麻省理工学院 物理系 物理系8.282 2002年5月23日 期末考试 姓名 (请用印刷体字) 1.解答所有问题。 2.闭卷考试，但可以参考两页笔记。 3.答题时，只要可能，尽量使用一般的分析表达式，在最后一步再代入数据。 问题 得分 评阅者 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
麻 省 理 工 学 院 物理系 物理系 8.282 2002 年 5 月 23 日 期末考试 姓名___________ （请用印刷体字） 1. 解答所有问题。 2. 闭卷考试，但可以参考两页笔记。 3. 答题时，只要可能，尽量使用一般的分析表达式，在最后一步再代入数据
有用的常数 常数 厘米-克-秒单位 米-千克-秒单位 c (speed of light) 3×1010cm/sec 3×103 m/sec G(gravitation constant) 7×10-8 dyne-cm2/g2 7×10-11 N-m2/kg2 k(Boltzmann's constant) 1.4×10-16 erg/K 1.4×10-23 J/K h(Planck's constant) 6.6×10-27 erg-sec 6.6×10-34J-sec mproton 1.6×10-24 g 1.6×10-27 kg ev (electron Volt) 1.6×10-12 erg 1.6×10-19 J M (solar mass) 2×1033 g 2×1030 kg Lo (solar luminosity) 4×1033erg/sec 4×1026J/sec Ro (solar radius) 7×1010 cm 7×10 m o(Stefan-Boltzmann cons) 6x 10-5 erg/cm2-sec-K4 6×10-8J/m2-sec-K4 A(Angstrom) 10-8 cm 10-10 m km (kilometer) 105 103 m pc (parsec) 3×1018 cm 3×1016 m kpc(kiloparsec) 3×1021 cm 3×109 m Mpc (megaparsec) 3×1024 cm 3×1022 m year 3×107 sec 3×107 sec day 86400sec 86400sec AU 1.5×103 cm 1.5×10Π m 1'(arc minute) 1/3400rad 1/3400 rad 1"(arc second) 1/200,000rad 1/200.000rad
有用的常数 常数 厘米 - 克 - 秒单位 米 -千克 -秒单位 ——————————————————————————————————————
问题1(13分) a.一颗质量为1.4M%的中子星绕一颗正常恒星进行轨道运动。每秒有10”克的物质从正常 恒星流出，落在坍缩星上。 ,假设下落物质的所有引力势能都转化为辐射能，计算中子星的热光度。 ⅱ.假设辐射该能量的中子星表面可以被看作是一个温度为T的黑体。计算T。同时计算量 kT(单位eV)并说明你认为其发射的电磁辐射的类型。（设中子星的半径是Rs=1Okm) 解： L=GMM (因子1/2可选) R ≈1.9X10"ergs/sec o74πR=L→T6(L） 4πR2o Tr≈12.7×10K kT≈1.75×10°ergs=1keV(X射线波段) b.麻省理工学院的科学家上周发现了一颗新的X射线脉冲星。其轨道周期为42分钟。这颗 中子星以11km/s的速度绕双星质量中心作圆轨道运动，而其未见伴星以770km/s的轨道速 度运动。计算未见伴星和中子星的质量（单位M6)。 解： 质量中心中子星 伴星 a.='-70x42x60-309.00mn 2π 2π a=2=400m 2π 由开普精第三定很：GM,=(:→M,=(名=287×10g M=1.435Mo (Me+M)=M(1+ )=1435 M Ma+总=M0+受=M0+-=145。 M.≈0.02Mo
