk,习 8
8 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 8 谐函数 ( )( )( ) xyz kkk x y z y = hkxhkyhkz ( ) , , x x jk x jk x x hkx e e - µ sin( ), x k x cos( ) x k x 于是，波动方程的解为 称为基本波函数。基本波函数的线性组合仍然是波动方程的 解， ( )( )( ) xy xyz xy xy xy kk kkk kk x y z kk kk y y = = åå åå B B hkxhkyhkz （掌握表4-1内容，特别注意 k的不同取值对应的物理解释）
4 9 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /956 或者 0=∫∫f(k,k)4dd =f人fk,k)hkkh&2,dk 9
9 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 9 或者 ( ) ( ) , , ( )( )( ) xyz x y x y x y kkk x y k k xy x y z xy k k f k k dk dk f k k h k x h k y h k z dk dk y y = = ò ò ò ò
4 10 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB Lab /956 4.2平面波（略) 10
10 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 10 4.2 平面波（略）