麻省理工学院机械工程系 2.12机器人简介 6号问题集 出题日期：2005年10月31日，完成日期：2005年11月9日 问题1 下图显示的是一个机器人手臂使用直尺画一条直线。直尺是由另一只机器人 手臂拿着，该手臂没有显示。假设没有摩擦并且是半静止过程。 a)使用附在直尺上的C一帧，得出自然和人为限制。 b)根据上面获得的自然和人为限制，画出混合位置/力的控制系统的方块 图。此外，得出与自然和人为限制相关联的射影矩阵Pa和Pb。 图1直尺和C帧 问题2 下面所显示的是一个办公机器人正在用附着在一个半径为R的半圆滚 筒的吸墨水纸干燥墨水。为了避免抹掉没有干燥的签名，滚筒只能在纸上滚 动，不能滑动。假设该过程是一个半静态并且没有摩擦的过程，我们想要使 用混合位置/力控制来完成这个任务。得出在机器人端点E处的速度和力方 面的自然和人为限制。描述与附在桌子上的坐标系O-xyz有关的限制。需 要注意的是点E位于半圆滚筒上表面的中间。滚动接触是自然限制的要求 还是人为限制的要求？[关键是把物理学规定的限制（如自然限制），与你为 了完成给定的任务（如人为限制），想要机器人遵守的轨道类型区别开来
麻省理工学院机械工程系 2.12 机器人简介 6 号问题集 出题日期：2005 年 10 月 31 日，完成日期：2005 年 11 月 9 日 问题 1 下图显示的是一个机器人手臂使用直尺画一条直线。直尺是由另一只机器人 手臂拿着，该手臂没有显示。假设没有摩擦并且是半静止过程。 a) 使用附在直尺上的 C－帧，得出自然和人为限制。 b) 根据上面获得的自然和人为限制，画出混合位置/力的控制系统的方块 图。此外，得出与自然和人为限制相关联的射影矩阵Pa 和Pb。 图 1 直尺和 C-帧 问题 2 下面所显示的是一个办公机器人正在用附着在一个半径为 R 的半圆滚 筒的吸墨水纸干燥墨水。为了避免抹掉没有干燥的签名，滚筒只能在纸上滚 动，不能滑动。假设该过程是一个半静态并且没有摩擦的过程，我们想要使 用混合位置/力控制来完成这个任务。得出在机器人端点 E 处的速度和力方 面的自然和人为限制。描述与附在桌子上的坐标系 O-xyz 有关的限制。需 要注意的是点 E 位于半圆滚筒上表面的中间。滚动接触是自然限制的要求 还是人为限制的要求？[关键是把物理学规定的限制（如自然限制），与你为 了完成给定的任务（如人为限制），想要机器人遵守的轨道类型区别开来
Blotting Paper cRfield Figure 2 Office robot drying ink with blotting paper Blotting paper吸墨水纸 图2用吸墨水纸干燥墨水的办公机器人 问题3 在以前问题集中所考虑的平面的自由度为三的机器人腿如下图所示。关 节点角度01,02,03，从地面测量，被用来作为唯一位于该系统的通用坐标 的独立集合。下面的第二个图显示的是包括执行元件和传动机构装置的机器 人的主视图。和以前一样，执行元件1产生连接部件0和连接部件1之间的 扭矩τ1。执行元件2被固定在连接部件3上，并且其输出扭矩τ2通过齿轮比 1:1的无质量皮带轮系统被传递给关节点2，如膝关节点。执行元件3被固定 在连接部件3上，当其输出轴与连接部件2相联时。所有执行元件的扭矩τ1， τ2，τ3，都是用右手读出测量的，在图中用箭头所示。每个执行元件的位移 用01,02,03表示，并且是在扭矩的同一方向测量的。臀部的位置，如连 接部件3，由其质量中心的坐标代表xh,yh,以及角度a,这些数据从附在关节 点1上的基准坐标系测量的，如图所示。 为了能够在崎岖的地面行走，机器人想要让它的膝盖、脚踝和臀部关节 依从，这样可以减缓作用在身体上的扰动。所有作用在脚上的扰动力都可以 一起用作用在臀部上等效的线性力和力矩F=[Fx,F,M表示。见下图，使用柔 量（刚度）控制，我们想要用如下理想的刚度来支撑臀部： F 0 y M △d 这里△p=[△xh,△y,△a是臀部的直线和角位移，而且刚性矩阵的单元kx,k,kg 是合适的正值。对于下图所示的腿构造和关节角度，得出提供以上给定的理 想刚度的关节反馈增益矩阵K。此外，得出在执行元件空间内的反馈增益矩
Blotting paper 吸墨水纸 图 2 用吸墨水纸干燥墨水的办公机器人 问题 3 在以前问题集中所考虑的平面的自由度为三的机器人腿如下图所示。关 节点角度θ1，θ2，θ3，从地面测量，被用来作为唯一位于该系统的通用坐标 的独立集合。下面的第二个图显示的是包括执行元件和传动机构装置的机器 人的主视图。和以前一样，执行元件 1 产生连接部件 0 和连接部件 1 之间的 扭矩1。执行元件 2 被固定在连接部件 3 上，并且其输出扭矩2通过齿轮比 1:1 的无质量皮带轮系统被传递给关节点 2，如膝关节点。执行元件 3 被固定 在连接部件 3 上，当其输出轴与连接部件 2 相联时。所有执行元件的扭矩1， 2，3，都是用右手读出测量的，在图中用箭头所示。每个执行元件的位移 用Ø1，Ø2，Ø3 表示，并且是在扭矩的同一方向测量的。臀部的位置，如连 接部件 3，由其质量中心的坐标代表xh, yh, 以及角度α，这些数据从附在关节 点 1 上的基准坐标系测量的，如图所示。 为了能够在崎岖的地面行走，机器人想要让它的膝盖、脚踝和臀部关节 依从，这样可以减缓作用在身体上的扰动。所有作用在脚上的扰动力都可以 一起用作用在臀部上等效的线性力和力矩F=[Fx,Fy,M]T 表示。见下图，使用柔 量（刚度）控制，我们想要用如下理想的刚度来支撑臀部： 这里Δp=[Δxh, Δyh, Δα] T 是臀部的直线和角位移，而且刚性矩阵的单元kx,ky,kθ 是合适的正值。对于下图所示的腿构造和关节角度，得出提供以上给定的理 想刚度的关节反馈增益矩阵K。此外，得出在执行元件空间内的反馈增益矩
阵。 Link 3 Actuator 2 位 Joint 3 大 ☒C (hip) Actuator 3 T3 Joint 3 Belt-Pulley Link 2- Mass-less Transmission Front Rear Joint 2 Link 1 1 Actuator 1 Joint 1 Joint 1 Ground Link 0 (b)Front view (a)Side view F 4 3π 83= 4 M (c)Hip compliance 03= 2 41=1 62=1 Joint关节点 Hip臀部 Actuator执行元件 Link连接部件 Rear齿轮 Ground地面 Belt-pulley Mass--less Transmission皮带轮无质量传动 Side View侧视图 Front View主视图 Hip compliance臀部柔量 图3机器人腿
阵。 Joint 关节点 Hip 臀部 Actuator 执行元件 Link 连接部件 Rear 齿轮 Ground 地面 Belt-pulley Mass-less Transmission 皮带轮无质量传动 Side View 侧视图 Front View 主视图 Hip compliance 臀部柔量 图 3 机器人腿