问题 1（13 分） a． 一颗质量为 1.4M⊙的中子星绕一颗正常恒星进行轨道运动。每秒有 1017克的物质从正常 恒星流出，落在坍缩星上。 ⅰ. 假设下落物质的所有引力势能都转化为辐射能，计算中子星的热光度。 ⅱ. 假设辐射该能量的中子星表面可以被看作是一个温度为 T 的黑体。计算 T。同时计算量 kT（单位 eV）并说明你认为其发射的电磁辐射的类型。（设中子星的半径是 RNS=10km） 解： R GM M L · = (因子 1/2 可选) ≈1.9×1037 ergs/sec 1 4 2 4 eff 2 L 4 T =( ) 4 R s p T R L p s = Þ Teff ≈ 12.7×106 K kT≈1.75×10-9 ergs=1 keV (X 射线波段) b. 麻省理工学院的科学家上周发现了一颗新的 X 射线脉冲星。其轨道周期为 42 分钟。这颗 中子星以 11km/s 的速度绕双星质量中心作圆轨道运动，而其未见伴星以 770km/s 的轨道速 度运动。计算未见伴星和中子星的质量（单位 M⊙）。 解： 770 42 60 309,000 2 2 4400 2 c c x x v P a km v P a km p p p ´ ´ = = = = = 由开普勒第三定律： 3 2 2 33 T 2 2 ( ) ( ) 2.87 10 T a GM M g P P G p p = Þ = = ´ 1.435 ( ) (1 ) 1.435 770 (1 ) (1 ) (1 ) 1.43 11 0.02 T x c x c c x c c c c c x c M M M M M M M M a M M M M M a M M = + = + = + = + = + = »
问题2(12分) 下面是两个球状星团：M3和M5的赫罗图。（其中V是视目视星等。） 13 M3 14. 14 5. 16 2 18 19 20 20 21 22 -04 0.00.40.812 16 B-V 040200204060.810121M161820 B-V a.证认M3的赫罗图中各种恒星演化相。你可以把结果直接标在图上。 b.找出该两个星团的相对距离，即de/ds ℃.给不同演化相提供能源的最主要的核反应是什么？它们在恒星的哪个部分发生（如：在 壳层还是核心)？ d.多少个=20的主序星的亮度等于一个=12.5的单个巨星的亮度？ 解： b.M3的水平支在~=15.65，M5的水平支在~15.25。 这样，M5的距离模数比M3的约大0.4个星等。距离远10倍星等会差5等。因此， ds/dg=1004/5=100.=1.2(或de/ds=0.83) c.在主序阶段，H→He,在核区： 在巨星支，H-→He,在围绕He核的壳层： 在AGB(渐近巨星支)，H→He,He→C,在围绕C、O核的壳层； 在水平支，He→C,在核区。 V=-2.510g(Js)=20 需要12.5=-2.51log( y)=-251ogN-2.51og() fo 12.5=-2.51ogN+20 1ogN=(-7.5)/-2.5)=3 N=1000
问题 2（12 分） 下面是两个球状星团：M3 和 M5 的赫罗图。（其中 V 是视目视星等。） a． 证认 M3 的赫罗图中各种恒星演化相。你可以把结果直接标在图上。 b． 找出该两个星团的相对距离，即 dM3/dM5 c． 给不同演化相提供能源的最主要的核反应是什么？它们在恒星的哪个部分发生（如：在 壳层还是核心）？ d． 多少个 V=20 的主序星的亮度等于一个 V=12.5 的单个巨星的亮度？ 解： b. M3 的水平支在～V=15.65，M5 的水平支在～15.25。 这样，M5 的距离模数比 M3 的约大 0.4 个星等。距离远 10 倍星等会差 5 等。因此， dM5/dM3=100.4/5 =100.08 =1.2 （或 dM3/dM5=0.83） c. 在主序阶段，H→He，在核区； 在巨星支，H→He，在围绕 He 核的壳层； 在 AGB（渐近巨星支），H→He，He→C，在围绕 C、O 核的壳层； 在水平支，He→C，在核区。 d. 0 0 0 2.5log( ) 20 N 12.5=-2.5log( ) 2.5log N 2.5log( ) 12.5=-2.5logN+20 logN=(-7.5)/(-2.5)=3 N=1000 MS MS MS f V f f f f f = - = 需要 = - -
