18.04期末考试2002年秋季 2002年12月18日 星期三 考试时间：上午9：00一12：00 麻省理工学院 期末考试 18.04复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ①利用复数运算（而不是利用计算器）证明 z=2cos36。=e%+e% 是方程 z4-3z2+1=0 的一个解。 ②求解2的值，使之满足以下条件： (a)z6+z4+z2+1=0 或者满足：(b)sinz=cosz ③证明：当z为复数时，仍然满足下面公式 d tan= 1 dz 1+z2 ④计算绕单位圆一周曲线的积分值 -1 ⑤曲线C为沿逆时针绕椭圆x2/4+y2/9=1旋转一周，并且定义 ae-429 其中z为曲线C内任意一点，计算G),G①)，G()的值。 -1
18.04 期末考试 2002 年秋季 2002 年 12 月 18 日 星期三 考试时间：上午 9：00——12：00 麻省理工学院 期末考试 18.04 复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ① 利用复数运算（而不是利用计算器）证明 5 5 36cos2 iπ iπ z ee − = +=° 是方程 3 01 4 2 z − z =+ 的一个解。 ② 求解 z 的值，使之满足以下条件： ( ) 01 246 zzza =+++ 或者满足： ( ) = cossin zzb ③ 证明：当 为复数时，仍然满足下面公式 z 2 1 1 1 tan z z dz d + = − ④ 计算绕单位圆一周曲线的积分值 ∫ =1 5 2 z z e dz z ⑤ 曲线C 为沿逆时针绕椭圆 19/4/ 旋转一周，并且定义 2 2 yx =+ ( ) ξ ξ ξξ d z zG ∫C − +− = 2 2 其中 z 为曲线 内任意一点，计算 C ( ) ( ) (− iGiGG ) ''' ,,1 的值。 - 1 -
⑥计算： 提示：…- 这里shx=(er-er）/2 ⑦(a)复平面z中的哪部分区域经过映射 w(e)=- z+1 后影射到闭合区域w=1内？ (b)运用以上结论的提示，求出一个相关的莫比乌斯变换（或者分式线性变换）W(2), 使复平面的上半平面影射到以W=1十i为圆心的单位圆内。 ⑧试求以2π为周期的傅里叶级数，使以下函数： 1 f(0;a)=- 1+acos0 对任意满足☑<1的实数成立。提示：可以考忠形如p州e0 的傅里叶级数。 18.04期末考试的解答 2002年12月18日 星期三 ①平方后，化简得到： z4-3z2+1=e4a5+e2x/5+1+e2x5+ei4a5=0 ②(@)z2=或-1或-i,因此，z=e4或eih或eih b需要e-et=e+ee)或者e2=i,得到，只有：=±Nr全 部是实数。 ⑧刻果wm':,则：=mw,因此，是=1o企 cos2w dz W -2-
⑥ 计算： dx shx x ∫ ∞ ∞− 提示： 这里 ( ) 2/ xx eeshx − −= ⑦ (a) 复平面 z 中的哪部分区域经过映射 ( ) 1 1 + − = z z zw 后影射到闭合区域 w =1内？ (b) 运用以上结论的提示，求出一个相关的莫比乌斯变换（或者分式线性变换）W(z)， 使复平面的上半平面影射到以 =1+ iw 为圆心的单位圆内。 ⑧ 试求以 2π 为周期的傅里叶级数，使以下函数： ( ) θα αθ cos1 1 ; + f = 对任意满足 α <1的实数成立。提示：可以考虑形如 k ikθ ep 的傅里叶级数。 18.04 期末考试的解答 2002 年 12 月 18 日 星期三 ① 平方后，化简得到： 13 1 0 24 5254 5452 =++++=+− i π i π −i π −i π eeeezz ② (a) iz 1或或 −−= i ，因此， 2 iπ 4 iπ 2 iπ 23 eeez ± ± ± = 或或 (b) 需要 ( ) iziz iziz eeiee − − +=− 或者 ，得到， ie 只有 iz = 2 π π ±= Nz 4 全 部是实数。 ③ 如果 w = tan −1 z ，则 z = tan w ，因此， dz dw w 2 cos 1 z dz d 1 == ， - 2 -