问题3（简答题，13分） .用流体静力学平衡方程的量纲分析推导白矮星的半径-质量关系M(R)。假设简并物质的 状态方程为Pp,其中P是压强，P是质量密度，K是常数。 解： dP =-gp,P=Kp5/3 dr 绑分标：是x微：g=K的”日 或 GM2 KM5/3 Rs R6 R-KMT G b.21厘米辐射是什么，研究它可以得到什么信息？ 答：氢的质子和电子磁矩的（超精细）相互作用。21厘米谱线源自“自旋翻转” (即从F=1到F=0态的跃迁)。它被用来测绘银河系和邻近旋涡星系中性氢的密度和速度。 c.计算银道面的局域质量密度的“奥尔特极限(Oort1imit)”所需要的基本要素是什么？ (不要与研究星系自转的奥尔特系数A和B混淆了) 答：在银道面附近（但在大多数与银盘成协的的物质之外）引力g近似为常数。 如果受试验的星有一个平均值KE一（兮m),那么在银盘上它们的标商是 (5m,》 H、 m.g ,这样，8= 2H 为此，我们需要有关恒星标高以及速度弥散的信息。 问题4（简答题，12分） a.一个球状星团包含10°颗恒星，假设它们都具有相同的质量m和相同的速度v。使用位 力定理(virial theorem)估计该星团的特征尺度。 答： 位力定理：KE=-! 2 Nmv2、1G(Nm} R是特征半径 22R R-GNm_10Gm v2 v2 若v≈10km/sec,且m≈1Mo'R~40pc
问题 3（简答题，13 分） a． 用流体静力学平衡方程的量纲分析推导白矮星的半径-质量关系 M（R）。假设简并物质的 状态方程为 P=Kr 5/3，其中 P 是压强，r是质量密度，K 是常数。 解： 5/3 5/3 5/3 2 3 3 2 5/3 5 6 1 3 dP g , P=K dr P GM M K M 1 )( ) K( ) R R R R R R GM KM R R K R M G r r r - = - » » » 量纲分析： （ 或 b． 21 厘米辐射是什么，研究它可以得到什么信息？ 答： 氢的质子和电子磁矩的（超精细）相互作用。21 厘米谱线源自“自旋翻转” （即从F=1到F=0态的跃迁）。它被用来测绘银河系和邻近旋涡星系中性氢的密度和速度。 c． 计算银道面的局域质量密度的“奥尔特极限（Oort limit）”所需要的基本要素是什么？ (不要与研究星系自转的奥尔特系数 A 和 B 混淆了) 答： 在银道面附近（但在大多数与银盘成协的的物质之外）引力 g 近似为常数。 如果受试验的星有一个平均值 1 2 2 KE m v* * á ñ ，那么在银盘上它们的标高是： 1 2 2 m v H m g * * * á ñ ，这样， 2 2 v g H * á ñ 。 为此，我们需要有关恒星标高以及速度弥散的信息。 问题 4（简答题，12 分） a. 一个球状星团包含 106颗恒星，假设它们都具有相同的质量 m 和相同的速度 v。使用位 力定理（virial theorem）估计该星团的特征尺度。 答： 2 2 6 2 2 1 KE PE 2 mv 1 G(Nm) N ~ R 2 2 R GNm 10 Gm R~ v v v 10km /sec, m 1M R~40pc = » » 位力定理：=- 是特征半径 若 且
b.解释什么是宇宙微波背景(CMB),并说明它的起源。 答：宇宙微波背景是在z约为1000，氢变成中性的（复合）时刻残留的“冷却的” 黑体辐射。今天该辐射的T≈2.76K,在复合时约为3000K。 C.列举星光穿过尘埃时的三个效应： 答：星光红化（通过蓝光的选择性散射）： 通过消光星光变暗（即星等增大）： 星光偏振（约1%）。 问题5(13分) a.对造父变星的周光关系的一个合理的近似为： ≈-2.31og1o(P/天)-1.7 在星系M31内发现一颗平均视星等=19的造父变星，其脉动周期为30天。找出M31的距 离并用距离模数和秒差距表示。 答： 由（周光）关系得到=-5.1 ==19 因此，距离模数=24.1 每5个星等距离差10倍， 因此，d=660,000pc b.有一些不同的“标准烛光”对天文中估计河外天体的距离非常有用。列举并简单说明其 中的3种（不含造父变星）。 答： 类型 Mv(绝对星等) Ia超新星 -18 球状星团 -9 星系团中的最亮星系 -21 行星状星云 -6 HⅡ区 -9 新星 -8 问题6(12分) 观测得到一个旋涡星系的旋转曲线可以用下面的解析表达式很好的拟合： v(R)=200(1-e)km/sec, 其中eR是R的指数函数，R是距离星系中心的径向距离，R是值为4pC的常数。（假设该 星系是侧向星系，因此可以被观测到最大的多普勒速度。) a.估计离中心l6kpc范围内的质量大小。（用单位Mo表示结果）