或者=cos2w=+2） dz (右图仅为提示，尽管对复数w,z也成立) ④因为e2少的洛朗级数为1+2+4+8+16+ 32.64 E+22 6:3 +24-+1202 十… 720z6 z5e24 8π 在z=0处的留数为64/720，也就得出所求的积分 45 =1 ⑤写下f(2)=z2-z+2,由柯西黎曼公式（还有导数形式）得出 G0=2πf0=4πi,G(①=2mf()=-2π(2+)， 还有G(小-2f(小-21 ⑥参见考试3的解答，这题的答案为： 2 ⑦(a)答案：右半平面，即Rez>0,因为所有这些z使得 o()=E-1 +1 的份子=-<份厨=上+ b)很显然p)=二会像w包变换右半平面那样变换上半平面，（并且 z+i G(e)=p(ee会使平面旋转，但是为什么变复杂？因为z=0满足条件。) 还要增加1+i来移动中心位置。因此，答案为w)=三-e5+1+i z+i ⑧根据提示，考虑S(g)=+pe-i0+1+pe0+p2e20+pe30+… 1 1 或者S0)=1-e+1-pe而-l=i 1-p2 1+22-2Dcos6。因此，得到1+22三g， 这样，所求的傅里叶级数是上面求出的SΘ)鱼}+p 倍。 1-p2 -3-
或者 ( ) 2 2 11cos zw dz dw +== 。 （右图仅为提示，尽管对复数 w, z 也成立） ④ 因为 z e 2 的洛朗级数为 32 4 5 6 +++++++ L 720 64 120 32 24 16 6 8 2 42 1 z zzzzz ， z ez 25 在 z = 0处的留数为 64/720，也就得出所求的积分 45 8 1 5 2 π = ∫ z = z e dz z ⑤ 写下 ( ) 2，由柯西黎曼公式（还有导数形式）得出 2 zzzf +−= () () π == 4121 π iifG ， ( ) 2 (iifiG ) (22 +−== i) ' ' π π ， 还有 ( ) ( ) iif i iG π π 2 !2 '' 2 '' =−=− ⑥ 参见考试 3的解答，这题的答案为： 2 2 π = ∫ ∞ ∞− dx shx x ⑦ (a) 答案：右半平面，即 z > 0Re ，因为所有这些 z 使得 ( ) 1 1 + − = z z ω z 的 分子 z 1 分母 z +=<−= 1 (b) 很显然 ( ) iz iz zp + − = 会像 w(z) 变换右半平面那样变换上半平面，(并且 () () 会使平面旋转，但是为什么变复杂？因为 iz = ezpzG z = 0满足条件。) 还要增加 1+i 来移动中心位置。 因此，答案为 ( ) ie iz iz zw iz ++ + − = 1 ⑧ 根据提示，考虑 S( ) θ L pe−iθ 1 iθ 22 iθ epeppe 33 iθ ++++++= L 或者 ( ) θ θ θ θ cos21 1 1 1 1 1 1 2 2 pp p pe pe S i i −+ − ≡− − + − = − 。因此，得到 a p p = + 2 1 2 ， 这样，所求的傅里叶级数是上面求出的 S(θ )的 2 2 1 1 p p − + 倍。 - 3 -
18.04期末考试1999年春季 1999年5月21日 星期五 考试时间：上午9：00—12：00 麻省理工学院 期末考试 18.04复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ①利用复数运算证明： (@(如图所示)三个角的租a+B+y= 2 (b)(2+1)=(2-1)任意解的实部一定为零。 ②对任意实数x和N=0,12,3…,把和式Sw(x)= ∑e写成两个正弦函数的比， 并证明这个式子对N=0和N=1成立。 ③己知函数w=itch(z)=2e+e2:,求它的反函数itch-(w)(以复对数形式表示)。 并利用itCh(z)=3所有可能的z的值，给出公式的级数形式。 ④计算 提示：考虑洛朗级数 =1 dx ⑤计算」 6+1 提示：考虑一片比萨饼形状的图形 ⑥ 证明函数w)=:+!确实把z平面中的任意圆=常数，映射到w平面的 一个焦点为w=±2的椭圆。（可能你已经忘了椭圆的焦点怎么定义的，如果这里需 要，请重新推导一遍)。 ⑦在单位圆外面，求解拉普拉斯方程72T=0,己知Tr=1,0)=c0s°0， 在r趋于无穷大时，Tr,0)趋于常数516。 提示：回忆zm -4-
18.04 期末考试 1999 年春季 1999 年 5 月 21 日 星期五 考试时间：上午 9：00——12：00 麻省理工学院 期末考试 18.04 复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ① 利用复数运算证明： (a)（如图所示）三个角的和 π γβα =++ ) 2 (b) ( )( 任意解的 8 8 zz −=+ 11 实部一定为零。 ② 对任意实数x 和 N = 3,2,1,0 L，把和式 ( ) ∑−= = N Nk ikx N exS 写成两个正弦函数的比， 并证明这个式子对 和 N = 0 N = 1成立。 ③ 已知函数 ，求它的 zz eezitchw 2 2)( +== 反函数 )(1 w − itch （以复对数形式表示）。 并利用itch z = 3)( 所有可能的z 的值，给出公式的级数形式。 ④ 计算 ∫ =1 14 z z dzez ， 提示：考虑洛朗级数 ⑤ 计算 ∫ ∞ 0 +6 x 1 dx ， 提示：考虑一片比萨饼形状的图形 ⑥ 证明函数 ( ) z zzw 1 += 确实把 z 平面中的任意圆 z = 常数，映射到 w 平面的 一个焦点为 w ±= 2的椭圆。（可能你已经忘了椭圆的焦点怎么定义的，如果这里需 要，请重新推导一遍）。 ⑦ 在单位圆外面，求解拉普拉斯方程 2 T =∇ 0 ，已知 ( ) θθ 6 T r == cos,1 ， 在ｒ趋于无穷大时，T(r,θ )趋于常数 5/16。 提示：回忆 n z − - 4 -
⑧在周期π内。求下列傅里叶正弦级数的前三项的系数ao,a2,a4 sinx=ao +a cos2x+a cos4x+... 补充说明：由于你们多数要准备离开城市，现在省略平常在办公室门外进行的趣味活动， 密码确定成绩。本周末，即使很远的同学，细心可靠的邮件会很快通知你的成绩。节日 愉快！ AT和MB 18.04期末考试的解答 1999年5月21日星期五 ①a)考虑(3+i)2+i1+i)=(5+5i1+i)=10i,幅角∠=90 b)得出+1=-1，也就是(x+1)2+y2=(x-12+y2三4x=0 ②这里有s,=mv+}/m行 解释可以参见考试1第②题的解答。 特殊值N=0时，S。(x)=1,同理N=1时，S,(x)=e-m+1+e=1+2cosx, 分子= 由此可得出S(x)的值。 ③这里z=logvw-1-1)=ich(6w)且当w=3→z=2πiN 否则z=ln3+πi+2πiW (更多的详细讲解请参看97年的考试1，第③题的解答) ①因方e=1+日是过，6女的眉数心0足顶的系数 5到 因此可得∮z4edk-2πi/5 -5-
⑧ 在周期π 内。求下列傅里叶正弦级数的前三项的系数 420 ,, aaa sin += 20 + 4 4cos2cos xaxaax +L 补充说明：由于你们多数要准备离开城市，现在省略平常在办公室门外进行的趣味活动， 密码确定成绩。本周末，即使很远的同学，细心可靠的邮件会很快通知你的成绩。节日 愉快！ AT 和 MB 18．04 期末考试的解答 1999 年 5 月 21 日 星期五 ① a)考虑( )( )( ) ( ) + + +=+ ( + ) = 10155123 iiiiii ，幅角 o =∠ 90 b)得出 zz −=+ 11 ，也就是( ) 1 ( 1) 04 2 2 2 2 xyxyx =⇒+−=++ ② 这里有 ( ) , 2 1 sin 2 1 sin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ N += xxNxS 解释可以参见考试 1 第②题的解答。 特殊值 时， ，同理 N = 0 0 ( ) xS = 1 N = 1时， ( ) eexS x ix ix 1 +=++= cos211 − ， 分子= x [ ] ( ) xx x x xxx x x x x x coscos1 2 1 sin 2 sincos 2 cos 2 sin2 2 sincos 2 cossin 2 sin 2 ⎟ ++⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + =⋅+⋅= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 由此可得出 的值。 ( ) xS1 ③ 这里 ( wz ) (witch ) 1 11log − ≡−−= 且当 = → = 23 π iNzw 否则 π ++= 23ln π iNiz （更多的详细讲解请参看 97 年的考试 1，第③题的解答） ④ 因为 1 2 3 ++++= L !3 1 !2 11 1 z zz e z ， z ez 14 的留数 Res(0)是 z 1 项的系数 !5 1 ， 因此可得 !52 14 idzez z = π ∫ - 5 -
A0时 e'B.dr 和J=6+1 和留数Resk心）=e可得出结果。 -6 ⑥圆z=Rcos0+iRsin变换成 m-（R+eos0+(R-月n9=u+m=aeas0+hsng(~g —Z 因先E的方c=02-6-(R+八+（风-4 c0s23042 因为cw0=k+ey-0ws60+多s40+号 所求的解为76,0)=5+15cos20+3c0s40+c0s60 16+32r2 16r4 32r6 ®这里sin=2、4。 π3π 一15元c0s4r-,只需要展开为我们需要的表达式。 0s2r-4 13os2r2 实际上，还可以展开为21-2。 50s4r-2 7os6x-… 脚品方后5品7 有趣的是在x=0时，得到2(1-）=0， π 当x=兀时，计算也很简单， 因为1-+-+…=石，即沃利斯公式 357 4 最后，暑假愉快！AT -6-