b．解释什么是宇宙微波背景（CMB），并说明它的起源。 答：宇宙微波背景是在 z 约为 1000，氢变成中性的（复合）时刻残留的“冷却的” 黑体辐射。今天该辐射的 T≈2.76K，在复合时约为 3000K。 c．列举星光穿过尘埃时的三个效应。 答： 星光红化（通过蓝光的选择性散射）； 通过消光星光变暗（即星等增大）； 星光偏振（约 1%）。 问题 5（13 分） a. 对造父变星的周光关系的一个合理的近似为： ≈-2.3log10(P/天)-1.7 在星系 M31 内发现一颗平均视星等=19 的造父变星，其脉动周期为 30 天。找出 M31 的距 离并用距离模数和秒差距表示。 答： Mv 5.1 m v =19 =24.1 5 10 d 660 000pc = - º 由（周光）关系得到 因此，距离模数 每 个星等距离差 倍， 因此， ， b．有一些不同的“标准烛光”对天文中估计河外天体的距离非常有用。列举并简单说明其 中的 3 种（不含造父变星）。 答： 类型 Mv（绝对星等） Ia 超新星 -18 球状星团 -9 星系团中的最亮星系 -21 行星状星云 -6 HⅡ区 -9 新星 -8 问题 6（12 分） 观测得到一个旋涡星系的旋转曲线可以用下面的解析表达式很好的拟合： 0 / ( ) 200(1 ) R R v R e- = - km/sec， 其中 0 R R/ e - 是 R 的指数函数，R 是距离星系中心的径向距离，R0是值为 4pc 的常数。（假设该 星系是侧向星系，因此可以被观测到最大的多普勒速度。） a. 估计离中心 16kpc 范围内的质量大小。（用单位 M⊙表示结果）
b.证明在离星系中心较近的(R4kDc时，质量密度以关系p()∝R随距离增加而降低推出导致旋 转曲线变平的ā值。在这部分问题中你应当只考虑大距离。 答： 16 a.在16kpc,v(R)=200(1-e4)=200km/s GM(<R)v2 R2R M<R)=R=29x10*g=10"M。 G b对R<R,v(R)=2001-1+R)=200R Ro Ro 而=2R=200R Ro ,=200km/s/4kpc c.P=2元=2π4 kpc-sec=0.126×8x102/10=38×105sec 2200km P-1.2×108年 由步，RMR-V R2R G 若pcR,则M(<R)cRa+(体积cR) RrxR→a=2 G 或pcR2
b. 证明在离星系中心较近的（R>4kpc 时，质量密度以关系 ρ(R) ∝R -α 随距离增加而降低推出导致旋 转曲线变平的 α 值。在这部分问题中你应当只考虑大距离。 答： 16 4 2 2 2 44 11 a. 16kpc v(R)=200(1-e ) 200km / s GM(<R) v ~ R R v R M <R 2.9 10 g 10 M G - ´ 在 ， ( ) 0 0 0 0 R 200R b. R<<R , v(R) 200(1 1 ) R R 200R v= R 200km/s/4kpc R - + W W 对 而 ， 21 5 15 8 2 2 4kpc sec c. P= 0.126 8 10 /10 3.8 10 sec 200 km P~1.2 10 p p × = = ´ ´ = ´ W ´ 年 2 2 2 - - +3 3 2 3- -2 GM(<R) v v R d. a ~ , M <R R R G R M(<R) R ( R v R R 2 G R a a a r a r µ µ µ µ Þ = µ 由步骤 ., ( ) 若 ，则 体积 ） 或