⑤ 积分 0 1 3 6 π = + = ∫ ∞ x dx I 。由 和 ∫ ∞= + ⋅ = 0 6 3 1 r i r dre J π 和留数 ( ) 6 Re 6 6 − = π π i i e es 可得出结果。 ⑥ 圆 = cosθ + iRRz sinθ 变换成 θ sinθ cos sinθθ 1 cos 1 ibaivu R Ri R Rw ⎟ +=+≡ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += （ 1 2 2 2 2 =+ b v a u Q ） 因此焦距的平方 4 1 1 2 2 222 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=−= R R R Rbac ⑦ 因为 ( ) 64 20 2cos 32 15 4cos 32 6 6cos 32 1 2 1 cos 6 6 6 =+= + + + − θ θ θ θ ii θθ ee 所求的解为 ( ) 2 4 6 32 6cos 16 4cos3 32 2cos15 16 5 , r r r rT θ θ θ θ += ++ ⑧ 这里 x −= x − 4cos x −L 15 4 2cos 3 42 sin π π π ，只需要展开为我们需要的表达式， 实际上，还可以展开为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − x x 6cos x L 75 2 4cos 53 2 2cos 31 2 1 2 π ， 其中 3 1 1 1 31 2 −= ⋅ ， 5 1 3 1 53 2 −= ⋅ ， 7 1 5 1 75 2 −= ⋅ ，等等。 有趣的是在 x = 0 时，得到 ( ) 011 2 =− π ， 当 2 π x = 时，计算也很简单， 因为 47 1 5 1 3 1 1 π L =+−+− ，即沃利斯公式 最后，暑假愉快！ AT - 6 -
18.04期末考试1997年秋季 1997年5月22日 星期四 考试时间：下午1：30一4：30 麻省理工学院 期末考试 18.04复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ①如果=1，证明 a)对任意w,上-州=1-z b)除去z=1,Rey/1-z】=1/2 ②已知函数fe)=s1 nzcos3 )找出它在z=0处，洛朗级数展开形式前三个不为0的项。 b)求∮fe)止积分，积分曲线沿=1逆时针方向一周。 ③用留数定理计算积分： d d a) )J- x+x2+1 4 ④求出单位圆圆心处，稳态或者“调和”温度，己知在单位圆边缘处的温度如图： a) …为什么？ b)T(1,0)=cos"0 c)T1,0)=3/(2-cos0) ⑤求出周期π（也是2π）内，最接近下面非负函数的傅里叶级数形式： fx)=cosx刘 -7
18.04 期末考试 1997 年秋季 1997 年 5 月 22 日 星期四 考试时间：下午 1：30——4：30 麻省理工学院 期末考试 18.04 复变函数及其应用 要求：在考试过程中学生不得使用任何课本与笔记。若把此类物品携带入考场，请 勿放在附近。可以使用计算器，但不得与他人共用。 ① 如果 z = 1，证明 a) 对任意 w， 1−=− zwwz b) 除去 ， z = 1 [ ] ( ) − z = 2111Re ② 已知函数 ( ) z zz zf 4 3cossin = a) 找出它在 z = 0处，洛朗级数展开形式前三个不为 0 的项。 b) 求 ( ) ∫ dzzf 积分，积分曲线沿 z = 1逆时针方向一周。 ③ 用留数定理计算积分: a) ∫ ∞ ∞− ++ = 1 2 x dx I x b) ∫ ∞ ∞− ++ = 1 24 x x dx J ④ 求出单位圆圆心处，稳态或者“调和”温度，已知在单位圆边缘处的温度如图： a) K 为什么？ b) ( ) cos θθ 4 T ,1 = c) T( ) θ ( ) −= cos23,1 θ ⑤ 求出周期π （也是 2π ）内，最接近下面非负函数的傅里叶级数形式： ( ) = cos xxf - 7 -