问题7(12分) 下图是三幅类星体的光谱。每个光谱中最突出的谱线是实验室波长为6562A的H。线。在此 问题中，假设哈勃常数的值为=70 kms Mpc。 10FTTTT+TT 8x10 H1321+068 6x10 4x10 2x10海 H1324-246 x10 2x10 +++++十十+++++++++++++ 6x10 H1419+480 x10 2x10 4000 5000 8000 7000 8000 波长 (A) a.对这些类星体中最遥远的一个，估算其红移值z=(入-入)/入o。 b.这个类星体的退行速度大约是多少？ c.估计这颗类星体的距离。 d.这颗类星体的能流量是3×10 ergscm"sec(3×106Wm),主要是Ha谱线的辐射。估计 这颗类星体的光度。 e.这颗类星体的中心天体的模型涉及一个10'M6的超大质量黑洞。这与“爱丁顿极限”的概 念是否一致？请解释之。 答： a.1=7900A,z=(7900-6560)/6560=0.204 b.z=v/c,v=0.2c=60,000km/s c.v=Hd,d=60,000km/s/H=60,000/H,=860Mpc d.L=4πd2f=12×(860Mpc)2×3×10-1B=2.6×10ergs/s=2.6×1036W e.对10'Mo的黑洞，L出=10(M )ergs/s=10%ergs/s 而L<L,这与超大质量黑洞模型一致
问题 7（12 分） 下图是三幅类星体的光谱。每个光谱中最突出的谱线是实验室波长为 6562Å的 Hα 线。在此 问题中，假设哈勃常数的值为 H0=70kms -1Mpc -1。 a. 对这些类星体中最遥远的一个，估算其红移值 z =（λ-λ0）/λ0。 b. 这个类星体的退行速度大约是多少？ c. 估计这颗类星体的距离。 d. 这颗类星体的能流量是 3×10-13 ergscm -2 sec -1(3×10-16Wm-2),主要是 Hα 谱线的辐射。估计 这颗类星体的光度。 e. 这颗类星体的中心天体的模型涉及一个 107 M⊙的超大质量黑洞。这与“爱丁顿极限”的概 念是否一致？请解释之。 答： 0 2 2 13 43 36 7 38 45 edd a. 7900A z (7900 6560)/ 6560 0.204 b. z v/c, v 0.2c 60,000km / s c. v=Hd, d 60,000km/s/H 60,000/H 860Mpc d. L=4 d f 12 (860Mpc) 3 10 2.6 10 ergs/s 2.6 10 W M e. 10 M L 10 ( )ergs/s 10 erg M l p - = - = = ´ ´ ´ ´ ´ 。 ， 对 的黑洞， edd s/ s 而 这 L<<L , 与超大质量黑洞模型一致
问题8(13分) 下图表明了星系的退行速度是其距离的函数。 3×104 2×10 因 104 0 0 100 200 300 400 距离(Mpc) a.利用该图估计哈勃常数品（好于一个2的因子）。 b.用a.的结果估计宇宙的年龄。 c.对“平”的，Q。2=1的宇宙，用牛顿宇宙论推导哈勃常数与当前宇宙年龄间的更准确 的关系。 答 a.Hv3x10km/s75km/s/Mpe d△d400Mpc 1_Mpc=3×1024cms=4×1075 b.=i,75m1s75x10'cm to =12.7Gyr c利用】(}-2=0，其中a是尺度因子 Ho dt a 或其解 a-(Hot) 在当前历元，a=l:大爆炸对应a=0 3 12H 年龄21 3H
问题 8（13 分） 下图表明了星系的退行速度是其距离的函数。 a. 利用该图估计哈勃常数 H0（好于一个 2 的因子）。 b. 用 a.的结果估计宇宙的年龄 。 c．对“平”的，Ω0=Ωm=1 的宇宙，用牛顿宇宙论推导哈勃常数与当前宇宙年龄间的更准确 的关系。 答： 4 0 24 17 0 5 0 0 2 m 2 0 2 3 0 v v 3 10 km / s a. H 75km /s/ Mpc d d 400Mpc 1 Mpc 3 10 cm s b. t 4 10 s H 75km /s 75 10 cm t 12.7Gyr 1 da c. ) 0, a H dt a 3 a=( H t) 2 a=1 a=0 3 1= 2 D ´ = = = D ´ × º = = ´ ´ W - = 利用 （ 其中 是尺度因子 或其解 在当前历元， ；大爆炸对应 0 0 H t 2 1 t= = 3 H 年龄