⑥莫比乌斯反演公式变换如：W=+b cz +d )说明变换不可能有多于两个不动点(w(2)=z),除非是同种规律的变换，函数 w=2,前后不变。 b)找出w=(2-)/(2-)的两个不动点 c)找出一个w=a+b ，分别将点2=0,1，∞映射到w=0,1,2。 cz+d 18.04期末考试的解答 1997年5月22日星期四 0h=F可：居小甲 (因为zz=1,同样地=1) 因为z=e,二1-e0-cos)-ism0W b) 1-cos0+isin0 (1-cos0)+sin (因为21-cos0)=sin20) 。--后品-号蓝 =1-14162 Z-…. z23Z15 b) 5征=-28g,因为Re5=-4 3 2ni ③ a)l2n 由2=e3的一阶级点，得o/Res= i3 石2加 b)Jsπ 由z=e3,e了…的-阶领点，得∑Res=- 6 ④a)T0,0)=3,(就是边缘值的意思) -8-
⑥ 莫比乌斯反演公式变换如： dcz baz w + + = a) 说明变换不可能有多于两个不动点（ ( ) = zzw ），除非是同种规律的变换，函数 w = z ，前后不变。 b) 找出 ( )(/ −−= izizw )的两个不动点 c) 找出一个 dcz baz w + + = ，分别将点 z=0,1,∞映射到 w=0,1,2。 18.04 期末考试的解答 1997 年 5 月 22 日 星期四 zw z zw w z wzwzwz −= − =−=−=−=− 1 1 1 ① a) （因为 zz = 1，同样地 z = 1） b) 因为 ，iθ = ez ( ) ( ) θ θ θ θ θθ θ cos1 sin 2 2 sincos1 sincos1 1 1 1 1 1 + − + = −− = − = − − i z i e i （因为 ( ) θθ 2 =− sincos12 ） ② a) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+−= L L 24 81 _ 2 9 1 1206 1 53 2 4 4 zzzz z z zf . 15 62 3 14 2 Z −+−= L Z I Z I … b) ifdz ∫ −= 3 28π ，因为 3 14 Re s −= ③ a) I= 3 2π 由 3 2 i ez π = 的一阶级点， 得 i 3 1 ω Re/ s = b) J= 3 π 由 3 L 2 3 , ii eez ππ = 的一阶级点，得∑ − = 6 3 Re i s ④ a) T( ) = 30,0 ，（就是边缘值的意思） - 8 -
70叭=(os列=是 c)…= 3 2x de 2πJ0=02-c0s0 ⑤fx)=lcos=a+a2cos2x+a4cos4x+…, 由对称性知，只有得函数cas同时a,=小eos小-号 其它的(k=1,2,3…)是： 4 a4=号oc2ks=(4k是 4k2-1 -ae+om以-l小-(I旷装 。+日，显然c,2+日-a。-6=0最多有两个解， ⑥a)如果a。+b 除了c=0且d=a且b=0 。)对于。。=1生5-动 Zo-i 2 心需要b=0,c+d=a,d=c因此W=22符合条件 z+I 补充说明：如果你真的非常急切的需要知道你的最后成绩，请在星期五早上之前给我发邮件。 星期五中午我会开始一个周的旅行。节日愉快！ AT -9-
b) ( ) 8 3 cos0,0 4 T θ == c) ∫ = = − = π θ θ θ π 2 0 3 cos22 3 d L ⑤ ( ) cos +== 20 + 4 4cos2cos xaxaaxxf + …， 由对称性知，只有偶函数 cos,同时 π 2 cos 0 xa == , 其它的（ k = 3,2,1 L）是： ( ) ∫ = + − = −= π π π 2 0 2 1 2 14 4 12coscos 1 x k k k a kxdxx [ ] () () ( ) 14 4 12cos12cos 2 2 2 4 2 2 0 1 2 0 2 2 1 − = =−++ + ⋅ + = ∫ ∫ = − + = − − k x k x kxikxiixix dx dxxkxk eeee π π π π π ⑥ a) 如果 , 0 0 0 z dcz baz = + + 显然 ( ) 0 0 2 0 bzadcz =−−+ 最多有两个解， 除了 且 c = 0 = ad 且b = 0 b) 对于 0 0 0 z iz iz = − − z ( ) − i ± = 1 2 31 0 c)需要 b = 0， ， =+ adc = cd 因此 z I z w + = 2 符合条件 补充说明：如果你真的非常急切的需要知道你的最后成绩，请在星期五早上之前给我发邮件。 星期五中午我会开始一个周的旅行。节日愉快！ AT - 9 -